متطابقة بوزو

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
متطابقة بوزو
النوع مبرهنة  تعديل قيمة خاصية حالة خاصة من (P31) في ويكي بيانات
الصيغة
  تعديل قيمة خاصية تعريف الصيغة (P2534) في ويكي بيانات
سميت بأسم إيتيين بوزو،  وكلود غاسبارد باشي دي ميزيرياك  تعديل قيمة خاصية سمي باسم (P138) في ويكي بيانات

متطابقة بوزو أو متساوية بوزو أو مبرهنة بوزو الصغرى (بالإنجليزية: Bézout's identity) (بالإنجليزية: Bézout's identity) هي مبرهنة في نظرية الأعداد الإبتدائية.[1][2][3] ليكن a و b عددين صحيحين وليكن d قاسمهما المشترك الأكبر، إذن يوجد عددان صحيحان x و y حيث تتوفر الصيغة التالية :

x و y يسميان معاملا بوزو بالنسبة ل a و b.

سميت هاته المتطابقة و هذه المعاملات هكذا نسبة لعالم الرياضيات الفرنسي إيتيين بوزو.

وخلال قيامه بأبحاث حول قابلية القسمة بالنسبة للحدوديات أعطى برهانا للمبرهنة التي تحمل اسمه وهي كالتالي:

و هي تندرج أيضاً في فرع الحسابيات المعيارية، و تعدُّ معادلة ديوفانتية خطية:

حيث .

التاريخ[عدل]

أعلن باشي هذه المطابقة للمرة الأولى في كتابه Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres الذي صدر سنة 1624. وخلال القرن 18م، عمم إيتيين بوزو هذه النتيجة، وخاصة لمتعددات الحدود.

عدم وحدانية الحلول[عدل]

إن الزوج (u,v) ليس وحيدا.

  • مثال

ليكن العددان و. لدينا .

  • تحقق متساوية بوزو.

إذا كان لمتساوية بوزو حل خاص فإن مجموعة حلول المتساوية هي

أمثلة[عدل]

متطابقة بوزو[عدل]

تنص متساوية بوزو على أنه إذا كان a وb عددين صحيحين نسبيين غير منعدمين فإنه يوجد عددان صحيحان u وv بحيث تتوفر الصيغة التالية (u.a+v.b=gcd(a،b

رياضيا .

  • عكس المبرهنة غير صحيح.

مبرهنة بوزو(باشي 1624)[عدل]

تنص مبرهنة بوزو على الآتي

مبرهنة بوزو(Bézout)

a وb عددان صحيحان نسبيان غير منعدمين، لدينا:

.

و هي حالة خاصة من متطابقة بوزو.

  • مثال

ليكن العددان الصحيحان و

باختيار و لدينا ومنه العددان 7 و9 أوليان فيما بينهما.

تعميمات[عدل]

يمكن تعميم متساوية بوزو ومبرهنة بوزو لأكثر من عنصرين.

متساوية بوزو[عدل]

مبرهنة- لتكن أعدادا صحيحة نسبية غير منعدمة في آن واحد. توجد أعداد صحيحة نسبية بحيث :

إذا كان :

فإن .

بتعبير آخر: هو أصغر عدد صحيح موجب يكتب كتأليفة خطية للأعداد .

مبرهنة بوزو[عدل]

نقول إن الأعداد أولية فيما بينها في مجموعها إذا وفقط إذا وجدت أعداد صحيحة نسبية غير منعدمة في آن واحد بحيث :

.

متطابقة بوزو في [Z[X[عدل]

مبرهنة- جسم و أسرة متعددات حدود من .

  • إذا كان هو قاسمها المشترك الأكبر فإنه توجد أسرة من متعددات الحدود بحيث .
  • نقول إن متعددات الحدود أولية فيما بينها في مجموعها إذا وفقط إذا وجدت أسرة من متعددات الحدود بحيث: .

تمديد متساوية بوزو إلى حلقات أساسية مهما كانت[عدل]

متطابقة بوزو يمكن أن تكتب ليس فقط في حلقة الأعداد الصحيحة، ولكن أيضا في كل حلقة أساسية أخرى(anneau principal).إذا كانت حلقة أساسية، و و عنصران من ، و قاسم مشترك أكبر ل و فإنه توجد عناصر و في بحيث :

في حلقة أساسية، قاسم مشترك ل و هو مولد ل ، متطابقة بوزو هي نتيجة لهذا التعريف.

البرهان[عدل]

انظر إلى باق (رياضيات).

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

  1. ^ Tignol، Jean-Pierre (2001). Galois' Theory of Algebraic Equations. Singapore: World Scientific. ISBN 981-02-4541-6. 
  2. ^ Maarten Bullynck (February 2009). "Modular arithmetic before C.F. Gauss: Systematizations and discussions on remainder problems in 18th-century Germany" (PDF). Historia Mathematica. 36 (1): 48–72. doi:10.1016/j.hm.2008.08.009. 
  3. ^ Bézout, É. (1779). Théorie générale des équations algébriques. Paris, France: Ph.-D. Pierres. 

وصلات خارجية[عدل]

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]