المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر، أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها.

مبرهنة منصف الزاوية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
Question book-new.svg
المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر. يرجى إيراد مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (مارس 2016)
AD منصف للزاوية A

في الهندسة الرياضية، مبرهنة منصف زاوية هي مبرهنة في المثلث تعطي العلاقة بين طول الضلع المقابل لأي زاوية إلى طول الضلعين الباقيين.

في المثلث ABC ، إذا كان AD منصف للزاوية A وكانت D نقطة تقاطع AD مع BC فإن:

تعميم المبرهنة[عدل]

في المثلث ABC، إذا كان AD يقطع BC في D ويقسم الزاوية A إلى و فإن:

إذا كانت سنصل إلى مبرهنة منصف الزاوية.

البراهين[عدل]

البرهان الأول[عدل]

المثلث ABC

باستخدام قوانين مساحة المثلث:

1- مساحة المثلث ADC

2- مساحة المثلث ADB

بقسمة 2 على 1 نصل إلى:


و إذا كان AD منصف الزاوية A ستحقق المبرهنة و ذلك لأن .

البرهان الثاني[عدل]

AD منصف للزاوية A

باستخدام قانون الجيوب:

في المثلث ADC:


في المثلث ADB:



و (Sin x = Sin (180-x.





و إذا كانت سنصل إلى مبرهنة منصف الزاوية.

البرهان الثالث[عدل]

المثلث ABC

برهان هندسي، باستخدام تشابه المثلثات:

ِAD منصف الزاوية A، نسقط عمود من B على AD يقطعه في F، ونسقط عمود من C على امتداد AD يقطعه في E.

المثلث AEC يشابه المثلث AFB

( لأن E و F قائمتان و لأن AD منصف A)

المثلث DEC يشابه المثلث DFB

( لأن E و F قائمتان و للتقابل بالرأس)


وهو المطلوب إثباته .

وصلات خارجية[عدل]