مثلث

مثلث
مثلث
	مثلث
الحواف والرأس	3
رمز شليفلي	{3} (للمثلث متساوي الأضلاع)
المساحة	بطرق عديدة (راجع قسم المساحة)
الزاوية (درجة)	60° (للمثلث متساوي الأضلاع)

المُثلَّث مُضلَّع مستوٍ محدَّب له ثلاث زوايا وثلاثة أضلاع، وهو من أبسط المُضلَّعات في الهندسة الرياضية. تُسمَّى زوايا المثلث أيضًا رؤوسًا، وهي نقاط صفرية الأبعاد، تصل بينها الأضلاع، التي تُسمَّى أيضًا وصلاتٍ، وهي قطع مستقيمة ثنائية البعد. لكل مُثلَّث ثلاث زوايا داخلية مجموعها دائمًا 180 درجة أو π راديان، يُكوِّن كل زاوية ضلعان متجاوران من أضلاع المثلَّث.

يُمكن وصف أي ضلع من أضلاع المثلث بأنه قاعدته، ويُسمَّى حينها الرأس الذي يقابلها بالقمة أو الذروة، وتُسمَّى أقصر قطعة مستقيمة يُمكن رسمها بين القمة والقاعدة بالارتفاع. مساحة أي مثلث نصف جُداء طول قاعدته بطول ارتفاعه.

تُصنَّف المُثلَّث حسب أطوال أضلاعها، مثلًا: مثلث متساوي الساقين أو مثلث متساوي الأضلاع، أو حسب مقاسات زواياها: مثلًا مثلث قائم الزاوية أو مثلث حاد الزوايا. يهتم حساب المثلثات بالعلاقات التي تربط زوايا المثلث بأطوال أضلاعه، وخاصةً الدوال المثلثية التي تربط بين أطوال أضلاع المثلث القائم زواياه.

لا يقتصر وجود المثلثات على الهندسة الإقليدية المستوية، فتظهر في الهندسة الفراغية عندما تُشكِّل وجوهًا لمتعددات وجوه مثل الهرم وثنائي الهرم، بل إن بعض متعددات الوجوه تُصنَّف على أساس وجوهها المثلثة، مثل دلتاويات الوجوه.

تظهر المثلثات في الهندسات غير الإقليدية المستوية، فالمُثلَّث الدائري ^{[الإنجليزية]} مثلًا مثلث مستوٍ أضلاعه أقواس في دائرة، ومثاله مثلث رولو، ومن المثلثات غير الإقليدية المستوية أيضًا المُثلَّث الزائدي، وهو مثلث مرسوم على سطحٍ زائدي مثل السطح سرجي، ويتميز بأن مجموعة زواياه يقل عن 180 درجة.

التعريف والتصنيف

المُثلَّث لغةً اسم مفعول من الفعل الثلاثي المزيد (ثلَّث). ويُعرِّف معجم مصطلحات الرياضيات الصادر عن مجمع اللغة العربية بدمشق المُثلَّث في الفضاء الإقليدي بأنه: شكل مستوٍ مغلق محدود بثلاث قطعٍ مستقيمة تتلاقى في ثلاثة رؤوس.^{[عر 1]} أما موسوعة الكويت للرياضيات فتُعرِّف المُثلَّث بأنه: "شكل ناتج عن وصل ثلاث نقط ليست على استقامة واحدة، تُسمَّى رؤوس المثلث، بثلاث قطع مستقيمة تُسمَّى أضلاع المُثلَّث".^{[عر 2]}

المثلَّث شكلٌ مستو محدَّب مُكوَّن من ثلاث قطع مستقيمة غير متوازية تلتقي بعضها مع بعض في نهايتها لتكوِّن مُضلَّعًا له ثلاث زوايا وثلاثة أضلاع.^[1] وهو اتحاد ثلاث قطع مستقيمة تتحدد بثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة، تُسمى النقاط رؤوسًا والقطع المستقيمة أضلاعًا.^{[عر 3]} وصف إقليدس المُثلَّث وعناصره منذ أكثر من ألفي سنة الكتاب الأول من عمله: الأصول.^[2]، وقد اشتقت الأسماء المستعملة في الرياضيات الحديثة من ترجمات هذا الكتاب، ويمكن تتبع التعاريف التالية وصولًا إليه أيضًا.^[3]

يُمكن أن تُصنَّف المُثلَّثات حسب طول أضلاعها ومقاس زواياها،^{[عر 4]} يُسمَّى المثلَّث الذي تساوت أطوال أضلاعه مثلثًا متساوي الأضلاع،^[4] إذا تساوى طول ضلعين فيه، سُمِّي المُثلَّث مثلثًا متساوي الساقين،^[5]^[ا] أما إذا اختلفت أطوال أضلاع المثلث، فيسمى عندها: مثلث مختلف الأضلاع.^[ب]^[8] إذا كانت إحدى زوايا المثلث قائمة، سُمِّي المثلث قائم الزاوية، وإلا فهو مُثلَّث مائل.^[ج] وإذا كان مقاس كل زاوية من زواياه أصغر من 90 درجة سُمِّي المثلث حاد الزوايا، وإذا كانت إحدى زوايه أكبر من 90 درجة سُمِّي المثلث مُنفرِج الزاوية.^[9]

الخواص

النقاط والخطوط والدوائر المرتبطة بالمثلث

لكل مثلث العديد من النقاط الخاصة داخله، أو الموجودة على أضلاعه، أو المرتبطة به بطريقة أخرى. تُحدَّد هذه النقاط بإيجاد ثلاثة خطوط مرتبطة تناظريًا بالأضلاع المثلث أو رؤوسه، ثم إثبات أن هذه الخطوط الثلاثة تلتقي في نقطة واحدة. مبرهنة شيفا من أهم الأدوات التي تساعد في إثبات وجود هذه النقاط بتعريف شروط تحدد متى تلتقي أضلاع المُثلَّث.^[10] تُنشأ الخطوط المرتبطة بالمثلث بالمثل اعتمادًا على خواص التناظر، وتساعد أدوات، مثل مبرهنة منيلاوس، في تعريف الشرط اللازم لإنشاء هذه الخطوط.^[11]

المُنصِّف المعامد^[د] لضلعٍ في مثلث، خطٌ مستقيم يمر بمنتصف الضلع ويعامده.^[12] تلتقي مُنصِّفات أضلاع المثلث بنقطة هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث والتي تمر من رؤوسه الثلاثة.^[13] إذا وقع مركز الدائرة على أحد أضلاع المثلث، فإن مبرهنة طاليس تقتضي أن يكون هذا المثلث قائمًا، وأن تكون زاويته القائمة هي تلك الزاوية المقابلة للضلع الذي يقع المركز عليه.^[14] إذا وقع مركز الدائرة داخل المُثلَّث، فهو حاد الزوايا، وإذا وقعت خارجه، فهو منفرج الزاوية.^[15]

نقطة تقاطع المُنصِّفات المعامِدة للأضلاع مركز الدائرة المحيطة بالمثلث.

نقطة تقاطع مُنصِّفات زوايا المُثلَّث مركز الدائرة الماسة داخلًا لأضلاعه.

تُسمَّى نقطة تقاطع المتوسطات: المركز المتوسط^[ه].

تُسمَّى نقطة تقاطع الارتفاعات: ملتقى الارتفاعات.

ارتفاع المثلث خط مستقيم يمر من رأس المثلث ويعامد الضلع المقابل لذلك الرأس، والذي يُسمَّى قاعدة الارتفاع، في حين تُسمَّى نقطة التقاء الارتفاع مع الضلع أو مع امتداده بموطئ الارتفاع^[16] طول الارتفاع المسافة الفاصلة بين الرأس والقاعدة. تلتقي ارتفاعات المُثلَّث بنقطة تُسمَّى ملتقى ارتفاعات المثلث، وهي تقع داخل المثلث، إذا وفقط إذا، كان المثلث حاد الزوايا.^[17]

مُنصِّف زاوية مثلث^[و] خطٌ مستقيم يمر من أحد رؤوسه ويقسم الزاوية إلى قسمين متساويين. تلتقي منصفات زوايا المثلث الثلاثة في نقطة هي مركز الدائرة المحاطة به والتي تمس أضلاعه داخلًا، وتُسمى اختصارًا الدائرة الداخلية،^[ز] والتي يُسمَّى نصف قطرها نصف قطر الدائرة المحاطة^[ح].

يوجد ثلاث دوائر أخرى لها أهمية خاصة هي الدوائر الماسة خارجًا لأضلاع المثلث، والتي تُسمَّى اختصارًا الدوائر الخارجية،^[ط]، وتمس كل منها أحد أضلاع المثلث وامتدادي ضلعين آخرين في الوقت نفسه. تشكل مراكز الدائرة الماسة داخلاً والدوائر الماسة خارجًا نظام ملتقى الارتفاعات ^{[الإنجليزية]}.^[18]

الدوائر الماسة داخلاً وخارجًا لأضلاع مثلث.

الدوائر الثلاثة الماسة خارجًا لأضلاع مثلث.

تقع منتصفات الأضلاع ومواطئ الارتفاعات الثلاثة على محيط دائرة واحدة تُسمَّى دائرة النقاط التسع،^[19] أما النقاط الثلاثة الأخرى فهي منتصف أجزاء الارتفاعات الممتدة بين مركز الدائرة ورؤوس المثلث. يساوي نصفُ قطر دائرة النقاط التسعة نصفَ قطر الدائرة المحيطة بالمثلث. تمس هذه الدائرة الدائرة الداخلية في نقطة تُسمَّى نُقطة فويرباخ،^[ي] والدوائر الخارجية الثلاثة في الوقت نفسه. يقع ملتقى الارتفاعات ومركز دائرة النقاط التسعة والمركز المتوسط ومركز الدائرةالخارجية على خط واحد يُسمَّى خط أولر. يقع مركز دائرة النقاط التسعة في منتصف القطعة المستقيمة الواصلة بين ملتقى الارتفاعات والدائرة المحيطة، وتكون المسافة بين المركز المتوسط ومركز الدائرة المحيطية نصف المسافة بين المركز المتوسط وملتقى الارتفاعات.^[19]، لا يقع مركز الدائرة المحاطة على خط أولر في عموم الحالات.^[20]

متوسط ضلع المثلث خط مستقيم يمر من أحد رؤوس المثلث ومتوسط الضلع الذي يقابله قاسمًا المُثلث إلى قسمين لهما المساحة نفسها. تتلاقى متوسطات المثلث الثلاثة في نقطة واحدة هي المركز المتوسط للمثلث، وهي مركز ثقله.^[21] يقسم المركز المتوسط كل متوسط بنسبة 2:1، أي أن المسافة بين المركز المتوسط والرأس ضعف المسافة بين المركز المتوسط ومنتصف الضلع الذي يقابل ذلك الرأس. إذا عُكِس المتوسط بالنسبة لمنصف زاوية رأسه انعاكسًا مرآتيًا ينتج خط مستقيم يُسمَّى نظير المتوسط، للمثلث ثلاثة نظراء متوسطات تلتقي نقطة تُسمَّى ملتقى نظراء المتوسطات ^{[الإنجليزية]}.^[22]

دائرة النقاط التسعة تقطع أضلاع المثلث في 6 مواقع، والنقاط الثلاثة الأخرى نتيجة تقاطعها مع الارتفاعات.

خط أولر باللون الأحمر، وعليه 4 نقاط: ملتقى الارتفاعات (بالأزرق)، ومركز دائرة النقاط التسعة (بالأحمر)، والمركز المتوسط (برتقالي) ومركز الدائرة المحيطة (أخضر).

المنصفات بالخط الأسود المنقَّط، المتوسطات بالأسود، ونظراء المتوسطات بالأحمر.

الزوايا

يساوي مجموع زوايا أي مثلث في الفضاء الإقليدي 180 درجة.^{[عر 8]} تكافئ هذه الحقيقة مسلمة التوازي، وتتيح حساب قياس أي زاوية في مثلث إذا عُلِمت الزاويتان الأخريان. يساوي قياس الزاوية الخارجية في مثلث مجموع قياس الزاويتين غير المجاورتين لها، وهذه هي مبرهنة الزاوية الخارجية^{[عر 9]} ويعني هذا أن الزاوية الخارجية مُكمَّلة لزواية المثلث الداخلية التي تتشارك معها الضلعان.^[23] يساوي مجموعة الزوايا الخارجية الثلاثة في مثلث، واحدة على كل رأس، 360 درجة، وهذا يعني أن المثلَّث مضلَّع مُحدَّب، لأن مجموع الزاويا الخارجية لأي مُضلَّع مُحدَّب يساوي 360 درجة، مهما كان عدد أضلاعه.

يُسمَّى أطول أضلاع المُثلث قائم الزاوية وترًا، ويُسمَّى الضلعان الآخران حسب موقعمها بالنسبة لإحدى الزاويتين الحادتين: مقابلًا لها أو مجاورًا. تُعرّف العلاقات بين أضلاع المثلث القائم الدوال المثلثية، وأهمها دالتا الجيب وجيب التمام لزاوية ما في المثلث القائم، وتُعرفان بأنهما النسبة بين الضلع المقابل لتلك الزاوية والوتر، والضلع المجاور لتلك الزاوية والتر على الترتيب.^[24] يُمكِن استخدام قانونا الجيب وجيب التمام لحساب طول أي ضلع أو مقاس أي زاوية في أي مثلث.^[25]

عدد المثلثات التي لها مقاسات الزوايا نفسها غير نهائي، ولكن تساوي زوايا مثلثين مثنى مثنى لا يعني تساوي مقاسهما. المثلث المتردي^[يا] مثلثٌ تتسامت رؤوسه، أي تقع على خط واحد، ويكون مقاس اثنتين من زوايه 0° وواحدة 180°، ويوجد خلاف حول معاملة هذا الشكل معاملة المثلث.^[26] يُمكن كتابة الشروط اللازمة لثلاث زوايا $\alpha$ و $\beta$ و $\gamma$ لتشكل ثلاثية تترواح قيم الثلاثة فيها بين 0° وواحدة 180° بصورة مطابقة مثلثية. مثلًا تكون $\alpha$ و $\beta$ و $\gamma$ زوايا لمثلث، إذا وفقط إذا، استوفت المطابقة التالية:^[27] $\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma +2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )=1.$

التشابه والتطابق

يتشابه مُثلَّثان إذا تساوت قياسات زوايهما مثنى مثنى، وتكون عندها الأضلاع المتقابلة بين المثلثين مثنى مثنى متناسبة بنسبة معينة، ويكفي إيجاد هذا التناسب لإثبات التشابه.^{[عر 10]}

يكون مثلثان متشابهان، إذا وفقط إذا:

تساوت قياسات زوايا المثلثين مثنى مثنى.
إذا تناسب طول ضلعين للمثلثين مثنى مثنى، وتساوى مقاس الزاوية التي يحصرانها في المثلثين.
تناسبت أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلثين مثنى مثنى.

النسبة بين مساحتي مثلثين متشابهين مربع نسبه التشبه.^{[عر 11]}

يتطابق مثلثان إذا تساوت أطوال أضلاعهما مثنى مثنى، وتساوت مقاسات الزوايا مثنى مثنى. كل مثلثين متطابقين متشابهين، ولكن العكس ليس صحيحًا بالضرورة.

الشروط اللازمة والكافية لإثبات تطابق مثلثين: ملونة بالأحمر

يلزم التطابق تساوي 6 مقاسات بين المثلثين: 3 أضلاع و3 زوايا، ولكن يكفي تساوي ثلاث منها شرطًا لازمًا وكافيًا لإثبات التطابق:^{[عر 12]}

تساوى طولا ضلعين في المثلثين مثنى مثنى، وتساوى مقاس الزاوية المحصورة بينهما مثنى مثنى.
تساوى مقاس زاويتين في المثلثين مثنى مثنى، وتساوى طول الضلع المحصور بينهما
تساوت أطوال الأضلاع الثلاثة في المثلثين مثنى مثنى.
تساوى طولا ضلعين ومقاس زاوية غير محصورة بينهما في المثلثين مثنى مثنى.
تساوى مقاس زاويتين وضلع لا يصل بينهما في المثلثين مثنى مثنى.

المساحة

تُحسَب مساحة المثلث $T$ بطرق عديدة، أبسطها وأقدمها نصف جُداء طول أحد أضلاعه (القاعدة $b$ ) في طول الارتفاع المنشأ عليه $h$ ، أي:^[28]

$T={\tfrac {1}{2}}bh$

يُمكن إثبات صحة هذه العلاقة هندسيًا بعمل نسخة طبق الأصل عن المثلث المطلوب حساب مساحته ثم تقسيمها إلى مثلثين وإكمال شكل المثلث الأصل إلى مستطيل بُعداه $b$ و $h$ .

مساحة المثلث بحساب طول الارتفاع $h$ وفقًا لقواعد حساب المُثلَّثات.

إذا عُرِف طولا ضلعين في المُثلَّث $a$ و $b$ ومقاس الزاوية بينهما $\gamma$ ، فيُمكِن حساب طول الارتفاع وفقًا لحساب المثلثات بالعلاقة:

$h=a\sin(\gamma )$

فتؤول العلاقة السابقة إلى الشكل:

$T={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma$

تحسب مساحة المثلث بصيغة هيرون اعتمادًا على أطوال أضلاعه $a$ و $b$ و $c$ ، مع تعريف نصف المحيط $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$ ، وفقًا للعلاقة:^[29] $T={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.$

أطوال الأضلاع الممكنة

تنص متباينة المثلث على لزوم أن يكون مجموع طولي أي ضلعين في مثلث أكبر من الضلع الثالث أو مساوٍ له.^[30] وهذا يعني أنه لا يُمكِن إنشاء مُثلّث أطوال أضلاعه 3 أعداد صحيحة موجبة ما يستوفي أطوال الأضلاع متباينة المثلث.^[31] حالات المساواة مقصورة على المثلث المتردِّي، أي الذي تتسامت نقاطه فتقع على استقامة واحدة.

التطبيقات

تُصادَف المثلثات على اختلاف أنواعها في الحياة اليومية. يُستعمل المثلث متساوي الساقين في إنشاءات هندسية مثل القوصرات والجَمَلونات، في حين يُستعمل المثلث متساوي الأضلاع في إشارات المرور.^[32] وجوه الهرم الأكبر مثلثات متساوية، وتظهر المثلثات أيضًا في الدرعيات وبعض الأعلام مثل علم سانت لوسيا وعلم فلسطين.

تظهر المثلثات أيضًا في الأجسام ثلاثية الأبعاد. مُتعدِّد الوجوه كائن ثلاثي الأبعاد وجوهه مضلعات تلتقي في حروفه ورؤوسه. يُمكن أن تُصنَّف بعض متعددات الوجوه حسب المضلعات التي تُشكِّل وجوهه، فإذا كانت الوجوه كلها مثلثات متساوية الأضلاع سُمِّي المُتعدِّد دلتاوي الوجوه.^[33] الوجوه الجانبية للموشور التخالفي مثلثات مرصوفة رصفًا متبادلًا.^[34] الأهرام وثنائيات الأهرام مُتعدِّدات وجوه له قاعدة مُضلَّعة ووجوه جانبية مثلثة، تكون المثلثات متساوي الساقين إذا كانت الأهرام وثنائيات الهرم قائمة. مُتعدِّد أكناف كلي ^{[الإنجليزية]} متعدِّد وجوه يُنشَأ باستبدال هرم بكل وجوه من وجه المتعدد الأصل، تكون قاعدة الهرم مضلع مطابق لوجه المتعدد الأصل، لذلك تكون وجوه متعدد الوجوه المُستهرَم مُثلَّثات.^[35] تُوجَد المثلثات أيضًا في الأبعاد العليا، فالمُبسَّط مثلًا تعميم للمُثلَّث في الأبعاد العليا، ومثله متعدِّد الأكناف المُبسَّط، وهو متعدد أكناف أكنافه كلها مُبسَّطات.^[36]

موقع نقطة

يمكن تحديد موقع نقطة بالنسبة لمثلث، سواء أكانت داخله أم خارجه، بالاعتماد على جملة الإحداثيات الديكارتية، لكن من مساوئ هذه الطريقة أن قيم الاحداثيات مرتبطة بموقع المثلث في جملة الإحداثيات، لا بالمثلث نفسه.^[37]

يُستعمل نظاما الإحداثيات التاليين لتجنب المشكلة السابقة، فلا تتأثر الإحداثيات بالعمليات التي تنتج مثلثات مطابقة للأصل، مثلًا: لو حُرِّك المثلث أو دُوِّر أو عُكِس مرآتيًا، ولا تتأثر الإحداثيات كذلك حتى لو كُبِّر أو صغر على مقياسٍ خطي منتجًا مثلثًا مشابهًا للأصل:^[38]

تحدد الإحداثيات ثلاثية الخطية المسافات النسبية التي تفصل نقطة عن أضلاع مثلث، ويُرمز للإحداثيات بالشكل $a':b':c'$ ، وفيها يرمز كل حرف لبعد النقطة المدروسة عن أحد أضلاه المثلث
نظام الإحداثيات المركزية، صيغته: $\alpha :\beta :\gamma$ ، يُحدد فيه موقع نقطة حسب الأوزان التي تُمنح للرؤوس لجعل المثلث في حالة توازن.

الاستثلاث

الاستثلاث ^{[الإنجليزية]} تقسيم غرض مستوٍ إلى مُثلَّثات. فاستيلاث مُضلَّع يعني تقسيمه إلى مثلثات متلاصقة يتشارك كل زوجين منها بضلعٍ واحد على أن تكون رؤوس المثلثات رؤوس المُضلَّع نفسها.^[39] ينتج عن استيلاث في المُضلَّع البسيط النوني $n-2$ مُثلَّثًا مفصولة بأقطارٍ عددها $n-3$ . يرتبط الاستثلاث بمفهوم الأذن^[يب]، وهي رأس مضلع مرتبط برأسين آخرين يربط بينهما قطرٌ موجود بكامله داخل ذلك المضلع. تنص مبرهنة الأذنين ^{[الإنجليزية]} بأن لكل مضلع بسيط ذي أربع رؤوس فيه أذنان اثنتان.^[40]

أشكال ذات صلة

مرسومة في المثلث

لكل مثلث دائرة خاصة مرسومة فيه تمس أضلاعه الثلاثة داخلًا، وله أيضًا دائرة قطع ناقص خاص مرسوم فيه يمس منتصفات أضلاعه داخلًا ويُسمَّى قطع شتاينر الناقص المُحاط ^{[الإنجليزية]}. مساحة هذا القطع هي أكبر مساحة من بين كل القطوع الناقصة الماسة داخلًا لأضلاع المثلث، وتصف مبرهنة مردن كيفية تحديد بؤرتيه.^[41] أما قطع مَندرات المُحاط ^{[الإنجليزية]} بمثلث فهو قطع ناقص مرسوم في مثلث، يمس القطعُ أضلاعَ المثلث في النقطة نفسها التي تمس الأضلاع فيها الدوائر الماسة خارجًا. يُحقق أي قطع ناقصٍ بؤرتاه: $P$ و $Q$ ، مُحاط بمثلث $ABC$ المساواة التالية:^[42]

${\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.$

دائرة ماسة داخلًا لأضلاع المثلث مركزها نقطة التقاء منصفات زواياه.
قطع شتاينر الناقص المُحاط يمس داخلًا أضلاع المثلث في منتصفات أضلاعه.
قطع مَندرات المُحاط باللون الأحمر، والدوائر الماسة خارجًا للمثلث بالأزرق القاتم

يمكن في أي مثلث اختيار نقطة داخله ووصلها إلى الأضلاع الثلاثة بأقصر مسافة ممكنة، تُشكِّل النقاط الثلاثة رؤوسًا لمثلث مرسوم داخل المثلث الأصل يُسمَّى المثلث القدمي، إذا كانت النقطة المختارة هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث فإن رؤوس المثلث القدمي هي منتصفات أضلاع المثلث الأصل، ويُسمَّى المثلث القدمي حينها المُثلَّث المتوسِّط، يُقسِّم المثلث المتوسِط المثلث الأصل إلى 4 مثلثات متطابقة تشابه المثلث الأصل.^[43] مثلث التماس الداخلي لمثلث أصلٍ مثلثٌ مرسومٌ داخل المثلث الأصل، رؤوسه نقاط تماس الدائرة الداخلية للمثلث الأصل مع أضلاعه.^[44] أما مثلث التماس الخارجي لمثلث أصلٍ فتكون رؤوسه نقاط تماس الداوائر الخارجية للمثلث مع أضلاعه (لا مع امتداداتها).^[45]

مُثلَّث قدمي.
مُثلَّث متوسط.
يَقسُم المُثلَّث المتوسِط المثلث الأصل إلى 4 مثلثات متطابقة تشابه المثلث الأصل.
مُثلَّث التماس الداخلي (بالأحمر)
مُثلَّث التماس الخارجي (بالأحمر)

المُربَّع المحاط بمُثلَّث ^{[الإنجليزية]} مُربَّعٌ رؤؤسه كلها على أضلاع مثلث، وهي حالة خاصة من مسألة المُربَّع المُحاط ^{[الإنجليزية]} التي تتناول رسم مربع تقع رؤوسه على منحنٍ بسيط مُغلَق. يُقدِّم مُثلَّث كالابي ^{[الإنجليزية]} مثالًا عن المربع المُحاط، وهو المُربَّع ذي المساحة الكبرى الممكنة بشرط أن ينطبق أحد أضلاعه على ضلعٍ في مثلث منفرج الزاوية، ويمكن رسمه بثلاث طرق. يُمكن في المثلث حاد الزوايا رسم ثلاث مربعَّات محاطة بالأسلوب نفسه. أما في المثلث قائم الزاوية، فإن اثنان من هذه المربعات الثلاثة ينطبقان ويكون أحد رؤسهما هي الزاوية القائمة للمثلث، فيُصبح عدد المربعات المتمايزة المحاطة بمثلث قائم والتي ينطبق ضلعها ضلع المثلث اثنان فقط.^[46]

سداسي أضلاع لوموان ^{[الإنجليزية]} سداسي أضلاع حلقي تتحدد رؤوسه بنقاط تقاطع المثلث مع ثلاث مستقيمات توازي أضلاع وتمر من نقطة تلاقي نظراء المتوسطات ^{[الإنجليزية]}، سواء أكان سداسي أضلاع لومان بسيطًا أو ذاتي التقاطع، فإن أضلاع تقع داخل المثلث وتتوزع رؤوسه الستة على أضلاع المثلث بواقع رأسين لكل ضلع.

يُمكِن أن يُحاط أي مُضلَّع مُحدَّب مساحته $T$ بمثلث مساحته أقل من $2T$ أو مساوية لها، فإن ساوتها فإن هذا المُضلَّع متوازي أضلاع رباعي.^[47]

مثلث كالابي منفرج الزاوية: توجد ثلاثة مربعات يتطابق أحد أضلاعها مع ضلع للمثلث، ومساحتها أكبر مساحة ممكنة لمربع محاط بالمثلث.
يقع سداسي أضلاع لوموان ذاتي التقاطع داخل المثلث وتتوزع رؤوسه على أضلاع المثلث بواقع رأسين لكل ضلع.

مرسومة حول المثلث

المُثلَّث المماسي لمُثلَّثٍ أصل ^{[الإنجليزية]}، ليس قائم الزاوية، مُثلَّثٌ تقع رؤوسه على مماسات الدائرة المحيطة بالمثلث الأصل.^[48]

لكل مثلث أيضًا دائرة محيطة تمر برؤوسه كلها ويكون مركزها نقطة تقاطع منصفات زاوياه. لكل مثلث أيضًا قطع شتاينر ناقص ^{[الإنجليزية]} فريد يُحيط به ويمر برؤوسه كلها، ويكون مركزُه مركزَ ثقل المُثلَّث، ويتميز هذا القطع بأنه له أصغر مساحة من بين كل القطوع الناقصة التي تمر برؤوس المُثلَّث.^[49] قطع كِيبِرْت الزائد ^{[الإنجليزية]} قطعٌ فريد يمر من رؤوس المثلث الثلاثة ومن مركز ثقله ومركز الدائرة المحيطة به.^[50]

رؤوس المثلث المماسي (بالأحمر) على مماسات الدائرة المحيطة بالمثلث الأزرق.
قطع شتاينر الناقص المار برؤوس مثلث، مركز هذا القطع مركزُ ثقل المُثلَّث.
قطع كيبرت الزائد: قطع زائد يمر من رؤوس المُثلَّث ومركز ثقله.

مثلثات أخرى

المثلثات الدائرية

المُثلَّث الدائري ^{[الإنجليزية]} مثلثٌ أضلاعه أقواس دائرة، قد تكون منحنية نحو الداخل، فيكون المُثلَّث مقعَّرًا، أو نحو الخارج، فيكون المُثلَّث مُحدَّبًا.^[يج]. يُنتِج تقاطع ثلاثة أقراص مثلثًا دائريًا مُحدَّبًا، ومثلث رولو مثالٌ عنه، وهو ينتج عندما تكون الأقراص الثلاثة من المقاس نفسه. يُمكن إنشاء مثلث رولو بالفرجار وحده من غير الحاجة لمسطرة وفقًا لمبرهنة مور وماسكيروني ^{[الإنجليزية]}، ويمكن أيضًا إنشاؤه بجعل أضلاع مثلث متساوي الأضلاع أقواسًا دائرية.^[51]

المثلث الزائف حالة خاصة من المثلث الدائري المحدَّب .^[52] وهو مجموعة من النقاط في فضاء بسيط الترابط ^{[الإنجليزية]} تمتد بين ثلاث مناطق متماسة تبادلًا. أضلاع هذا المثلث ثلاثة خطوط منحنية مُمَلَّسة^[يد] تصل بين رؤوسه التي تُسمى أيضًا النقاط المستدِقة ^[يه]. يمكن تجزئة أي مثلث زائف إلى عدد من المثلثات الزائفة باستعمال حدود الأقراص المُحدَّبة، وتُعرَف هذه العملية بالاستثلاث الزائف^[يو]. إذا استعمل $n$ قرص لتجزئة مُثلَّث زائف، فالناتج $2n-2$ مثلثًا زائفًا مع استعمال $3n-3$ مماسًا اثنانيًا.^[53] الغلاف المُحدَّب لأي مثلث زائف هو مُثلَّث.^[54]

المثلث في الأفضية غير المستوي

المُثلَّث الزائدي (يمين) والمُثلَّث الكروي (يسار)

المثلثات غير المستوية موجودة خارج الفضاء الإقليدي، مثل الفضاء الكروي والفضاء الزائدي ^{[الإنجليزية]}. يُسمَّى المثلث في الفضاء الكروي، مثلثًا كرويًا،^[يز]، ويُنشأ بالرسم على سطح كرة، وهو سطح موجب الانحناء. يُسمَّى المُثلَّث في الفضاء الزائدي مُثلَّثًا زائديًا، ويُنشئ بالرسم على سطح سالب الانحناء مثل السطح السرجي.^[55]

للمثلثات في هذين الفضاءين خواص مختلفة عن المثلثات في الفضاء الإقليدي. فمثلًا يكون مجموع زوايا المثلث في الفضاء الإقليدي 180°، أما في الفضاء الزائدي فهو أقل من 180°، وأما في الفضاء الكروي فهو أكبر من 180°.^[55] لهذا يكون مقاسات زوايا المثلث الدائري متساوي الأضلاع 90°، ومجموعها 270°. تُثبِت مبرهنة جيرارد أن مجموع زوايا أي مثلث كروي هو $180^{\circ }\times (1+4f)$ ، وفيه $f$ هو نسبة سطح المثلث إلى سطح الكرة التي رُسِم عليها.

الكُسوريّات

من الكُسوريّات ما يُعتمد على المثلَّثات مثل مثلث سيربنسكي وندفة ثلج كوخ.^[56]

انظر أيضًا

هوامش

^ ينص تعريف إقليدس على أن للمثلث متساوي الساقين ضلعين متساويي الطول حصرًا،^[6]، ولكن التعاريف الحديثة تجعل له ضلعين متساويي الطول على الأقل، وبهذا يكون المثلث متساوي الأضلاع حالة خاصة منه.^[7]
^ (بالإنجليزية: scalene triangle)
^ (بالإنجليزية: oblique triangle).^{[عر 5]}
^ (بالإنجليزية: perpendicular bisector)
^ (بالإنجليزية: centroid)
^ (بالإنجليزية: angle bisector)
^ (بالإنجليزية: incircle)^{[عر 6]}
^ (بالإنجليزية: inradius)
^ (بالإنجليزية: excircle)^{[عر 7]}
^ (بالإنجليزية: Feuerbach point)
^ (بالإنجليزية: degenerate triangle)
^ (بالإنجليزية: ear)
^ وقع أي خط مرسوم بين أي نقطتين من نقاطه داخله.
^ (بالإنجليزية: smoothed)
^ (بالإنجليزية: cusp points)
^ (بالإنجليزية: pseudo-triangulation)
^ (بالإنجليزية: spherical triangle)

المراجع

فهرس الإحالات

بالعربية

^ دعبول (2018)، ص. 723.
^ دنان (1984)، ج. 4، ص. 1125.
^ سمحان (2016)، ص. 49.
^ [أ] دعبول (2018)، ص. 723.
[ب] سمحان (2016)، ص. 49-50.
^ دعبول (2018)، ص. 487.
^ دعبول (2018)، ص. 218.
^ دعبول (2018)، ص. 227.
^ سمحان (2016)، ص. 51.
^ سمحان (2016)، ص. 52.
^ سمحان (2016)، ص. 67-69.
^ سمحان (2016)، ص. 72-73.
^ سمحان (2016)، ص. 60-61.

بالإنجليزية

^ Lang (1988), p. 4.
^ Euclid (1847), p. xx–xxi.
^ Euclid (1926), p. 187-188.
^ [a] Lang (1988), p. 4.
[b] Euclid (1926), p. 187-188.
^ [a] Lang (1988), p. 4.
[b] Ryan (2008), p. 91.
^ Euclid (1926), p. 187.
^ Stahl (2003), p. 37.
^ [a] Ryan (2008), p. 491.
[b] Usiskin (2008), p. 4.
^ [a] Lang (1988), p. 44.
[b] Ryan (2008), p. 96.
^ Holme (2010), p. 210.
^ Holme (2010), p. 143.
^ Lang (1988), p. 127.
^ Lang (1988), p. 128.
^ Anglin (1995), p. 30.
^ Ryan (2008), p. 105.
^ [a] Lang (1988), p. 84.
[b] King (2021), p. 78.
^ Ryan (2008), p. 106.
^ Ryan (2008), p. 104.
^ ^ا ^ب King (2021), p. 155.
^ [a] King (1997), p. 3–4.
[b] Edmonds (2008), p. 41-50.
^ Ryan (2008), p. 102.
^ Holme (2010), p. 240.
^ Ramsay (1995), p. 38.
^ Young (2017), p. 27.
^ Axler (2012), p. 634.
^ [a] Richmond (1997), p. 713–719.
[b] Alonso (2009), p. 57.
^ Longuet-Higgins (2003), p. 119-120.
^ Ryan (2008), p. 98.
^ Kendig (2000), p. 402-415.
^ Apostol (2014), p. 34–35.
^ Smith (2000), p. 86–87.
^ [a] Lardner (1840), p. 46.
[b] Riley (1982), p. 737-742.
^ Cundy (1952), p. 263-266.
^ Montroll (2009), p. 4.
^ [a] Lardner (1840), p. 46.
[b] Montroll (2009), p. 6.
^ Cromwell (1997), p. 341.
^ Oldknow (1995), p. 263-274.
^ [a] Oldknow (1995), p. 263-274.
[b] Ericson (2005), p. 46-47.
^ Berg (2008), p. 45-61.
^ Meisters (1975), p. 648-651.
^ Kalman (2008), p. 330-338.
^ Allaire (2012), p. 161-165.
^ Coxeter (1967), p. 18,23–25.
^ Kimberling (2008), p. 29–38.
^ Moses (2009), p. 15-24.
^ [a] Bailey (1998), p. 278-284.
[b] Oxman (2013), p. 113-115.
^ Eggleston (2007), p. 149–160.
^ Leversha (2007), p. 436–452.
^ Silvester (2017), p. 11–26.
^ Eddy (1994), p. 188–205.
^ [a] Hann (2014), p. 34.
[b] Hungerbühler (1994), p. 784-787.
^ Vahedi (2008), p. 73.
^ Pocchiola (1999), p. 259.
^ Devadoss (2011), p. 93.
^ ^ا ^ب Nielsen (2021), p. 154.
^ Frame (2016), p. 21.

ثبت المراجع

المقالات المُحكَّمة

H. Martyn Cundy (1952). "Deltahedra". The Mathematical Gazette (بالإنجليزية). 36 (318): 263 - 266. DOI:10.2307/3608204. ISSN:0025-5572. JSTOR:3608204. OCLC:6067281474. QID:Q56457244.
G. H. Meisters (1975). "Polygons Have Ears". American Mathematical Monthly (بالإنجليزية). 82 (6): 648–651. DOI:10.2307/2319703. ISSN:0002-9890. JSTOR:2319703. MR:0367792. OCLC:5545626456. Zbl:0304.54038. QID:Q56873364.
Michael W. Riley; David J. Cochran; John L. Ballard (1982). "An Investigation of Preferred Shapes for Warning Labels". Human Factors (بالإنجليزية). 24 (6): 737–742. DOI:10.1177/001872088202400610. ISSN:0018-7208. OCLC:6876325574. S2CID:109362577. QID:Q60357670.
R. H. Eddy; R. Fritsch (1994). "The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle". Mathematics Magazine (بالإنجليزية). 67 (3): 188. DOI:10.2307/2690610. ISSN:0025-570X. JSTOR:2690610. OCLC:5548666815. Zbl:0821.51020. QID:Q60698869.
Norbert Hungerbuhler (1994). "A Short Elementary Proof of the Mohr-Mascheroni Theorem". American Mathematical Monthly (بالإنجليزية). 101 (8): 784–787. DOI:10.2307/2974536. ISSN:0002-9890. JSTOR:2974536. MR:1299166. OCLC:5545567760. Zbl:0831.51015. QID:Q56340986.
Adrian Oldknow (1995). "Computer Aided Research into Triangle Geometry". The Mathematical Gazette (بالإنجليزية). 79 (485): 263–274. DOI:10.2307/3618298. ISSN:0025-5572. JSTOR:3618298. OCLC:5546326531. QID:Q137602269.
Bettina Richmond; Thomas Richmond (1997). "Metric Spaces in Which All Triangles are Degenerate". American Mathematical Monthly (بالإنجليزية). 104 (8): 713–719. DOI:10.1080/00029890.1997.11990706. ISSN:0002-9890. JSTOR:2975234. MR:1476755. OCLC:5545599482. QID:Q130014954.
Herbert Bailey; Duane Detemple (1998). "Squares Inscribed in Angles and Triangles". Mathematics Magazine (بالإنجليزية). 71 (4): 278–284. DOI:10.1080/0025570X.1998.11996652. ISSN:0025-570X. OCLC:7781154429. QID:Q129990437.
Michel Pocchiola; Gert Vegter (1999). "On Polygonal Covers". Advances in Discrete and Computational Geometry. Contemporary mathematics (بالإنجليزية): 257–268. ISBN:978-0-8218-0674-6. QID:Q137604607.
Keith Kendig (2000). "Is a 2000-Year-Old Formula Still Keeping Some Secrets?". American Mathematical Monthly (بالإنجليزية). 107 (5): 402–415. DOI:10.2307/2695295. ISSN:0002-9890. JSTOR:2695295. MR:1763392. OCLC:5545465632. S2CID:1214184. Zbl:1004.51024. QID:Q56156500.
Michael S. Longuet-Higgins (2003). "87.10 On the ratio of the inradius to the circumradius of a triangle". The Mathematical Gazette (بالإنجليزية). 87 (508): 119–120. DOI:10.1017/S0025557200172249. ISSN:0025-5572. OCLC:9988127009. QID:Q137599143.
Saul Stahl (2003). Geometry: from Euclid to knots (بالإنجليزية). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN:978-0-13-032927-1. LCCN:2002072722. OCLC:49942737. QID:Q137596227.
Gerry Leversha; G. C. Smith (2007). "Euler and triangle geometry". The Mathematical Gazette (بالإنجليزية). 91 (522): 436–452. DOI:10.1017/S0025557200182087. ISSN:0025-5572. JSTOR:40378417. OCLC:9988375751. QID:Q137587673.
Allan L. Edmonds; Mowaffaq Abdulla Hajja; Horst Martini (2008). "Orthocentric Simplices and Biregularity". Results in Mathematics (بالإنجليزية). 52 (1–2): 41–50. DOI:10.1007/S00025-008-0294-4. ISSN:1422-6383. MR:2430410. OCLC:10956994625. Zbl:1146.51016. QID:Q55892802.
Dan Kalman (2008). "An Elementary Proof of Marden's Theorem". American Mathematical Monthly (بالإنجليزية). 115 (4): 330–338. DOI:10.1080/00029890.2008.11920532. ISSN:0002-9890. OCLC:9988126155. Zbl:1144.30006. QID:Q58184842.
Clark Kimberling (2008). "Twenty-one points on the nine-point circle". The Mathematical Gazette (بالإنجليزية). 92 (523): 29–38. DOI:10.1017/S002555720018249X. ISSN:0025-5572. OCLC:11043030176. QID:Q137573482.
Peter Moses; Clark Kimberling (2009). "Reflection-Induced Perspectivities Among Triangles". Journal for Geometry and Graphics (بالإنجليزية). 13 (1): 12–24. ISSN:1433-8157. QID:Q137573538.
Patricia R. Allaire; Junmin Zhou; Haishen Yao (2012). "roving a nineteenth century ellipse identity". The Mathematical Gazette (بالإنجليزية). 96 (535): 161–165. DOI:10.1017/S0025557200004277. ISSN:0025-5572. OCLC:6184772707. QID:Q137573598.
Victor Oxman; Moshe Stupel (2013). "Why Are the Side Lengths of the Squares Inscribed in a Triangle so Close to Each Other?" (PDF). Forum Geometricorum (بالإنجليزية). 13: 113–115. ISSN:1534-1178. QID:Q137603041.
John R. Silvester (2017). "Extremal area ellipses of a convex quadrilateral". The Mathematical Gazette (بالإنجليزية). 101 (550): 11–26. DOI:10.1017/MAG.2017.2. ISSN:0025-5572. OCLC:11043029983. QID:Q137587619.
Frank Nielsen (2021). "On Geodesic Triangles with Right Angles in a Dually Flat Space". Progress in Information Geometry: Theory and Applications. Signals and Communication Technology (بالإنجليزية): 153–190. DOI:10.1007/978-3-030-65459-7_7. ISBN:978-3-030-65461-0. OCLC:8944874712. QID:Q137175331.

الكتب: بالعربية

فوزي دنان؛ سعد طه باقر؛ صابر نصر العايدي؛ هاني رضا فران (1984)، موسوعة الكويت العلمية: الرياضيات، كاتب وكتاب (بالعربية والإنجليزية) (ط. 1)، مدينة الكويت: مؤسسة الكويت للتقدم العلمي، OCLC:1103839071، QID:Q131933449
موفق دعبول؛ بشير قابيل؛ مروان البواب؛ خضر الأحمد (2018)، معجم مصطلحات الرياضيات (بالعربية والإنجليزية)، دمشق: مجمع اللغة العربية بدمشق، OCLC:1369254291، QID:Q108593221
معروف عبد الرحمن سمحان؛ نجلاء بن عبد العزيز التويجري؛ ليانا توبان (2019). رياضيات الأولمبياد - مرحلة الإعداد. الرياض: مكتبة العبيكان. ISBN:978-603-503-866-9. OCLC:10583568330. QID:Q137373887.

بالإنجليزية

Dionysius Lardner (1840), A Treatise on Geometry and Its Application in the Arts, The Cabinet Cyclopædia (71) (بالإنجليزية), London: Longman, OCLC:5213295, QID:Q137602203
Euclid; Oliver Byrne (1847), The first six books of the Elements of Euclid: with coloured diagrams (بالإنجليزية), London: William Pickering, OCLC:1045573180, QID:Q137595867
Euclid (1926), The thirteen books of Euclid's elements: Translated from the text of Heiberg. Introduction and books I, II (بالإنجليزية), translated by Thomas Little Heath (2nd ed.), Cambridge: Cambridge University Press, vol. I, OCLC:634148470, QID:Q137596197{{استشهاد}}: صيانة الاستشهاد: ref duplicates default (link)
H. S. M. Coxeter; S. L. Greitzer (1967). Geometry revisited. Anneli Lax New Mathematical Library (19) (بالإنجليزية) (1st ed.). Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN:978-0-394-70919-2. JSTOR:10.4169/j.ctt19b9k65. LCCN:67020607. OCLC:543301. QID:Q136280024.
Serge Lang; Gene Murrow (1988). Geometry: a high school course. Springer books on elementary mathematics (بالإنجليزية) (2nd ed.). New York City: Springer Science+Business Media. DOI:10.1007/978-1-4757-2022-8. ISBN:978-0-387-96654-0. OCLC:634581421. QID:Q137351857.
W. S. Anglin; J. Lambek (1995). The Heritage of Thales. Undergraduate Texts in Mathematics (بالإنجليزية) (1st ed.). New York City: Springer New York. DOI:10.1007/978-1-4612-0803-7. ISBN:978-0-387-94544-6. LCCN:95019695. OCLC:32548701. QID:Q137593762.
Arlan Ramsay; Robert D. Richtmyer (1995). Introduction to Hyperbolic Geometry. Universitext (بالإنجليزية). New York City: Springer Science+Business Media. ISBN:978-0-387-94339-8. LCCN:94025789. OCLC:30594494. QID:Q137603773.
Peter R. Cromwell (1997). Polyhedra: one of the most charming chapters of geometry (بالإنجليزية). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN:978-0-521-55432-9. LCCN:96009420. MR:1458063. OCLC:5894556930. QID:Q134888807.
James R. King; Doris Schattschneider (1997). Geometry turned on!: Dynamic software in learning, teaching, and research. Mathematical Association of America notes (41) (بالإنجليزية). Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN:978-0-88385-099-2. LCCN:97070509. OCLC:37507066. QID:Q137593599.
James T. Smith (2000). Methods of Geometry (بالإنجليزية). New York City: Wiley. ISBN:978-0-471-25183-5. LCCN:99010306. OCLC:839013553. QID:Q136094198.
Christer Ericson (2005). Real-Time Collision Detection. The Morgan Kaufmann series in interactive 3D technology (بالإنجليزية). Amsterdam: CRC Press. ISBN:978-1-55860-732-3. LCCN:2005272332. OCLC:1310201460. QID:Q137602913.
H. G. Eggleston (2007). Problems in Euclidean space: application of convexity (بالإنجليزية). Mineola: Dover Publications. ISBN:978-0-486-45846-5. LCCN:2006052117. OCLC:74966621. QID:Q137593688.
Mark de Berg; Otfried Cheong; Marc van Kreveld; Mark Overmars (2008). Computational Geometry: Algorithms and Applications (PDF) (بالإنجليزية) (3rd ed.). Berlin: Springer Berlin Heidelberg. DOI:10.1007/978-3-540-77974-2. ISBN:978-3-540-77973-5. OCLC:213457590. OL:16863671M. QID:Q55895913.
Mark Ryan (2008). Geometry For Dummies (بالإنجليزية) (2nd ed.). Hoboken: Wiley. ISBN:978-0-470-08946-0. OCLC:940754282. QID:Q137361174.
Zalman Usiskin; Jennifer Griffin; David Witonsky; Edwin Willmore (2008). The classification of quadrilaterals: a study of definition. Research in mathematics education series (بالإنجليزية). Charlotte: Information Age Publishing. ISBN:978-1-60752-600-1. OCLC:254166189. QID:Q136140485.
Mostafa Vahedi; A. Frank van der Stappen (2008). "Caging Polygons with Two and Three Fingers". Algorithmic Foundation of Robotics VII: selected contributions of the seventh International Workshop on the Algorithmic Foundations of Robotics. Understanding Complex Systems (بالإنجليزية): 71–86. DOI:10.1007/978-3-540-68405-3_5. ISBN:978-3-540-68404-6. OCLC:5723583139. QID:Q137604752.
John Montroll (2009). Origami Polyhedra Design (بالإنجليزية). Natick: A K Peters, Ltd. ISBN:978-1-4398-7106-5. OCLC:752580802. QID:Q137602250.
Audun Holme (2010). Geometry: our cultural heritage (بالإنجليزية). Berlin: Springer Science+Business Media. DOI:10.1007/978-3-642-14441-7. ISBN:978-3-642-14440-0. LCCN:2010936506. OCLC:676701072. QID:Q135215138.
Satyan L. Devadoss; Joseph O'Rourke (2011). Discrete and Computational Geometry (بالإنجليزية). Princeton: Princeton University Press. ISBN:978-0-691-14553-2. LCCN:2010044434. OCLC:679940614. QID:Q137603869.
Sheldon Axler (2012). Algebra & trigonometry: with student solutions manual (بالإنجليزية). Hoboken: Wiley. ISBN:978-0-470-58579-5. LCCN:2011500269. OCLC:741344323. OL:25145305M. QID:Q137596869.
Tom M. Apostol (2014). Linear algebra: a first course, with applications to differential equations (بالإنجليزية). Hoboken: Wiley. ISBN:978-1-118-62601-6. OCLC:1202933594. OL:29150589M. QID:Q137599490.
Michael Hann (2014). Structure and Form in Design: Critical Ideas for Creative Practice (بالإنجليزية). London: Bloomsbury Publishing. ISBN:978-1-4725-8431-1. OCLC:1481278762. OL:48659656M. QID:Q137603143.
Michael Lee Frame; Amelia Urry (2016). Fractal worlds: Grown, built, and imagined (بالإنجليزية). New Haven: Yale University Press. ISBN:978-0-300-19787-7. LCCN:2015955525. OCLC:930799444. QID:Q137604852.
Cynthia Y. Young (2017). Trigonometry (بالإنجليزية) (4th ed.). Hoboken: Wiley. ISBN:978-1-119-32113-2. OCLC:1049989795. OL:40032195M. QID:Q137596804.
James R. King (2021). Geometry transformed: Euclidean plane geometry based on rigid motions. Pure and applied undergraduate texts (51) (بالإنجليزية). Providence: American Mathematical Society. ISBN:978-1-4704-6443-1. OCLC:1200832244. QID:Q137603904.

أطاريح دكتوراة

Orlando Braulio Alonso (2009). Making sense of definitions in geometry: Metric-combinatorial approaches to classifying triangles and quadrilaterals (بالإنجليزية). Teachers College. ISBN:978-1-109-55437-3. OCLC:1539387615. QID:Q137596916.

وصلات خارجية

موسوعة مراكز المثلث: أكثر من 500 نقطة أو مستقيم مرتبطة بالمثلث.

[12] ينص تعريف إقليدس على أن للمثلث متساوي الساقين ضلعين متساويي الطول حصرًا،^[6]، ولكن التعاريف الحديثة تجعل له ضلعين متساويي الطول على الأقل، وبهذا يكون المثلث متساوي الأضلاع حالة خاصة منه.^[7]

[13] (بالإنجليزية: scalene triangle)

[16] (بالإنجليزية: oblique triangle).^{[عر 5]}

[20] (بالإنجليزية: perpendicular bisector)

[25] (بالإنجليزية: centroid)

[28] (بالإنجليزية: angle bisector)

[30] (بالإنجليزية: incircle)^{[عر 6]}

[31] (بالإنجليزية: inradius)

[33] (بالإنجليزية: excircle)^{[عر 7]}

[36] (بالإنجليزية: Feuerbach point)

[45] (بالإنجليزية: degenerate triangle)

[63] (بالإنجليزية: ear)

[75] وقع أي خط مرسوم بين أي نقطتين من نقاطه داخله.

[78] (بالإنجليزية: smoothed)

[79] (بالإنجليزية: cusp points)

[80] (بالإنجليزية: pseudo-triangulation)

[83] (بالإنجليزية: spherical triangle)

[1] دعبول (2018)، ص. 723.

[2] دنان (1984)، ج. 4، ص. 1125.

[4] سمحان (2016)، ص. 49.

[7] [أ] دعبول (2018)، ص. 723.
[ب] سمحان (2016)، ص. 49-50.

[15] دعبول (2018)، ص. 487.

[29] دعبول (2018)، ص. 218.

[32] دعبول (2018)، ص. 227.

[40] سمحان (2016)، ص. 51.

[41] سمحان (2016)، ص. 52.

[48] سمحان (2016)، ص. 67-69.

[49] سمحان (2016)، ص. 72-73.

[50] سمحان (2016)، ص. 60-61.

[3] Lang (1988), p. 4.

[5] Euclid (1847), p. xx–xxi.

[6] Euclid (1926), p. 187-188.

[8] [a] Lang (1988), p. 4.
[b] Euclid (1926), p. 187-188.

[9] [a] Lang (1988), p. 4.
[b] Ryan (2008), p. 91.

[10] Euclid (1926), p. 187.

[11] Stahl (2003), p. 37.

[14] [a] Ryan (2008), p. 491.
[b] Usiskin (2008), p. 4.

[17] [a] Lang (1988), p. 44.
[b] Ryan (2008), p. 96.

[18] Holme (2010), p. 210.

[19] Holme (2010), p. 143.

[21] Lang (1988), p. 127.

[22] Lang (1988), p. 128.

[23] Anglin (1995), p. 30.

[24] Ryan (2008), p. 105.

[26] [a] Lang (1988), p. 84.
[b] King (2021), p. 78.

[27] Ryan (2008), p. 106.

[34] Ryan (2008), p. 104.

[مولد_تلقائيا1-35] ا ^ب King (2021), p. 155.

[37] [a] King (1997), p. 3–4.
[b] Edmonds (2008), p. 41-50.

[38] Ryan (2008), p. 102.

[39] Holme (2010), p. 240.

[42] Ramsay (1995), p. 38.

[43] Young (2017), p. 27.

[44] Axler (2012), p. 634.

[46] [a] Richmond (1997), p. 713–719.
[b] Alonso (2009), p. 57.

[47] Longuet-Higgins (2003), p. 119-120.

[51] Ryan (2008), p. 98.

[52] Kendig (2000), p. 402-415.

[53] Apostol (2014), p. 34–35.

[54] Smith (2000), p. 86–87.

[55] [a] Lardner (1840), p. 46.
[b] Riley (1982), p. 737-742.

[56] Cundy (1952), p. 263-266.

[57] Montroll (2009), p. 4.

[58] [a] Lardner (1840), p. 46.
[b] Montroll (2009), p. 6.

[59] Cromwell (1997), p. 341.

[60] Oldknow (1995), p. 263-274.

[61] [a] Oldknow (1995), p. 263-274.
[b] Ericson (2005), p. 46-47.

[62] Berg (2008), p. 45-61.

[64] Meisters (1975), p. 648-651.

[65] Kalman (2008), p. 330-338.

[66] Allaire (2012), p. 161-165.

[67] Coxeter (1967), p. 18,23–25.

[68] Kimberling (2008), p. 29–38.

[69] Moses (2009), p. 15-24.

[70] [a] Bailey (1998), p. 278-284.
[b] Oxman (2013), p. 113-115.

[71] Eggleston (2007), p. 149–160.

[72] Leversha (2007), p. 436–452.

[73] Silvester (2017), p. 11–26.

[74] Eddy (1994), p. 188–205.

[76] [a] Hann (2014), p. 34.
[b] Hungerbühler (1994), p. 784-787.

[77] Vahedi (2008), p. 73.

[81] Pocchiola (1999), p. 259.

[82] Devadoss (2011), p. 93.

[م10-84] ا ^ب Nielsen (2021), p. 154.

[85] Frame (2016), p. 21.

[عر 1]

[عر 2]

[1]

[عر 3]

[2]

[3]

[عر 4]

[4]

[5]

[ا]

[ب]

[8]

[ج]

[9]

[10]

[11]

[د]

[12]

[13]

[14]

[15]

[ه]

[16]

[17]

[و]

[ز]

[ح]

[ط]

[18]

[19]

[ي]

[20]

[21]

[22]

[عر 8]

[عر 9]

[23]

[24]

[25]

[يا]

[26]

[27]

[عر 10]

[عر 11]

[عر 12]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[يب]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[يج]

[51]

[52]

[يد]

[يه]

[يو]

[53]

[54]

[يز]

[55]

[56]

[6]

[7]

[عر 5]

[عر 6]

[عر 7]

ع ن ت المُثلَّث
التصنيف المواضيع
الوصف	الرأس القمة الضلع الزاوية القاعدة
الأنواع	متساوي الأضلاع متساوي الساقين ذهبي قائم الزاوية زاوية قائمة ضلع قائم وتر (مثلث) مثلث كبلر حاد الزاويا ومنفرج الزاوية قائم الزاوية متساوي الساقين مختلف الأضلاع مثلث هيرون
نقاط مَلحوظة	المراكز : الدوائر المحيطة والمحاطة ثقل النقاط التسع ^{[الإنجليزية]} ملتقى ارتفاعات النقاط التسع ^{[الإنجليزية]} دائرة سبايكر ^{[الإنجليزية]} بروكار فويرباخ فيرما أو فيرما دو لونشان ميكيل جرغون ناغل فكتان ^{[الإنجليزية]} متساوية الزوايا تساوي القوة ^{[الإنجليزية]} لومان تركيم ^{[الإنجليزية]} نابليون ^{[الإنجليزية]} مَيْتَلْبُنْت ^{[الإنجليزية]}
مستقيمات مَلحوظة	قواطع تشيفا الارتفاع المتوسط المُنصِّف المُنصِّف المعامِد بروكار أويلر لومان نيوتن سيمسون شتاينر ^{[الفرنسية]} منيلاوس محور قدمي ارتفاعي ^{[الفرنسية]} خط مركزي ^{[الإنجليزية]}
دوائر مَلحوظة	محيطة ومحاطة النقاط التسع أبولونية لوموان لونشان ميكيل تيلور ^{[لغات أخرى]}‏ توكر ^{[لغات أخرى]}‏ قدمية ^{[الإنجليزية]} بروكار سبايكر ^{[الإنجليزية]} فورمان ^{[الإنجليزية]} جنسون قدمية ^{[الإنجليزية]}
مُثلَّثات مَلحوظة	بيفان ^{[الإنجليزية]} فويرباخ ^{[لغات أخرى]}‏ جرغون ^{[لغات أخرى]}‏ مورلي تماس خارجي مثلث محاط ذو محيط أصغري ^{[الإنجليزية]} (مسألة فَغْنانو) مثلث قدمي منتصفي قدمي ارتفاعي ^{[لغات أخرى]}‏ تماس داخلي ^{[لغات أخرى]}‏ فورمان ^{[الإنجليزية]}
منحنيات مَلحوظة	دلتاوي شتاينر ^{[لغات أخرى]}‏ القطوع المخروطية المُثلَّثية ^{[الإنجليزية]} كيبر الزائد ^{[الإنجليزية]} شتاينر الناقص المُحاط ^{[الإنجليزية]} قطعان مخروطيان أحدهما محيط بمثلث والآخر محاط به ^{[لغات أخرى]}‏ منحني مثلث تكعيبي ^{[لغات أخرى]}‏
مُبرهَنات	فيثاغورس طاليس للتناسب نابليون كارنو منيلاوس مورلي ناغل ^{[لغات أخرى]}‏ نويبرغ ^{[لغات أخرى]}‏ هاملتون ^{[لغات أخرى]}‏ أويلر فويرباخ ^{[لغات أخرى]}‏ مبرهنة فيفياني مرتبطة بقاطع تشيفا تشيفا جرغون ^{[لغات أخرى]}‏ ستيوارت رويشله ^{[الإنجليزية]} روث ^{[الإنجليزية]} ياكوبي ^{[الإنجليزية]} مرتبطة بالدوائر الدوائر الست ^{[الإنجليزية]} ميكيل
علاقات بين المثلثات	تساوي القياس التشابه قائمة متباينات المثلث ^{[الإنجليزية]}
حلُّ المُثلَّث	قانون جيب التمام قانون الجيب قانون الظل قانون ظل التمام مساحة ^{[الإنجليزية]} صيغة هيرون
بوابة رياضيات بوابة هندسة رياضية

ع ن ت المُضلَّعات
القائمة ^{[الإنجليزية]}‏ التصنيف
التصنيف	بسيط منتظم مُقعَّر مُحدَّب دائري متساوي الزوايا متساوي الأضلاع مماسي نجمي الشكل متجانف
حسب عدد الأضلاع	أحادي (1) ثُنائِي (2) ثُلاثي (3) رُباعي (4) خُماسي (5) سُداسي (6) سُباعي (7) ثُماني (8) تُساعي (9) عُشاري (10) أحد عشري الأضلاع (11) اثنا عشري الأضلاع (12) ثلاث عشري الأضلاع (13) أربع عشري الأضلاع (14) خمس عشري الأضلاع (15) ست عشري الأضلاع (16) سبع عشري الأضلاع (17) ثماني عشري الأضلاع (18) تسع عشري الأضلاع (19) عشروني الأضلاع (20) ثلاثوني الأضلاع (30) أربعوني الأضلاع (40) خمسوني الأضلاع ^{[الإنجليزية]}‏ (50) ستوني الأضلاع ^{[الإنجليزية]}‏ (60) سبعوني الأضلاع ^{[الإنجليزية]}‏ (70) ثمانوني الأضلاع ^{[الإنجليزية]}‏ (80) تسعوني الأضلاع ^{[الإنجليزية]}‏ (90) مئوي الأضلاع (100) ألفي الأضلاع (1000) ذو عشرة آلاف ضلعًا (10000) مليوني الأضلاع (1000000) لامنتهي الأضلاع (∞)
ثلاثيَّة	إقليدية مثلث حاد الزوايا متساوي الأضلاع متساوي الساقين مثلث منفرج الزاوية قائم الزاوية دوائر المثلث مثلث زائف زائدية زائدي مثالي ^{[الإنجليزية]}‏
رباعيَّة	إقليدية متوازي أضلاع متخالفة التوازي مُعيّن مستطيل مربع شبه منحرف متساوي الساقين مماسي حَدَأة قائمة الزاوية متساوي القطرين متعامد القطرين ^{[الإنجليزية]}‏ دائري ثنائي المركز مماسي مماسي خارجي زائدية لامبرت ساكيري مقعر
نجميّة	خماسيّ سداسيّ سباعيّ ثمانيّ تساعيّ ^{[الإنجليزية]}‏ عشاريّ ^{[الإنجليزية]}‏ أحد عشريّ ^{[الإنجليزية]}‏ اثنا عشريّ ^{[الإنجليزية]}‏
بوابة هندسة رياضية