مصفوفة معرفة موجبة

في الجبر الخطي، نقول عن المصفوفة $\,M$ الحقيقية المتساوية الأبعاد $\,n\times n\,$ بأنها معرّفة موجبة إذا كان الجداء $\,z^{\mathrm {T} }Mz$ موجبا لأجل كل شعاع عمودي $\,z$ غير صفري ذو $\,n$ عدد حقيقي. هنا تشير $\,z^{\mathrm {T} }$ إلى منقول الشعاع $\,z$

أمثلة

• المصفوفة الواحدية

$I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

هي مصفوفة معرفة موجبة حيث أنها مصفوفة حقيقية ومتناظرة ولأجل كل شعاع $\,z$ غير صفري يحوي العنصرين $\,a,b$ فإنه يكون

$z^{\mathrm {T} }Iz={\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a^{2}+b^{2}$

الناتج عبارة عن مجموع من المربعات وليس سالب

• المصفوفة المتناظرة الحقيقية التالية:

$M={\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}}$

هي مصفوفة معرفة موجبة حيث أنه لأجل كل شعاع $\,z$غير صفري يحوي العنصرين $\,a,b$ فإنه يكون

${\begin{aligned}z^{\mathrm {T} }Mz=(z^{\mathrm {T} }M)z&={\begin{bmatrix}(2a-b)&(-a+2b-c)&(-b+2c)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}\\&=2{a}^{2}-2ab+2{b}^{2}-2bc+2{c}^{2}\\&={a}^{2}+(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+{c}^{2}\end{aligned}}$

الناتج عبارة عن مجموع من المربعات وليس سالب

• المصفوفة الحقيقية التالية

$N={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}$

هي ليست معرفة موجبة. مثلا من أجل الشعاع $\,z$ له الشكل

${\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}}$

فإنه

$z^{\mathrm {T} }Nz={\begin{bmatrix}-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}=-2<0.$

الخصائص

1. من أهم خواص المصفوفة المعرفة الموجبة هي أن كل القيم الذاتية لها هي قيم موجبة