معادلة تفاضلية تامة

في الرياضيات ، المعادلة التفاضلية الدقيقة أو المعادلة التفاضلية الكلية هي نوع محدد من المعادلات التفاضلية العادية التي لديها تطبيقات كثيرة في الفيزياء والهندسة .

تعريف

إذا أفترضنا مجموعة مفتوحة فرعية متصلة D من R ² ودالتان I و J ذات مجال مستمر على D، حينها تكون المعادلة التفاضلية العادية الضمنية من الدرجة الأولى التي على الصيغة التالية

$I(x,y)\,\mathrm {d} x+J(x,y)\,\mathrm {d} y=0,\,\!$

تسمى معادلة تفاضلية تامة إذا كانت هناك دالة F قابلة للتفاضل باستمرار ، تسمى الدالة الإحتمالية، بحيث

${\frac {\partial F}{\partial x}}=I$

و

${\frac {\partial F}{\partial y}}=J.$

يُشير مسمى "المعادلة التفاضلية الدقيقة" إلى الإشتقاق الدقيق للدالة. للدالة$F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})$ ، المشتق الدقيق أو الكلي بالنسبة إلى $x_{0}$ يمكن حسابه من خلال الصيغة

${\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x_{0}}}={\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x_{0}}}.$

مثال

الدالة $F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ , على الشكل

$F(x,y)={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})+c$

هي دالة محتملة للمعادلة التفاضلية

$x\,\mathrm {d} x+y\,\mathrm {d} y=0.\,$

وجود دوال محتملة

في التطبيقات الفيزيائية والهندسية ، لا تكون الدوال I و J عادةً مستمرة فحسب ، بل يمكن اشتقاقها باستمرار . تزودنا نظرية شوارز حينها بمعيار ضروري لوجود دالة محتملة. بالنسبة للمعادلات التفاضلية المعرّفة على مجموعات متصلة ببساطة ، يكون المعيار كافيًا ونحصل على النظرية التالية:

إذا أُعطيت معادلة تفاضلية على الصيغة (على سبيل المثال ، عندما يكون ميل F صفر في اتجاه x و y عند (F (x ، y) ):

$I(x,y)\,\mathrm {d} x+J(x,y)\,\mathrm {d} y=0,\,\!$

مع I و J قابلتان للإشتقاق بشكل مستمر على مجموعة فرعية متصلة ومفتوحة ببساطة D من R ^{2 ،} فإن الدالة الإحتمالية F موجودة إذا وفقط إذا

${\frac {\partial I}{\partial y}}(x,y)={\frac {\partial J}{\partial x}}(x,y).$

حلول المعادلات التفاضلية الدقيقة

بالنظر إلى معادلة تفاضلية دقيقة محددة في مجموعة فرعية D من R ² متصلة ومفتوحة ببساطة مع الدالة المحتملة F ، فإن الدالة القابلة للتفاضل f مع (x ، f ( x )) في D هي حل إذا وفقط إذا كان هناك رقم حقيقي c بحيث

$F(x,f(x))=c.\,$

لمسألة القيمة الأبتدائية

$y(x_{0})=y_{0}\,$

يمكننا محليًا إيجاد دالة محتملة بواسطة

$F(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}I(t,y_{0})\mathrm {d} t+\int _{y_{0}}^{y}J(x,t)\mathrm {d} t=\int _{x_{0}}^{x}I(t,y_{0})\mathrm {d} t+\int _{y_{0}}^{y}\left[J(x_{0},t)+\int _{x_{0}}^{x}{\frac {\partial I}{\partial t}}(u,t)\,\mathrm {d} u\,\right]\mathrm {d} t.$

وخلال حلها

$F(x,y)=c\,$

بالنسبة إلى y ، حيث c عدد حقيقي ، يمكننا بعد ذلك التوصل إلى بقية الحلول.

أنظر أيضا

• تفاضل دقيق
• معادلة تفاضلية غير دقيقة