عملية تصادفية: الفرق بين النسختين

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
تصفح التاريخ تفاعلياً
[نسخة منشورة][نسخة منشورة]
→ التعديل السابقالتعديل اللاحق ←
تم حذف المحتوى تمت إضافة المحتوى
مرئينص الويكي
JarBot (نقاش | مساهمات)
17٬592٬533 edits
ط بوت:الإبلاغ عن رابط معطوب أو مؤرشف V4.9.1*
This contribution was added by Bayt al-hikma 2.0 translation project
سطر 1: سطر 1:
<!-- ({{IPAc-en|s|t|əʊ|ˈ|k|æ|s|t|ɪ|k}}) <ref name="OxfordStochastic">{{Cite OED|Stochastic}}</ref> -->
<!-- ({{IPAc-en|s|t|əʊ|ˈ|k|æ|s|t|ɪ|k}}) <ref name="OxfordStochastic">{{Cite OED|Stochastic}}</ref> -->
[[File:BMonSphere.jpg|thumb|صورة تمثل محاكاة [[جهاز الحاسب|جهاز الحاسوب]] لتحقيق [[عملية فينر]]، وتعتبر على نطاق واسع العملية العشوائية الأكثر دراستها والمركزية في [[نظرية الاحتمالات]].]]
[[File:BMonSphere.jpg|thumb|صورة تمثل محاكاة [[جهاز الحاسب|جهاز الحاسوب]] لتحقيق [[عملية فينر]]، وتعتبر على نطاق واسع العملية التصادفية الأكثر دراستها والمركزية في [[نظرية الاحتمال|نظرية الاحتمالات]].]]
'''العملية التصادفية''' أو '''العملية''' '''العشوائية،،''' أو '''الاحتمالية،''' في [[نظرية الاحتمالات]] والمجالات المرتبطة، هي موضوع رياضي يعرف عادةً بوصفه مجموعة من [[متغير عشوائي|المتغيرات العشوائية]]. تاريخيًا، ترتبط المتغيرات العشوائية ويُشار إليها بواسطة أرقام محددة، تظهر عادةً بوصفها نقاطًا زمنية، ما يفسر العملية التصادفية المتمثلة بقيم عددية في بعض النظم الاحتمالية المتغيرة بمرور الزمن، مثل النمو البكتيري، وتقلب التيار الكهربي خلال [[ضجيج حراري|التشويش الحراري]]، أو حركة جزيئات الغاز.<ref name="doob1953stochasticP46to47">{{cite book|author=Joseph L. Doob|title=Stochastic processes|url=https://books.google.com/books?id=7Bu8jgEACAAJ|year=1990|publisher=Wiley|pages=46, 47}}</ref><ref name="Parzen1999">{{cite book|author=Emanuel Parzen|title=Stochastic Processes|url=https://books.google.com/books?id=0mB2CQAAQBAJ|year=2015|publisher=Courier Dover Publications|isbn=978-0-486-79688-8|pages=7, 8}}</ref><ref name="GikhmanSkorokhod1969page1">{{cite book|author1=Iosif Ilyich Gikhman|author2=Anatoly Vladimirovich Skorokhod|title=Introduction to the Theory of Random Processes|url=https://books.google.com/books?id=q0lo91imeD0C|year=1969|publisher=Courier Corporation|isbn=978-0-486-69387-3|page=1}}</ref><ref name=":0">{{Cite book|title=Markov Chains: From Theory to Implementation and Experimentation|last=Gagniuc|first=Paul A.|publisher=John Wiley & Sons|year=2017|isbn=978-1-119-38755-8|location=NJ|pages=1–235}}</ref>
'''العمليات التصادفية''' {{إنج|stochastic process}} تصف ترادفاً من الأحداث التي تـُظهــِـر أنـّـها تقع في مجال الصدفة، أي أنـّها لا تتبدّى بأي ّ علاقات أو اِرتباطات منظـّمة بين تلك، سواء إن كان المــِـعـْـلاج طبيعيا أم اِصطناعيا.<ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00564752 | عنوان = معلومات عن عملية تصادفية على موقع id.ndl.go.jp | ناشر = id.ndl.go.jp| مسار الأرشيف = https://web.archive.org/web/20200511025349/https://id.ndl.go.jp/auth/ndlsh/00564752 | تاريخ الأرشيف = 11 مايو 2020 }}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://babelnet.org/synset?word=bn:00074331n | عنوان = معلومات عن عملية تصادفية على موقع babelnet.org | ناشر = babelnet.org|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191210175136/https://babelnet.org/synset?word=bn:00074331n|تاريخ أرشيف=2019-12-10}}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://zthiztegia.elhuyar.eus/kontzeptua/133839 | عنوان = معلومات عن عملية تصادفية على موقع zthiztegia.elhuyar.eus | ناشر = zthiztegia.elhuyar.eus|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191210175138/https://zthiztegia.elhuyar.eus/kontzeptua/133839|تاريخ أرشيف=2019-12-10}}</ref>


تُستخدم العمليات العشوائية بتوسع بوصفها [[نموذج رياضي|نماذج رياضية]] للأنظمة والظواهر التي تظهر تفاوتًا في نمط العشوائية. وفي أنظمة عديدة تتضمن علوم الأحياء<ref name="Bressloff2014">{{cite book|author=Paul C. Bressloff|title=Stochastic Processes in Cell Biology|url=https://books.google.com/books?id=SwZYBAAAQBAJ|year=2014|publisher=Springer|isbn=978-3-319-08488-6}}</ref> والكيمياء<ref name="Kampen2011">{{cite book|author=N.G. Van Kampen|title=Stochastic Processes in Physics and Chemistry|url=https://books.google.com/books?id=N6II-6HlPxEC|year=2011|publisher=Elsevier|isbn=978-0-08-047536-3}}</ref> وعلوم البيئة<ref name="LandeEngen2003">{{cite book|author1=Russell Lande|author2=Steinar Engen|author3=Bernt-Erik Sæther|title=Stochastic Population Dynamics in Ecology and Conservation|url=https://books.google.com/books?id=6KClauq8OekC|year=2003|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-852525-7}}</ref> والعلوم العصبية<ref name="LaingLord2010">{{cite book|author1=Carlo Laing|author2=Gabriel J Lord|title=Stochastic Methods in Neuroscience|url=https://books.google.com/books?id=RaYSDAAAQBAJ|year=2010|publisher=OUP Oxford|isbn=978-0-19-923507-0}}</ref> والفيزياء<ref name="PaulBaschnagel2013">{{cite book|author1=Wolfgang Paul|author2=Jörg Baschnagel|title=Stochastic Processes: From Physics to Finance|url=https://books.google.com/books?id=OWANAAAAQBAJ|year=2013|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-319-00327-6}}</ref> والتكنولوجيا، ومجالات الهندسة مثل [[معالجة الصور الرقمية|المعالجة التصويرية]]، [[معالجة الإشارة|ومعالجة الإشارة]]<ref name="Dougherty1999">{{cite book|author=Edward R. Dougherty|title=Random processes for image and signal processing|url=https://books.google.com/books?id=ePxDAQAAIAAJ|year=1999|publisher=SPIE Optical Engineering Press|isbn=978-0-8194-2513-3}}</ref> [[نظرية المعلومات|ونظرية المعلومات]]<ref name="CoverThomas2012page71">{{cite book|author1=Thomas M. Cover|author2=Joy A. Thomas|title=Elements of Information Theory|url=https://books.google.com/books?id=VWq5GG6ycxMC=PT16|year=2012|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-58577-1|page=71}}</ref> [[علم الحاسوب|وعلم الحاسوب]]<ref name="Baron2015">{{cite book|author=Michael Baron|title=Probability and Statistics for Computer Scientists, Second Edition|url=https://books.google.com/books?id=CwQZCwAAQBAJ|year=2015|publisher=CRC Press|isbn=978-1-4987-6060-7|page=131}}</ref> [[علم التعمية|وعلم التعمية]]<ref>{{cite book|author1=Jonathan Katz|author2=Yehuda Lindell|title=Introduction to Modern Cryptography: Principles and Protocols|url=https://archive.org/details/Introduction_to_Modern_Cryptography|year=2007|publisher=CRC Press|isbn=978-1-58488-586-3|page=[https://archive.org/details/Introduction_to_Modern_Cryptography/page/n44 26]}}</ref> [[اتصال عن بعد|والاتصالات]].<ref name="BaccelliBlaszczyszyn2009">{{cite book|author1=François Baccelli|author2=Bartlomiej Blaszczyszyn|title=Stochastic Geometry and Wireless Networks|url=https://books.google.com/books?id=H3ZkTN2pYS4C|year=2009|publisher=Now Publishers Inc|isbn=978-1-60198-264-3}}</ref> أيضًا تطبق العشوائية في الأسواق المالية التي تحفز الاستخدام الواسع للعملية العشوائية في التمويل.<ref name="Steele2001">{{cite book|author=J. Michael Steele|title=Stochastic Calculus and Financial Applications|url=https://books.google.com/books?id=H06xzeRQgV4C|year=2001|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-95016-7}}</ref><ref name="MusielaRutkowski2006">{{cite book|author1=Marek Musiela|author2=Marek Rutkowski|title=Martingale Methods in Financial Modelling|url=https://books.google.com/books?id=iojEts9YAxIC|year=2006|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-26653-2}}</ref><ref name="Shreve2004">{{cite book|author=Steven E. Shreve|title=Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models|url=https://books.google.com/books?id=O8kD1NwQBsQC|year=2004|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-40101-0}}</ref>
و الصنف الرئيسي من المــِـعـْـلاج التصادفي هو [[المـــعــلاج العشوائي]]، وهو عبارة عن [[دالة رياضية]] [[عشوائية]] في معظم التطبيقات والنماذج التصادفية. الخصوصية المهمـّة فيها هي أن ّ المــِـعـْـلاج العشوائي يـُحاكى بطريقة اِصطناعية.


أدت تطبيقات الظاهرة ودراستها إلى اقتراح عمليات عشوائية جديدة، مثل [[عملية فينر]] [[حركة براونية|والحركة البراونية]]، التي استخدمها [[لوي باشوليي]] لدراسة تغيرات الأسعار في بورصة باريس،<ref name="JarrowProtter2004">{{cite book|last1=Jarrow|first1=Robert|title=A Festschrift for Herman Rubin|last2=Protter|first2=Philip|chapter=A short history of stochastic integration and mathematical finance: the early years, 1880–1970|year=2004|pages=75–80|issn=0749-2170|doi=10.1214/lnms/1196285381|citeseerx=10.1.1.114.632|series=Institute of Mathematical Statistics Lecture Notes - Monograph Series|isbn=978-0-940600-61-4}}</ref> [[عملية بواسون|وعملية بواسون]]، التي استخدمها [[أغنر كراروب إرلانغ|إي. كي. إيرلنغ]] لدراسة أرقام الاتصالات الهاتفية التي تحدث في فترة معينة.<ref name="Stirzaker2000">{{cite journal|last1=Stirzaker|first1=David|title=Advice to Hedgehogs, or, Constants Can Vary|journal=The Mathematical Gazette|volume=84|issue=500|year=2000|pages=197–210|issn=0025-5572|doi=10.2307/3621649|jstor=3621649}}</ref> هاتان العمليتان هما الأهم في نظرية العملية التصادفية،<ref>{{cite book|author1=Donald L. Snyder|author2=Michael I. Miller|title=Random Point Processes in Time and Space|url=https://books.google.com/books?id=c_3UBwAAQBAJ|year=2012|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4612-3166-0|page=32}}</ref> وقد اكتُشفتا مرارًا، قبل وبعد باشيليه وإيرلنغ.<ref name="GuttorpThorarinsdottir2012">{{cite journal|last1=Guttorp|first1=Peter|last2=Thorarinsdottir|first2=Thordis L.|title=What Happened to Discrete Chaos, the Quenouille Process, and the Sharp Markov Property? Some History of Stochastic Point Processes|journal=International Statistical Review|volume=80|issue=2|year=2012|pages=253–268|issn=0306-7734|doi=10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x}}</ref><ref name="JarrowProtter2004" />
و في حالات أن ّ الدالة التي تصف ترادف الأحداث المتصادفة تكون معرفة على مجال زمني أو فترة زمنية (time interval)، ففي هذه الظروف تسمي المـَـعـَـاليـج التصادفية [[متسلسلة زمنية|متسلسلات زمنية]].


يُستخدم مُصطلح العمل العشوائي للإشارة إلى العملية التصادفية أو الاحتمالية،<ref name="GusakKukush2010page212">{{cite book|first1=Dmytro|last5=Pilipenko|page=21|isbn=978-0-387-87862-1|publisher=Springer Science & Business Media|year=2010|url=https://books.google.com/books?id=8Nzn51YTbX4C|title=Theory of Stochastic Processes: With Applications to Financial Mathematics and Risk Theory|first5=Andrey|last1=Gusak|author4-link=Yuliya Mishura|last4=Mishura|first4=Yuliya|last3=Kulik|first3=Alexey|last2=Kukush|first2=Alexander|ref=harv}}</ref><ref name="Skorokhod2005page422">{{cite book|author=Valeriy Skorokhod|title=Basic Principles and Applications of Probability Theory|url=https://books.google.com/books?id=dQkYMjRK3fYC|year=2005|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-26312-8|page=42}}</ref> إذ تُفسر العملية التصادفية بأنها عنصر عشوائي في [[فضاء دالي|مجال الدالة]].<ref name="Kallenberg2002page24">{{cite book|author=Olav Kallenberg|title=Foundations of Modern Probability|url=https://books.google.com/books?id=L6fhXh13OyMC|year=2002|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-95313-7|pages=24–25}}</ref><ref name="Lamperti1977page1">{{cite book|author=John Lamperti|title=Stochastic processes: a survey of the mathematical theory|url=https://books.google.com/books?id=Pd4cvgAACAAJ|year=1977|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-3-540-90275-1|pages=1–2}}</ref> يُستخدم مصطلحا العملية التصادفية والاحتمالية بالتبادل، غالبًا في المجال الرياضي غير المحدد، للإشارة إلى المتغيرات العشوائية.<ref name="Kallenberg2002page24" /><ref name="ChaumontYor2012">{{cite book|author1=Loïc Chaumont|author2=Marc Yor|title=Exercises in Probability: A Guided Tour from Measure Theory to Random Processes, Via Conditioning|url=https://books.google.com/books?id=1dcqV9mtQloC&pg=PR4|year=2012|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-107-60655-5|page=175}}</ref> يُستخدم هذان المصطلحان عندما يُشار إلى المتغيرات العشوائية بواسطة أعداد صحيحة أو فاصلة للخط الحقيقي.<ref name="Kallenberg2002page24" /> أما عندما يُشار إلى المتغيرات العشوائية بواسطة التصميم الديكارتي أو الفضاء الإقليدي متعدد الأبعاد، يُطلق حينها على مجموعة التغيرات العشوائية اسم المجال العشوائي.<ref name="AdlerTaylor2009page7">{{cite book|author1=Robert J. Adler|author2=Jonathan E. Taylor|title=Random Fields and Geometry|url=https://books.google.com/books?id=R5BGvQ3ejloC|year=2009|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-48116-6|pages=7–8}}</ref><ref name="GikhmanSkorokhod1969page1" /> ليست قيم العملية التصادفية أرقامًا دائمًا، بل قد تكون قوى موجهة أو [[كائن رياضي]] آخر.<ref name="Lamperti1977page1" /><ref name="GikhmanSkorokhod1969page1" />
وفي حالات أخرى تكون الدالة معرفة على منطقة من الفراغ أو حقل من الفضاء المتعدد الأبعاد (عندئذ يدعى المــِـعـْـلاج التصادفي [[حقل عشوائي|حقلا عشوائيا]].


استنادًا إلى الخصائص الرياضية، تُصنف العملية التصادفية إلى فئات متعددة، تتضمن الاختيار التجريبي<ref name="LawlerLimic2010">{{cite book|author1=Gregory F. Lawler|author2=Vlada Limic|title=Random Walk: A Modern Introduction|url=https://books.google.com/books?id=UBQdwAZDeOEC|year=2010|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-139-48876-1}}</ref> والمراهنات<ref name="Williams1991">{{cite book|author=David Williams|title=Probability with Martingales|url=https://books.google.com/books?id=e9saZ0YSi-AC|year=1991|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-40605-5}}</ref> [[سلسلة ماركوف|وعملية ماركوف]]<ref name="RogersWilliams2000">{{cite book|author1=L. C. G. Rogers|author2=David Williams|title=Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations|url=https://books.google.com/books?id=W0ydAgAAQBAJ&pg=PA1|year=2000|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-107-71749-7}}</ref> وعملية ليفاي<ref name="ApplebaumBook2004">{{cite book|author=David Applebaum|title=Lévy Processes and Stochastic Calculus|url=https://books.google.com/books?id=q7eDUjdJxIkC|year=2004|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-83263-2}}</ref> والعمليات الغاوسية<ref>{{cite book|author=Mikhail Lifshits|title=Lectures on Gaussian Processes|url=https://books.google.com/books?id=03m2UxI-UYMC|year=2012|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-642-24939-6}}</ref> والمجالات العشوائية<ref name="Adler20102">{{cite book|author=Robert J. Adler|title=The Geometry of Random Fields|url=https://books.google.com/books?id=ryejJmJAj28C&pg=PA1|year=2010|publisher=SIAM|isbn=978-0-89871-693-1}}</ref> وعملية التجديد.<ref name="KarlinTaylor20122">{{cite book|author1=Samuel Karlin|author2=Howard E. Taylor|title=A First Course in Stochastic Processes|url=https://books.google.com/books?id=dSDxjX9nmmMC|year=2012|publisher=Academic Press|isbn=978-0-08-057041-9}}</ref> تستخدم دراسة العملية التصادفية علم الرياضيات وتقنيات من الاحتمالية وحساب التفاضل والتكامل والجبر الخطي ونظرية المجموعات وعلم البدائل.<ref name="Hajek2015">{{cite book|author=Bruce Hajek|title=Random Processes for Engineers|url=https://books.google.com/books?id=Owy0BgAAQBAJ|year=2015|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-316-24124-0}}</ref><ref name="LatoucheRamaswami1999">{{cite book|author1=G. Latouche|author2=V. Ramaswami|title=Introduction to Matrix Analytic Methods in Stochastic Modeling|url=https://books.google.com/books?id=Kan2ki8jqzgC|year=1999|publisher=SIAM|isbn=978-0-89871-425-8}}</ref><ref name="DaleyVere-Jones2007">{{cite book|author1=D.J. Daley|author2=David Vere-Jones|title=An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure|url=https://books.google.com/books?id=nPENXKw5kwcC|year=2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-21337-8}}</ref> كما هو الحال في فروع التحليل الرياضي والتحليل الحقيقي والنظرية القياسية وتحليل فورييه والتحليل العملي.<ref name="Billingsley2008">{{cite book|author=Patrick Billingsley|title=Probability and Measure|url=https://books.google.com/books?id=QyXqOXyxEeIC|year=2008|publisher=Wiley India Pvt. Limited|isbn=978-81-265-1771-8}}</ref><ref name="Brémaud2014">{{cite book|author=Pierre Brémaud|title=Fourier Analysis and Stochastic Processes|url=https://books.google.com/books?id=dP2JBAAAQBAJ&pg=PA1|year=2014|publisher=Springer|isbn=978-3-319-09590-5}}</ref><ref name="Bobrowski2005">{{cite book|author=Adam Bobrowski|title=Functional Analysis for Probability and Stochastic Processes: An Introduction|url=https://books.google.com/books?id=q7dR3d5nqaUC|year=2005|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-83166-6}}</ref> تُعَد نظرية العملية التصادفية مساهمةً مهمة في الرياضيات،<ref name="Applebaum2004">{{cite journal|last1=Applebaum|first1=David|title=Lévy processes: From probability to finance and quantum groups|journal=Notices of the AMS|volume=51|issue=11|year=2004|pages=1336–1347}}</ref> وتمثل باستمرار موضوعًا فعالًا لبحث الأسباب النظرية والتطبيقات.<ref name="BlathImkeller2011">{{cite book|author1=Jochen Blath|author2=Peter Imkeller|author3=Sylvie Rœlly|title=Surveys in Stochastic Processes|url=https://books.google.com/books?id=CyK6KAjwdYkC|year=2011|publisher=European Mathematical Society|isbn=978-3-03719-072-2}}</ref><ref name="Talagrand2014">{{cite book|author=Michel Talagrand|title=Upper and Lower Bounds for Stochastic Processes: Modern Methods and Classical Problems|url=https://books.google.com/books?id=tfa5BAAAQBAJ&pg=PR4|year=2014|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-642-54075-2|pages=4–}}</ref><ref name="Bressloff2014VII">{{cite book|author=Paul C. Bressloff|title=Stochastic Processes in Cell Biology|url=https://books.google.com/books?id=SwZYBAAAQBAJ&pg=PA1|year=2014|publisher=Springer|isbn=978-3-319-08488-6|pages=vii–ix}}</ref>
فمن الأمثلة المألوفة والشائعة عن المتسلسلات الزمنية : [[أسواق الأسهم المالية]] (stock market) وتبدلات [[أسعار الصرف]] (exchange rate)، والإشارات مثل [[الكلام]] و[[الصوت]] والبيانات الطبية كمخطط ورسومات التخطيط القلبي، وكذلك ضغط الدم، وتغيرات درجات الحرارة في الجو أو في جسم الإنسان أو الكائن الحي خلال فترة من الزمان.


== تمهيد ==
ومن أمثلة الحقول العشوائية : الصور الثابتة (static images) ، والطوبوغرافيا العشوائية (random topography)، وتغيرات التركيب الكيميائي في مادة غير متجانسة.
تُعرَف العملية التصادفية أو الاحتمالية بوصفها مجموعة من المتغيرات بواسطة بعض المجموعات الرياضية، ما يعني ترابط ذلك التغير العشوائي للعملية العشوائية على نحو فريد مع عنصر في المجموعة.<ref name="Parzen1999" /><ref name="GikhmanSkorokhod1969page1" /> تُستخدم المجموعة للإشارة إلى التغيرات العشوائية التي تُسمى مجموعة المؤشر. تاريخيًا كان جزء من وضع المؤشر مجموعة جزئية للخط الحقيقي، مثل الأرقام الطبيعية، تعطي مجموعة المؤشر تفسيرًا للوقت.<ref name="doob1953stochasticP46to47" /> كل متغير عشوائي في المجموعة يأخذ قيمًا من نفس المجال الرياضي المعروف '''بحالة المجال.''' حالة المجال قد تكون الأعداد الصحيحة أو الخط الحقيقي أو الفضاء الإقليدي.<ref name="doob1953stochasticP46to47" /><ref name="GikhmanSkorokhod1969page1" /> الزيادة في مقدار تغير العملية التصادفية تكون بين قيمتي مؤشر، يُفسران غالبًا بوصفهما نقطتين في الزمن.<ref name="KarlinTaylor2012page27">{{cite book|author1=Samuel Karlin|author2=Howard E. Taylor|title=A First Course in Stochastic Processes|url=https://books.google.com/books?id=dSDxjX9nmmMC|year=2012|publisher=Academic Press|isbn=978-0-08-057041-9|page=27}}</ref><ref name="Applebaum2004page1337">{{cite journal|last1=Applebaum|first1=David|title=Lévy processes: From probability to finance and quantum groups|journal=Notices of the AMS|volume=51|issue=11|year=2004|page=1337}}</ref> العملية التصادفية قد يكون لها العديد من النتائج، وتُسمى الإشارة الناتجة من العملية التصادفية '''دالة العينة أو التحقيق.<ref name="RogersWilliams2000page121b">{{cite book|author1=L. C. G. Rogers|author2=David Williams|title=Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations|url=https://books.google.com/books?id=W0ydAgAAQBAJ&pg=PA1|year=2000|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-107-71749-7|pages=121–124}}</ref>'''<ref name="Lamperti1977page1" />
وغير ذلك من الأمثلة والتطبيقات والتي تزيد على أربعين نوعاً من التطبيقات العملية والنافعة حسب ما ذكر في بعض الكتب المتخصصة.


=== التصنيف ===
و في إطار الفيزياء تقع أمثلة من مـَـعـَـاليـج تصادفية ؛ ومن ضمنها حركة الجـُزيءات المعروفة بعنوان [[حركة براون]] ؛ وتقع تاك أيضاً في مجال هندسة الإتـّصالات عندما تصف هذه المـَـعـَـاليـج الضجيج الذي يظهر في الدارات الإلكترونية عند وجود ظروف معيـّنة.
تُصنف العملية التصادفية بطرق مختلفة، مثلًا بواسطة حالة المجال، أو وضع المؤشر، أو الاعتماد بين التغيرات العشوائية. من الطرق الشائعة للتصنيف الطريقة الأساسية لوضع المؤشر وحالة المجال.<ref name="Florescu2014page294">{{cite book|author=Ionut Florescu|title=Probability and Stochastic Processes|url=https://books.google.com/books?id=Z5xEBQAAQBAJ&pg=PR22|year=2014|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-59320-2|pages=294, 295}}</ref><ref name="KarlinTaylor2012page26">{{cite book|author1=Samuel Karlin|author2=Howard E. Taylor|title=A First Course in Stochastic Processes|url=https://books.google.com/books?id=dSDxjX9nmmMC|year=2012|publisher=Academic Press|isbn=978-0-08-057041-9|page=26}}</ref><ref>{{cite book|author1=Donald L. Snyder|author2=Michael I. Miller|title=Random Point Processes in Time and Space|url=https://books.google.com/books?id=c_3UBwAAQBAJ|year=2012|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4612-3166-0|pages=24, 25}}</ref>

عند تفسيرها بوصفها زمنًا، قد يحدد وضع مؤشر العملية التصادفية عددًا محددًا من العناصر، مثل المجموعة المحدودة، مجموعة الأعداد الصحيحة أو الأعداد الطبيعية، حينها يمكن القول إن العملية التصادفية تكون في زمن منفصل.<ref name="Billingsley2008page482">{{cite book|author=Patrick Billingsley|title=Probability and Measure|url=https://books.google.com/books?id=QyXqOXyxEeIC|year=2008|publisher=Wiley India Pvt. Limited|isbn=978-81-265-1771-8|page=482}}</ref><ref name="Borovkov2013page527">{{cite book|author=Alexander A. Borovkov|title=Probability Theory|url=https://books.google.com/books?id=hRk_AAAAQBAJ|year=2013|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4471-5201-9|page=527}}</ref> إذا احتوى وضع المؤشر بعض فواصل الخط الحقيقي، حينها يُقال إن الوقت مستمر.<ref name="KarlinTaylor2012page27" /><ref name="Brémaud2014page120">{{cite book|author=Pierre Brémaud|title=Fourier Analysis and Stochastic Processes|url=https://books.google.com/books?id=dP2JBAAAQBAJ&pg=PA1|year=2014|publisher=Springer|isbn=978-3-319-09590-5|page=120}}</ref><ref name="Rosenthal2006page177">{{cite book|author=Jeffrey S Rosenthal|title=A First Look at Rigorous Probability Theory|url=https://books.google.com/books?id=am1IDQAAQBAJ|year=2006|publisher=World Scientific Publishing Co Inc|isbn=978-981-310-165-4|pages=177–178}}</ref> العملية التصادفية المتمثلة في نوعين يشيران إلى الزمن المنفصل والمستمر للعملية العشوائية. تعَد [[عملية عشوائية متصلة الزمن|العملية العشوائية متصلة الزمن]] أسهل للدراسة، لأن الزمن المستمر يتطلب الكثير من التقنيات الرياضية الحديثة.<ref name="KloedenPlaten2013page63">{{cite book|author1=Peter E. Kloeden|author2=Eckhard Platen|title=Numerical Solution of Stochastic Differential Equations|url=https://books.google.com/books?id=r9r6CAAAQBAJ=PA1|year=2013|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-662-12616-5|page=63}}</ref><ref name="Khoshnevisan2006page153">{{cite book|author=Davar Khoshnevisan|title=Multiparameter Processes: An Introduction to Random Fields|url=https://books.google.com/books?id=XADpBwAAQBAJ|year=2006|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-21631-7|pages=153–155}}</ref> إذا كان الوضع المؤشر هو الأعداد الصحيحة، أو بعض مجموعاتها، تُسمى العملية التصادفية '''التسلسل العشوائي'''.<ref name="Borovkov2013page527" />

إن كانت حالة المجال ذات أعداد صحيحة أو طبيعية، تُسمى '''عملية عشوائية منفصلة''' أو '''ذات قيمة صحيحة'''. إذا كانت حالة المجال هي الخط الحقيقي، تشير العملية التصادفية إلى '''العملية التصادفية للقيمة''' '''الحقيقية''' أو '''عملية ذات حالة مجال مستمرة'''. إذا كانت حالة المجال ذات قياسات هندسية، تُسمى العملية التصادفية '''عملية ذات قياسات القوة الموجهة''' أو '''عملية القوة الموجهة.<ref name="Florescu2014page294" /><ref name="KarlinTaylor2012page26" />'''

=== أصل التسمية ===
في الأصل تُستخدم كلمة تصادفي أو عشوائي لوصف تعريف (مرتبط بالحدس)، وتتضمن معنى الكلمة الإغريقية (يهدف إلى علامة، تخمين)، وتضمن [[قاموس أكسفورد الإنجليزي|قاموس أوكسفورد الإنجليزي]] التعريف سنة 1662.<ref name="OxfordStochastic">{{Cite OED|Stochastic}}</ref> سنة 1713، استخدم [[ياكوب بيرنولي]] عبارة (النقل الحديث قبل العشوائية)، التي تُرجمت إلى (فن الحدس أو العشوائية).<ref name="Sheĭnin2006page5">{{cite book|author=O. B. Sheĭnin|title=Theory of probability and statistics as exemplified in short dictums|url=https://books.google.com/books?id=XqMZAQAAIAAJ|year=2006|publisher=NG Verlag|isbn=978-3-938417-40-9|page=5}}</ref> استخدم هذه العبارة لاديسلاوس بورتكيويسز الذي كتب سنة 1917 كلمة العشوائية مع إدراك معنى الاحتمالية.<ref name="SheyninStrecker2011page136">{{cite book|author1=Oscar Sheynin|author2=Heinrich Strecker|title=Alexandr A. Chuprov: Life, Work, Correspondence|url=https://books.google.com/books?id=1EJZqFIGxBIC&pg=PA9|year=2011|publisher=V&R unipress GmbH|isbn=978-3-89971-812-6|page=136}}</ref> ظهر مصطلح العملية التصادفية أولًا في ورقة تعود إلى جوزيف دوب سنة 1934،<ref name="OxfordStochastic" /> واستخدم الألماني ألكسندر كينجن مصطلح العملية التصادفية،<ref name="Khintchine1934">{{cite journal|last1=Khintchine|first1=A.|title=Korrelationstheorie der stationeren stochastischen Prozesse|journal=Mathematische Annalen|volume=109|issue=1|year=1934|pages=604–615|issn=0025-5831|doi=10.1007/BF01449156}}</ref> رغم أن المصطلح الألماني قد استخدمه سابقًا أندري كولموغوروف سنة 1931.<ref name="Kolmogoroff1931page1">{{cite journal|last1=Kolmogoroff|first1=A.|title=Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung|journal=Mathematische Annalen|volume=104|issue=1|year=1931|page=1|issn=0025-5831|doi=10.1007/BF01457949}}</ref>

وفقًا لقاموس أوكسفورد، ظهرت كلمة (عشوائي) الإنكليزية بمعناها المرتبط بالفرصة أو الحظ في القرن الـ16، أما قبل ذلك فقد استُخدمت الكلمة للتعبير عن التهور أو السرعة الكبيرة أو القوة أو العنف، وتأتي الكلمة من كلمة فرنسية متوسطة بمعنى سرعة أو تسرع، ومن المحتمل أنها مُشتقة من الفعل الفرنسي (يجري) أو (يعدو سريعًا).<ref name="OxfordRandom">{{Cite OED|Random}}</ref>

=== علم المصطلحات ===
يتنوع تعريف العملية التصادفية،<ref name="FristedtGray2013page580">{{cite book|author1=Bert E. Fristedt|author2=Lawrence F. Gray|title=A Modern Approach to Probability Theory|url=https://books.google.com/books?id=9xT3BwAAQBAJ&pg=PA716|year=2013|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4899-2837-5|page=580}}</ref> لكنها تُعرف تقليديًا بوصفها مجموعة من تغيرات عشوائية تشير إليها بعض المجموعات.<ref name="RogersWilliams2000page121">{{cite book|author1=L. C. G. Rogers|author2=David Williams|title=Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations|url=https://books.google.com/books?id=W0ydAgAAQBAJ&pg=PA1|year=2000|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-107-71749-7|pages=121, 122}}</ref><ref name="Asmussen2003page408">{{cite book|author=Søren Asmussen|title=Applied Probability and Queues|url=https://books.google.com/books?id=BeYaTxesKy0C|year=2003|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-00211-8|page=408}}</ref> يُعَد مصطلحا '''العملية الاحتمالية''' و'''العملية التصادفية''' مترادفين ويُستخدما بالتبادل، دون تحديد وضع المؤشر بدقة.<ref name="Stirzaker2005page45">{{cite book|author=David Stirzaker|title=Stochastic Processes and Models|url=https://books.google.com/books?id=0avUelS7e7cC|year=2005|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-856814-8|page=45}}</ref><ref name="Rosenblatt1962page91">{{cite book|author=Murray Rosenblatt|title=Random Processes|url=https://archive.org/details/randomprocesses00rose_0|url-access=registration|year=1962|publisher=Oxford University Press|page=[https://archive.org/details/randomprocesses00rose_0/page/91 91]}}</ref><ref name="Gubner2006page383">{{cite book|author=John A. Gubner|title=Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers|url=https://books.google.com/books?id=pa20eZJe4LIC|year=2006|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-139-45717-0|page=383}}</ref><ref name="AdlerTaylor2009page7" /><ref name="ChaumontYor2012" /><ref name="Kallenberg2002page24" /> قد يُستخدم مصطلح (المجموعة)<ref name="Stirzaker2005page45" /><ref name="Lamperti1977page1" /> أو (العائلة)<ref name="Ito2006page13">{{cite book|author=Kiyosi Itō|title=Essentials of Stochastic Processes|url=https://books.google.com/books?id=pY5_DkvI-CcC&pg=PR4|year=2006|publisher=American Mathematical Soc.|isbn=978-0-8218-3898-3|page=13}}</ref><ref name="Parzen1999" /> بدلاً من (وضع المؤشر)، وتُستخدم أحيانًا مصطلحات (عامل متغير القيمة)<ref name="Lamperti1977page1" /> أو (مجال العامل المتغير).<ref name="AdlerTaylor2009page7" />

يُستخدم مصطلح العمل العشوائي أيضًا للإشارة إلى العملية التصادفية أو الاحتمالية،<ref name="GikhmanSkorokhod1969page1" /><ref name="Loeve1978">{{cite book|author=M. Loève|title=Probability Theory II|url=https://books.google.com/books?id=1y229yBbULIC|year=1978|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-90262-3|page=163}}</ref><ref name="Brémaud2014page133">{{cite book|author=Pierre Brémaud|title=Fourier Analysis and Stochastic Processes|url=https://books.google.com/books?id=dP2JBAAAQBAJ&pg=PA1|year=2014|publisher=Springer|isbn=978-3-319-09590-5|page=133}}</ref> رغم أنه يستخدم أحيانًا فقط عندما تأخذ العملية التصادفية قيمًا حقيقية.<ref name="Lamperti1977page1" /><ref name="Ito2006page13" /> يُستخدم هذا المصطلح أيضًا حين يكون وضع المؤشر مجالات رياضية سوى الخط الحقيقي،<ref name="GusakKukush2010page1">{{harvtxt|Gusak|Kukush|Kulik|Mishura|2010}}, p. 1</ref><ref name="GikhmanSkorokhod1969page1" /> أما مصطلحات العملية التصادفية والعملية الاحتمالية فتُستخدم عادةً عند تفسير وضع المؤشر بوصفه نقاطًا زمنية،<ref name="GikhmanSkorokhod1969page1" /><ref name="GusakKukush2010page1" /><ref name="Bass2011page1">{{cite book|author=Richard F. Bass|title=Stochastic Processes|url=https://books.google.com/books?id=Ll0T7PIkcKMC|year=2011|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-139-50147-7|page=1}}</ref> وقد تُستخدم مصطلحات أخرى كما هو الحال في المجال العشوائي، عندما يكون وضع المؤشر مجالًا ذا أبعاد إقليدية أو متعددة.<ref name="GikhmanSkorokhod1969page1" /><ref name="Lamperti1977page1" /><ref name="AdlerTaylor2009page7" />

== أمثلة ==

=== عملية برنولي ===
عملية برنولي من العمليات العشوائية البسيطة،<ref name="Florescu2014page293">{{cite book|author=Ionut Florescu|title=Probability and Stochastic Processes|url=https://books.google.com/books?id=Z5xEBQAAQBAJ&pg=PR22|year=2014|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-59320-2|page=293}}</ref> وهي تسلسل [[متغيرات مستقلة ومتشابهة التوزيع|لتوزيع مستقل ومتطابق لتغيرات]] عشوائية، إذ يأخذ التغير العشوائي القيمة (1) أو (0)، ولتكن (1) مع الاحتمالية '''p''' و(0) مع الاحتمالية '''1- p'''. يمكن ربط هذه العملية برمي عملة معدنية عدة مرات، حيث إن احتمالية الحصول على الصورة هي '''p''' وقيمته (1)، وللكتابة هي (0).<ref name="Florescu2014page301">{{cite book|author=Ionut Florescu|title=Probability and Stochastic Processes|url=https://books.google.com/books?id=Z5xEBQAAQBAJ&pg=PR22|year=2014|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-59320-2|page=301}}</ref> أي إن عملية برنولي تسلسل لتوزيع مستقل ومتطابق لتغيرات عشوائية،<ref name="BertsekasTsitsiklis2002page273">{{cite book|author1=Dimitri P. Bertsekas|author2=John N. Tsitsiklis|title=Introduction to Probability|url=https://books.google.com/books?id=bcHaAAAAMAAJ|year=2002|publisher=Athena Scientific|isbn=978-1-886529-40-3|page=273}}</ref> حيث إن كل رمية للعملة المعدنية هي مثال لتجربة برنولي.<ref name="Ibe2013page11">{{cite book|author=Oliver C. Ibe|title=Elements of Random Walk and Diffusion Processes|url=https://books.google.com/books?id=DUqaAAAAQBAJ&pg=PT10|year=2013|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-61793-9|page=11}}</ref>

=== الاختبار التجريبي ===
{{Main|سير عشوائي}}الاختبارات التجريبية هي عملية عشوائية تعرف عادةً بأنها مجموع المتغيرات العشوائية أو القوى الموجهة العشوائية في المجال الإقليدي، إذ إنها عمليات [[متغيرات مستقلة ومتشابهة التوزيع|تتغير في وقت منفصل]].<ref name="Klenke2013page347">{{cite book|author=Achim Klenke|title=Probability Theory: A Comprehensive Course|url=https://books.google.com/books?id=aqURswEACAAJ|year=2013|publisher=Springer|isbn=978-1-4471-5362-7|pages=347}}</ref><ref name="LawlerLimic2010page1">{{cite book|author1=Gregory F. Lawler|author2=Vlada Limic|title=Random Walk: A Modern Introduction|url=https://books.google.com/books?id=UBQdwAZDeOEC|year=2010|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-139-48876-1|page=1}}</ref><ref name="Kallenberg2002page136">{{cite book|author=Olav Kallenberg|title=Foundations of Modern Probability|url=https://books.google.com/books?id=L6fhXh13OyMC|date=2002|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-95313-7|page=136}}</ref><ref name="Florescu2014page383">{{cite book|author=Ionut Florescu|title=Probability and Stochastic Processes|url=https://books.google.com/books?id=Z5xEBQAAQBAJ&pg=PR22|year=2014|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-59320-2|page=383}}</ref><ref name="Durrett2010page277">{{cite book|author=Rick Durrett|title=Probability: Theory and Examples|url=https://books.google.com/books?id=evbGTPhuvSoC|year=2010|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-139-49113-6|page=277}}</ref> لكن البعض يستخدم المصطلح للإشارة إلى العمليات التي تتغير في وقت مستمر،<ref name="Weiss2006page1">{{cite book|last1=Weiss|first1=George H.|title=Encyclopedia of Statistical Sciences|chapter=Random Walks|year=2006|doi=10.1002/0471667196.ess2180.pub2|page=1|isbn=978-0471667193}}</ref> خاصةً عملية واينر المُستخدمة في التمويل، والتي أدت إلى بعض الارتباك، ما أدى إلى انتقادها.<ref name="Spanos1999page454">{{cite book|author=Aris Spanos|title=Probability Theory and Statistical Inference: Econometric Modeling with Observational Data|url=https://books.google.com/books?id=G0_HxBubGAwC|year=1999|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-42408-0|page=454}}</ref> للاختبارات التجريبية أنواع متعددة أخرى، التي قد تكون -وفقًا لحالاتها المجالية- أهدافًا رياضية أخرى، مثل الشبكات والمجموعات، وقد دُرست عمومًا باستفاضة ولها العديد من الاستعمالات.<ref name="Weiss2006page1" /><ref name="Klebaner2005page81">{{cite book|author=Fima C. Klebaner|title=Introduction to Stochastic Calculus with Applications|url=https://books.google.com/books?id=JYzW0uqQxB0C|year=2005|publisher=Imperial College Press|isbn=978-1-86094-555-7|page=81}}</ref>

يُعرف المثال الكلاسيكي للاختبار التجريبي بالاختبار التجريبي البسيط، وهو عملية عشوائية في الوقت المنفصل مع الأعداد الصحيحة كما في حالة المجال، وبُنيت عمومًا على أساس عملية برنولي، إذ يأخذ كل متغير لبرنولي إما قيمة (+1) أو (-1). أي إن الاختبار التجريبي البسيط يأخذ مجالاً على الأعداد الصحيحة، وترتفع قيمته بمقدار (1) مع الاحتمالية ('''p''')، أو تنخفض بمقدار (1) مع الاحتمالية (1- '''p''')، إذن فإن وضع المؤشر لهذا الاختبار التجريبي هو الأعداد الطبيعية، أما مجاله فهو الأعداد الصحيحة.<ref name="Gut2012page88">{{cite book|author=Allan Gut|title=Probability: A Graduate Course|url=https://books.google.com/books?id=XDFA-n_M5hMC|year=2012|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4614-4708-5|page=88}}</ref><ref name="GrimmettStirzaker2001page71">{{cite book|author1=Geoffrey Grimmett|author2=David Stirzaker|title=Probability and Random Processes|url=https://books.google.com/books?id=G3ig-0M4wSIC|year=2001|publisher=OUP Oxford|isbn=978-0-19-857222-0|page=71}}</ref>


== انظر أيضاً ==
== انظر أيضاً ==
سطر 20: سطر 45:


== مراجع ==
== مراجع ==
{{مراجع}}
{{مراجع|2}}


* Papoulis, Athanasios; Pillai, S. Unnikrishna (2006): ''Probability, Random Variables and Stochastic Processes.'' 4th ed., Reprint 2008, McGraw-Hill, Boston, ISBN 978-0-07-366011-0, ISBN 978-0-07-112256-6
* Prabhu, Narahari U. (2007): ''Stochastic processes: Basic theory and applications.'' World Scientific, Singapore, ISBN 978-981-270-626-3
* Mehdi, Jyotiprasad (2009): ''Stochastic processes.'' 3rd ed. New Age Interational Publ., New Dehli, ISBN 978-81-224-2664-9
{{شريط بوابات|إحصاء}}
{{شريط بوابات|إحصاء}}
{{تصنيف كومنز}}
{{تصنيف كومنز}}

نسخة 17:44، 30 يوليو 2020

صورة تمثل محاكاة جهاز الحاسوب لتحقيق عملية فينر، وتعتبر على نطاق واسع العملية التصادفية الأكثر دراستها والمركزية في نظرية الاحتمالات.

العملية التصادفية أو العملية العشوائية،، أو الاحتمالية، في نظرية الاحتمالات والمجالات المرتبطة، هي موضوع رياضي يعرف عادةً بوصفه مجموعة من المتغيرات العشوائية. تاريخيًا، ترتبط المتغيرات العشوائية ويُشار إليها بواسطة أرقام محددة، تظهر عادةً بوصفها نقاطًا زمنية، ما يفسر العملية التصادفية المتمثلة بقيم عددية في بعض النظم الاحتمالية المتغيرة بمرور الزمن، مثل النمو البكتيري، وتقلب التيار الكهربي خلال التشويش الحراري، أو حركة جزيئات الغاز.[1][2][3][4]

تُستخدم العمليات العشوائية بتوسع بوصفها نماذج رياضية للأنظمة والظواهر التي تظهر تفاوتًا في نمط العشوائية. وفي أنظمة عديدة تتضمن علوم الأحياء[5] والكيمياء[6] وعلوم البيئة[7] والعلوم العصبية[8] والفيزياء[9] والتكنولوجيا، ومجالات الهندسة مثل المعالجة التصويرية، ومعالجة الإشارة[10] ونظرية المعلومات[11] وعلم الحاسوب[12] وعلم التعمية[13] والاتصالات.[14] أيضًا تطبق العشوائية في الأسواق المالية التي تحفز الاستخدام الواسع للعملية العشوائية في التمويل.[15][16][17]

أدت تطبيقات الظاهرة ودراستها إلى اقتراح عمليات عشوائية جديدة، مثل عملية فينر والحركة البراونية، التي استخدمها لوي باشوليي لدراسة تغيرات الأسعار في بورصة باريس،[18] وعملية بواسون، التي استخدمها إي. كي. إيرلنغ لدراسة أرقام الاتصالات الهاتفية التي تحدث في فترة معينة.[19] هاتان العمليتان هما الأهم في نظرية العملية التصادفية،[20] وقد اكتُشفتا مرارًا، قبل وبعد باشيليه وإيرلنغ.[21][18]

يُستخدم مُصطلح العمل العشوائي للإشارة إلى العملية التصادفية أو الاحتمالية،[22][23] إذ تُفسر العملية التصادفية بأنها عنصر عشوائي في مجال الدالة.[24][25] يُستخدم مصطلحا العملية التصادفية والاحتمالية بالتبادل، غالبًا في المجال الرياضي غير المحدد، للإشارة إلى المتغيرات العشوائية.[24][26] يُستخدم هذان المصطلحان عندما يُشار إلى المتغيرات العشوائية بواسطة أعداد صحيحة أو فاصلة للخط الحقيقي.[24] أما عندما يُشار إلى المتغيرات العشوائية بواسطة التصميم الديكارتي أو الفضاء الإقليدي متعدد الأبعاد، يُطلق حينها على مجموعة التغيرات العشوائية اسم المجال العشوائي.[27][3] ليست قيم العملية التصادفية أرقامًا دائمًا، بل قد تكون قوى موجهة أو كائن رياضي آخر.[25][3]

استنادًا إلى الخصائص الرياضية، تُصنف العملية التصادفية إلى فئات متعددة، تتضمن الاختيار التجريبي[28] والمراهنات[29] وعملية ماركوف[30] وعملية ليفاي[31] والعمليات الغاوسية[32] والمجالات العشوائية[33] وعملية التجديد.[34] تستخدم دراسة العملية التصادفية علم الرياضيات وتقنيات من الاحتمالية وحساب التفاضل والتكامل والجبر الخطي ونظرية المجموعات وعلم البدائل.[35][36][37] كما هو الحال في فروع التحليل الرياضي والتحليل الحقيقي والنظرية القياسية وتحليل فورييه والتحليل العملي.[38][39][40] تُعَد نظرية العملية التصادفية مساهمةً مهمة في الرياضيات،[41] وتمثل باستمرار موضوعًا فعالًا لبحث الأسباب النظرية والتطبيقات.[42][43][44]

تمهيد

تُعرَف العملية التصادفية أو الاحتمالية بوصفها مجموعة من المتغيرات بواسطة بعض المجموعات الرياضية، ما يعني ترابط ذلك التغير العشوائي للعملية العشوائية على نحو فريد مع عنصر في المجموعة.[2][3] تُستخدم المجموعة للإشارة إلى التغيرات العشوائية التي تُسمى مجموعة المؤشر. تاريخيًا كان جزء من وضع المؤشر مجموعة جزئية للخط الحقيقي، مثل الأرقام الطبيعية، تعطي مجموعة المؤشر تفسيرًا للوقت.[1] كل متغير عشوائي في المجموعة يأخذ قيمًا من نفس المجال الرياضي المعروف بحالة المجال. حالة المجال قد تكون الأعداد الصحيحة أو الخط الحقيقي أو الفضاء الإقليدي.[1][3] الزيادة في مقدار تغير العملية التصادفية تكون بين قيمتي مؤشر، يُفسران غالبًا بوصفهما نقطتين في الزمن.[45][46] العملية التصادفية قد يكون لها العديد من النتائج، وتُسمى الإشارة الناتجة من العملية التصادفية دالة العينة أو التحقيق.[47][25]

التصنيف

تُصنف العملية التصادفية بطرق مختلفة، مثلًا بواسطة حالة المجال، أو وضع المؤشر، أو الاعتماد بين التغيرات العشوائية. من الطرق الشائعة للتصنيف الطريقة الأساسية لوضع المؤشر وحالة المجال.[48][49][50]

عند تفسيرها بوصفها زمنًا، قد يحدد وضع مؤشر العملية التصادفية عددًا محددًا من العناصر، مثل المجموعة المحدودة، مجموعة الأعداد الصحيحة أو الأعداد الطبيعية، حينها يمكن القول إن العملية التصادفية تكون في زمن منفصل.[51][52] إذا احتوى وضع المؤشر بعض فواصل الخط الحقيقي، حينها يُقال إن الوقت مستمر.[45][53][54] العملية التصادفية المتمثلة في نوعين يشيران إلى الزمن المنفصل والمستمر للعملية العشوائية. تعَد العملية العشوائية متصلة الزمن أسهل للدراسة، لأن الزمن المستمر يتطلب الكثير من التقنيات الرياضية الحديثة.[55][56] إذا كان الوضع المؤشر هو الأعداد الصحيحة، أو بعض مجموعاتها، تُسمى العملية التصادفية التسلسل العشوائي.[52]

إن كانت حالة المجال ذات أعداد صحيحة أو طبيعية، تُسمى عملية عشوائية منفصلة أو ذات قيمة صحيحة. إذا كانت حالة المجال هي الخط الحقيقي، تشير العملية التصادفية إلى العملية التصادفية للقيمة الحقيقية أو عملية ذات حالة مجال مستمرة. إذا كانت حالة المجال ذات قياسات هندسية، تُسمى العملية التصادفية عملية ذات قياسات القوة الموجهة أو عملية القوة الموجهة.[48][49]

أصل التسمية

في الأصل تُستخدم كلمة تصادفي أو عشوائي لوصف تعريف (مرتبط بالحدس)، وتتضمن معنى الكلمة الإغريقية (يهدف إلى علامة، تخمين)، وتضمن قاموس أوكسفورد الإنجليزي التعريف سنة 1662.[57] سنة 1713، استخدم ياكوب بيرنولي عبارة (النقل الحديث قبل العشوائية)، التي تُرجمت إلى (فن الحدس أو العشوائية).[58] استخدم هذه العبارة لاديسلاوس بورتكيويسز الذي كتب سنة 1917 كلمة العشوائية مع إدراك معنى الاحتمالية.[59] ظهر مصطلح العملية التصادفية أولًا في ورقة تعود إلى جوزيف دوب سنة 1934،[57] واستخدم الألماني ألكسندر كينجن مصطلح العملية التصادفية،[60] رغم أن المصطلح الألماني قد استخدمه سابقًا أندري كولموغوروف سنة 1931.[61]

وفقًا لقاموس أوكسفورد، ظهرت كلمة (عشوائي) الإنكليزية بمعناها المرتبط بالفرصة أو الحظ في القرن الـ16، أما قبل ذلك فقد استُخدمت الكلمة للتعبير عن التهور أو السرعة الكبيرة أو القوة أو العنف، وتأتي الكلمة من كلمة فرنسية متوسطة بمعنى سرعة أو تسرع، ومن المحتمل أنها مُشتقة من الفعل الفرنسي (يجري) أو (يعدو سريعًا).[62]

علم المصطلحات

يتنوع تعريف العملية التصادفية،[63] لكنها تُعرف تقليديًا بوصفها مجموعة من تغيرات عشوائية تشير إليها بعض المجموعات.[64][65] يُعَد مصطلحا العملية الاحتمالية والعملية التصادفية مترادفين ويُستخدما بالتبادل، دون تحديد وضع المؤشر بدقة.[66][67][68][27][26][24] قد يُستخدم مصطلح (المجموعة)[66][25] أو (العائلة)[69][2] بدلاً من (وضع المؤشر)، وتُستخدم أحيانًا مصطلحات (عامل متغير القيمة)[25] أو (مجال العامل المتغير).[27]

يُستخدم مصطلح العمل العشوائي أيضًا للإشارة إلى العملية التصادفية أو الاحتمالية،[3][70][71] رغم أنه يستخدم أحيانًا فقط عندما تأخذ العملية التصادفية قيمًا حقيقية.[25][69] يُستخدم هذا المصطلح أيضًا حين يكون وضع المؤشر مجالات رياضية سوى الخط الحقيقي،[72][3] أما مصطلحات العملية التصادفية والعملية الاحتمالية فتُستخدم عادةً عند تفسير وضع المؤشر بوصفه نقاطًا زمنية،[3][72][73] وقد تُستخدم مصطلحات أخرى كما هو الحال في المجال العشوائي، عندما يكون وضع المؤشر مجالًا ذا أبعاد إقليدية أو متعددة.[3][25][27]

أمثلة

عملية برنولي

عملية برنولي من العمليات العشوائية البسيطة،[74] وهي تسلسل لتوزيع مستقل ومتطابق لتغيرات عشوائية، إذ يأخذ التغير العشوائي القيمة (1) أو (0)، ولتكن (1) مع الاحتمالية p و(0) مع الاحتمالية 1- p. يمكن ربط هذه العملية برمي عملة معدنية عدة مرات، حيث إن احتمالية الحصول على الصورة هي p وقيمته (1)، وللكتابة هي (0).[75] أي إن عملية برنولي تسلسل لتوزيع مستقل ومتطابق لتغيرات عشوائية،[76] حيث إن كل رمية للعملة المعدنية هي مثال لتجربة برنولي.[77]

الاختبار التجريبي

المقالة الرئيسة: سير عشوائي

الاختبارات التجريبية هي عملية عشوائية تعرف عادةً بأنها مجموع المتغيرات العشوائية أو القوى الموجهة العشوائية في المجال الإقليدي، إذ إنها عمليات تتغير في وقت منفصل.[78][79][80][81][82] لكن البعض يستخدم المصطلح للإشارة إلى العمليات التي تتغير في وقت مستمر،[83] خاصةً عملية واينر المُستخدمة في التمويل، والتي أدت إلى بعض الارتباك، ما أدى إلى انتقادها.[84] للاختبارات التجريبية أنواع متعددة أخرى، التي قد تكون -وفقًا لحالاتها المجالية- أهدافًا رياضية أخرى، مثل الشبكات والمجموعات، وقد دُرست عمومًا باستفاضة ولها العديد من الاستعمالات.[83][85]

يُعرف المثال الكلاسيكي للاختبار التجريبي بالاختبار التجريبي البسيط، وهو عملية عشوائية في الوقت المنفصل مع الأعداد الصحيحة كما في حالة المجال، وبُنيت عمومًا على أساس عملية برنولي، إذ يأخذ كل متغير لبرنولي إما قيمة (+1) أو (-1). أي إن الاختبار التجريبي البسيط يأخذ مجالاً على الأعداد الصحيحة، وترتفع قيمته بمقدار (1) مع الاحتمالية (p)، أو تنخفض بمقدار (1) مع الاحتمالية (1- p)، إذن فإن وضع المؤشر لهذا الاختبار التجريبي هو الأعداد الطبيعية، أما مجاله فهو الأعداد الصحيحة.[86][87]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ^ أ ب ت Joseph L. Doob (1990). Stochastic processes. Wiley. ص. 46, 47.
  2. ^ أ ب ت Emanuel Parzen (2015). Stochastic Processes. Courier Dover Publications. ص. 7, 8. ISBN:978-0-486-79688-8.
  3. ^ أ ب ت ث ج ح خ د ذ Iosif Ilyich Gikhman؛ Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1969). Introduction to the Theory of Random Processes. Courier Corporation. ص. 1. ISBN:978-0-486-69387-3.
  4. ^ Gagniuc، Paul A. (2017). Markov Chains: From Theory to Implementation and Experimentation. NJ: John Wiley & Sons. ص. 1–235. ISBN:978-1-119-38755-8.
  5. ^ Paul C. Bressloff (2014). Stochastic Processes in Cell Biology. Springer. ISBN:978-3-319-08488-6.
  6. ^ N.G. Van Kampen (2011). Stochastic Processes in Physics and Chemistry. Elsevier. ISBN:978-0-08-047536-3.
  7. ^ Russell Lande؛ Steinar Engen؛ Bernt-Erik Sæther (2003). Stochastic Population Dynamics in Ecology and Conservation. Oxford University Press. ISBN:978-0-19-852525-7.
  8. ^ Carlo Laing؛ Gabriel J Lord (2010). Stochastic Methods in Neuroscience. OUP Oxford. ISBN:978-0-19-923507-0.
  9. ^ Wolfgang Paul؛ Jörg Baschnagel (2013). Stochastic Processes: From Physics to Finance. Springer Science & Business Media. ISBN:978-3-319-00327-6.
  10. ^ Edward R. Dougherty (1999). Random processes for image and signal processing. SPIE Optical Engineering Press. ISBN:978-0-8194-2513-3.
  11. ^ Thomas M. Cover؛ Joy A. Thomas (2012). Elements of Information Theory. John Wiley & Sons. ص. 71. ISBN:978-1-118-58577-1.
  12. ^ Michael Baron (2015). Probability and Statistics for Computer Scientists, Second Edition. CRC Press. ص. 131. ISBN:978-1-4987-6060-7.
  13. ^ Jonathan Katz؛ Yehuda Lindell (2007). Introduction to Modern Cryptography: Principles and Protocols. CRC Press. ص. 26. ISBN:978-1-58488-586-3.
  14. ^ François Baccelli؛ Bartlomiej Blaszczyszyn (2009). Stochastic Geometry and Wireless Networks. Now Publishers Inc. ISBN:978-1-60198-264-3.
  15. ^ J. Michael Steele (2001). Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer Science & Business Media. ISBN:978-0-387-95016-7.
  16. ^ Marek Musiela؛ Marek Rutkowski (2006). Martingale Methods in Financial Modelling. Springer Science & Business Media. ISBN:978-3-540-26653-2.
  17. ^ Steven E. Shreve (2004). Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models. Springer Science & Business Media. ISBN:978-0-387-40101-0.
  18. ^ أ ب Jarrow، Robert؛ Protter، Philip (2004). "A short history of stochastic integration and mathematical finance: the early years, 1880–1970". A Festschrift for Herman Rubin. Institute of Mathematical Statistics Lecture Notes - Monograph Series. ص. 75–80. CiteSeerX:10.1.1.114.632. DOI:10.1214/lnms/1196285381. ISBN:978-0-940600-61-4. ISSN:0749-2170.
  19. ^ Stirzaker، David (2000). "Advice to Hedgehogs, or, Constants Can Vary". The Mathematical Gazette. ج. 84 ع. 500: 197–210. DOI:10.2307/3621649. ISSN:0025-5572. JSTOR:3621649.
  20. ^ Donald L. Snyder؛ Michael I. Miller (2012). Random Point Processes in Time and Space. Springer Science & Business Media. ص. 32. ISBN:978-1-4612-3166-0.
  21. ^ Guttorp، Peter؛ Thorarinsdottir، Thordis L. (2012). "What Happened to Discrete Chaos, the Quenouille Process, and the Sharp Markov Property? Some History of Stochastic Point Processes". International Statistical Review. ج. 80 ع. 2: 253–268. DOI:10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x. ISSN:0306-7734.
  22. ^ Gusak، Dmytro؛ Kukush، Alexander؛ Kulik، Alexey؛ Mishura، Yuliya؛ Pilipenko، Andrey (2010). Theory of Stochastic Processes: With Applications to Financial Mathematics and Risk Theory. Springer Science & Business Media. ص. 21. ISBN:978-0-387-87862-1. {{استشهاد بكتاب}}: الوسيط |ref=harv غير صالح (مساعدة)
  23. ^ Valeriy Skorokhod (2005). Basic Principles and Applications of Probability Theory. Springer Science & Business Media. ص. 42. ISBN:978-3-540-26312-8.
  24. ^ أ ب ت ث Olav Kallenberg (2002). Foundations of Modern Probability. Springer Science & Business Media. ص. 24–25. ISBN:978-0-387-95313-7.
  25. ^ أ ب ت ث ج ح خ John Lamperti (1977). Stochastic processes: a survey of the mathematical theory. Springer-Verlag. ص. 1–2. ISBN:978-3-540-90275-1.
  26. ^ أ ب Loïc Chaumont؛ Marc Yor (2012). Exercises in Probability: A Guided Tour from Measure Theory to Random Processes, Via Conditioning. Cambridge University Press. ص. 175. ISBN:978-1-107-60655-5.
  27. ^ أ ب ت ث Robert J. Adler؛ Jonathan E. Taylor (2009). Random Fields and Geometry. Springer Science & Business Media. ص. 7–8. ISBN:978-0-387-48116-6.
  28. ^ Gregory F. Lawler؛ Vlada Limic (2010). Random Walk: A Modern Introduction. Cambridge University Press. ISBN:978-1-139-48876-1.
  29. ^ David Williams (1991). Probability with Martingales. Cambridge University Press. ISBN:978-0-521-40605-5.
  30. ^ L. C. G. Rogers؛ David Williams (2000). Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations. Cambridge University Press. ISBN:978-1-107-71749-7.
  31. ^ David Applebaum (2004). Lévy Processes and Stochastic Calculus. Cambridge University Press. ISBN:978-0-521-83263-2.
  32. ^ Mikhail Lifshits (2012). Lectures on Gaussian Processes. Springer Science & Business Media. ISBN:978-3-642-24939-6.
  33. ^ Robert J. Adler (2010). The Geometry of Random Fields. SIAM. ISBN:978-0-89871-693-1.
  34. ^ Samuel Karlin؛ Howard E. Taylor (2012). A First Course in Stochastic Processes. Academic Press. ISBN:978-0-08-057041-9.
  35. ^ Bruce Hajek (2015). Random Processes for Engineers. Cambridge University Press. ISBN:978-1-316-24124-0.
  36. ^ G. Latouche؛ V. Ramaswami (1999). Introduction to Matrix Analytic Methods in Stochastic Modeling. SIAM. ISBN:978-0-89871-425-8.
  37. ^ D.J. Daley؛ David Vere-Jones (2007). An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure. Springer Science & Business Media. ISBN:978-0-387-21337-8.
  38. ^ Patrick Billingsley (2008). Probability and Measure. Wiley India Pvt. Limited. ISBN:978-81-265-1771-8.
  39. ^ Pierre Brémaud (2014). Fourier Analysis and Stochastic Processes. Springer. ISBN:978-3-319-09590-5.
  40. ^ Adam Bobrowski (2005). Functional Analysis for Probability and Stochastic Processes: An Introduction. Cambridge University Press. ISBN:978-0-521-83166-6.
  41. ^ Applebaum، David (2004). "Lévy processes: From probability to finance and quantum groups". Notices of the AMS. ج. 51 ع. 11: 1336–1347.
  42. ^ Jochen Blath؛ Peter Imkeller؛ Sylvie Rœlly (2011). Surveys in Stochastic Processes. European Mathematical Society. ISBN:978-3-03719-072-2.
  43. ^ Michel Talagrand (2014). Upper and Lower Bounds for Stochastic Processes: Modern Methods and Classical Problems. Springer Science & Business Media. ص. 4–. ISBN:978-3-642-54075-2.
  44. ^ Paul C. Bressloff (2014). Stochastic Processes in Cell Biology. Springer. ص. vii–ix. ISBN:978-3-319-08488-6.
  45. ^ أ ب Samuel Karlin؛ Howard E. Taylor (2012). A First Course in Stochastic Processes. Academic Press. ص. 27. ISBN:978-0-08-057041-9.
  46. ^ Applebaum، David (2004). "Lévy processes: From probability to finance and quantum groups". Notices of the AMS. ج. 51 ع. 11: 1337.
  47. ^ L. C. G. Rogers؛ David Williams (2000). Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations. Cambridge University Press. ص. 121–124. ISBN:978-1-107-71749-7.
  48. ^ أ ب Ionut Florescu (2014). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. ص. 294, 295. ISBN:978-1-118-59320-2.
  49. ^ أ ب Samuel Karlin؛ Howard E. Taylor (2012). A First Course in Stochastic Processes. Academic Press. ص. 26. ISBN:978-0-08-057041-9.
  50. ^ Donald L. Snyder؛ Michael I. Miller (2012). Random Point Processes in Time and Space. Springer Science & Business Media. ص. 24, 25. ISBN:978-1-4612-3166-0.
  51. ^ Patrick Billingsley (2008). Probability and Measure. Wiley India Pvt. Limited. ص. 482. ISBN:978-81-265-1771-8.
  52. ^ أ ب Alexander A. Borovkov (2013). Probability Theory. Springer Science & Business Media. ص. 527. ISBN:978-1-4471-5201-9.
  53. ^ Pierre Brémaud (2014). Fourier Analysis and Stochastic Processes. Springer. ص. 120. ISBN:978-3-319-09590-5.
  54. ^ Jeffrey S Rosenthal (2006). A First Look at Rigorous Probability Theory. World Scientific Publishing Co Inc. ص. 177–178. ISBN:978-981-310-165-4.
  55. ^ Peter E. Kloeden؛ Eckhard Platen (2013). Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Springer Science & Business Media. ص. 63. ISBN:978-3-662-12616-5.
  56. ^ Davar Khoshnevisan (2006). Multiparameter Processes: An Introduction to Random Fields. Springer Science & Business Media. ص. 153–155. ISBN:978-0-387-21631-7.
  57. ^ أ ب "Stochastic". قاموس أوكسفورد الإنجليزي (ط. الثالثة). مطبعة جامعة أكسفورد. سبتمبر 2005.
  58. ^ O. B. Sheĭnin (2006). Theory of probability and statistics as exemplified in short dictums. NG Verlag. ص. 5. ISBN:978-3-938417-40-9.
  59. ^ Oscar Sheynin؛ Heinrich Strecker (2011). Alexandr A. Chuprov: Life, Work, Correspondence. V&R unipress GmbH. ص. 136. ISBN:978-3-89971-812-6.
  60. ^ Khintchine، A. (1934). "Korrelationstheorie der stationeren stochastischen Prozesse". Mathematische Annalen. ج. 109 ع. 1: 604–615. DOI:10.1007/BF01449156. ISSN:0025-5831.
  61. ^ Kolmogoroff، A. (1931). "Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung". Mathematische Annalen. ج. 104 ع. 1: 1. DOI:10.1007/BF01457949. ISSN:0025-5831.
  62. ^ "Random". قاموس أوكسفورد الإنجليزي (ط. الثالثة). مطبعة جامعة أكسفورد. سبتمبر 2005.
  63. ^ Bert E. Fristedt؛ Lawrence F. Gray (2013). A Modern Approach to Probability Theory. Springer Science & Business Media. ص. 580. ISBN:978-1-4899-2837-5.
  64. ^ L. C. G. Rogers؛ David Williams (2000). Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations. Cambridge University Press. ص. 121, 122. ISBN:978-1-107-71749-7.
  65. ^ Søren Asmussen (2003). Applied Probability and Queues. Springer Science & Business Media. ص. 408. ISBN:978-0-387-00211-8.
  66. ^ أ ب David Stirzaker (2005). Stochastic Processes and Models. Oxford University Press. ص. 45. ISBN:978-0-19-856814-8.
  67. ^ Murray Rosenblatt (1962). Random Processes. Oxford University Press. ص. 91.
  68. ^ John A. Gubner (2006). Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers. Cambridge University Press. ص. 383. ISBN:978-1-139-45717-0.
  69. ^ أ ب Kiyosi Itō (2006). Essentials of Stochastic Processes. American Mathematical Soc. ص. 13. ISBN:978-0-8218-3898-3.
  70. ^ M. Loève (1978). Probability Theory II. Springer Science & Business Media. ص. 163. ISBN:978-0-387-90262-3.
  71. ^ Pierre Brémaud (2014). Fourier Analysis and Stochastic Processes. Springer. ص. 133. ISBN:978-3-319-09590-5.
  72. ^ أ ب Gusak et al. (2010), p. 1
  73. ^ Richard F. Bass (2011). Stochastic Processes. Cambridge University Press. ص. 1. ISBN:978-1-139-50147-7.
  74. ^ Ionut Florescu (2014). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. ص. 293. ISBN:978-1-118-59320-2.
  75. ^ Ionut Florescu (2014). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. ص. 301. ISBN:978-1-118-59320-2.
  76. ^ Dimitri P. Bertsekas؛ John N. Tsitsiklis (2002). Introduction to Probability. Athena Scientific. ص. 273. ISBN:978-1-886529-40-3.
  77. ^ Oliver C. Ibe (2013). Elements of Random Walk and Diffusion Processes. John Wiley & Sons. ص. 11. ISBN:978-1-118-61793-9.
  78. ^ Achim Klenke (2013). Probability Theory: A Comprehensive Course. Springer. ص. 347. ISBN:978-1-4471-5362-7.
  79. ^ Gregory F. Lawler؛ Vlada Limic (2010). Random Walk: A Modern Introduction. Cambridge University Press. ص. 1. ISBN:978-1-139-48876-1.
  80. ^ Olav Kallenberg (2002). Foundations of Modern Probability. Springer Science & Business Media. ص. 136. ISBN:978-0-387-95313-7.
  81. ^ Ionut Florescu (2014). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. ص. 383. ISBN:978-1-118-59320-2.
  82. ^ Rick Durrett (2010). Probability: Theory and Examples. Cambridge University Press. ص. 277. ISBN:978-1-139-49113-6.
  83. ^ أ ب Weiss، George H. (2006). "Random Walks". Encyclopedia of Statistical Sciences. ص. 1. DOI:10.1002/0471667196.ess2180.pub2. ISBN:978-0471667193.
  84. ^ Aris Spanos (1999). Probability Theory and Statistical Inference: Econometric Modeling with Observational Data. Cambridge University Press. ص. 454. ISBN:978-0-521-42408-0.
  85. ^ Fima C. Klebaner (2005). Introduction to Stochastic Calculus with Applications. Imperial College Press. ص. 81. ISBN:978-1-86094-555-7.
  86. ^ Allan Gut (2012). Probability: A Graduate Course. Springer Science & Business Media. ص. 88. ISBN:978-1-4614-4708-5.
  87. ^ Geoffrey Grimmett؛ David Stirzaker (2001). Probability and Random Processes. OUP Oxford. ص. 71. ISBN:978-0-19-857222-0.


مجلوبة من «https://ar.wikipedia.org/w/index.php?title=عملية_تصادفية&oldid=49359660»