متفاوتة هوغنس

متفاوتة هوغنس على الدائرة المثلثية

متفاوتة هوغنس هي نتيجة رياضية تنص على أنه، في المجال $\left[{0};{\frac {\pi }{2}}\right[$ من $\mathbb {R}$، المتفاوتة التالية محققة: $\forall x\in \left[{0};{\frac {\pi }{2}}\right[,x\leq {\frac {2}{3}}\cdot \sin x+{\frac {1}{3}}\cdot \tan x$.

إثبات باستخدام المشتقة

لتكن الدالة العددية الحقيقية f للمتغير الحقيقي x، والمعرفة على المجال $I=\left[{0};{\frac {\pi }{2}}\right[$ بما يلي: $f(x)=2\times \sin {x}+\tan {x}-3x$

f قابلة للاشتقاق على $I$ و لكل x من$I$ : $f'(x)={\frac {2\cos ^{3}x-3\cos ^{2}x+1}{\cos ^{2}{x}}}={\frac {(\cos x-1)^{2}(2\cos {x}+1)}{\cos ^{2}{x}}}$.

و بما أن $\forall x\,\cos ^{2}x>0$ و $\forall x\,(\cos x-1)^{2}(2\cos {x}+1)\geq 0$.

فإن، $\forall x\in \left[{0};{\frac {\pi }{2}}\right[,f'(x)\geq 0$، و منه f تزايدية على$I$، و بما أن: $f(0)=0$ فإن: $\forall x\in \left[{0};{\frac {\pi }{2}}\right[,f(x)\geq 0\Leftrightarrow \forall x\in \left[{0};{\frac {\pi }{2}}\right[,2\sin x+\tan x\geq 3x$.