المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر، أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها.

مبرهنة منصف الزاوية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
Question book-new.svg
المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر. يرجى إيراد مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (مارس 2016)
AD منصف للزاوية A

في الهندسة الرياضية، مبرهنة أو نظرية منصف زاوية هي مبرهنة في المثلث تعطي العلاقة بين طول الضلع المقابل لأي زاوية إلى طول الضلعين الباقيين. وتنص على أنه في المثلث ABC، إذا كان AD منصف للزاوية A وكانت D نقطة تقاطع AD مع BC فإن:

تعميم المبرهنة[عدل]

مبرهنة مُنصّف الزّاوية هي حالة خاصّة من القانون النّاص على أنه: في المثلث ABC، إذا كان AD يقطع BC في D ويقسم الزاوية A إلى و فإن:

وعندما تصبح مبرهنة منصف الزاوية.

البراهين[عدل]

البرهان الأول[عدل]

المثلث ABC

باستخدام قوانين مساحة المثلث:

1- مساحة المثلث ADC

2- مساحة المثلث ADB

بقسمة 2 على 1 نصل إلى:

و إذا كان AD منصف الزاوية A ستحقق المبرهنة و ذلك لأن .

البرهان الثاني[عدل]

AD منصف للزاوية A

باستخدام قانون الجيوب:

في المثلث ADC:

في المثلث ADB:

و (Sin x = Sin (180-x. و إذا كانت سنصل إلى مبرهنة منصف الزاوية.

البرهان الثالث[عدل]

المثلث ABC

برهان هندسي، باستخدام تشابه المثلثات:

ِAD منصف الزاوية A، نسقط عمود من B على AD يقطعه في F، ونسقط عمود من C على امتداد AD يقطعه في E.

المثلث AEC يشابه المثلث AFB

( لأن E و F قائمتان و لأن AD منصف A)

المثلث DEC يشابه المثلث DFB

( لأن E و F قائمتان و للتقابل بالرأس)

وهو المطلوب إثباته .

انظر أيضاً[عدل]