تفاضل كامل

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

تفاضل كامل أو المشتقة الكاملة في الرياضيات (بالإنجليزية: total derivative) وبصفة خاصة في حساب التفاضل وهو يختص بتفاضل دالة تعتمد علي عدة متغيرات. فإذا كان لدينا دالة f تعتمد على المتغيرات مثلا t,x,y وغيرها فإن المشتقة الكاملة للدالة f بالنسبة إلى أحد المتغيرات مثل t تكون مختلفة عن المشتقة الجزئية. بحساب التفاضل الكامل للدالة f بالنسبة إلى t لا نعتبر أن المتغيرات الأخرى ثابتة أثناء تغير t ، وإنما تسمح للمتغيرات الأخرى x,y أن تتغير بالنسبة إلى t. وتأخذ المشتقة الكاملة أعتماد المتغيرات فيما بينها في الحسبان للحصول على التغير الكامل للدالة f على t.

فعلى سبيل المثال ، يكون التفاضل الكامل للدالة (f(t,x,y بالنسبة إلى t كالآتي :

\frac{\operatorname df}{\operatorname dt}=\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\operatorname dx}{\operatorname dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\operatorname dy}{\operatorname dt}.

وعندما نقوم بضرب طرفي المعادلة بمعامل التفاضل \operatorname dt نحصل على :

{\operatorname df}=\frac{\partial f}{\partial t}\operatorname dt + \frac{\partial f}{\partial x} \operatorname dx + \frac{\partial f}{\partial y} \operatorname dy.

والنتيجة هي التغير التفاضلي \operatorname df للدالة f. ونظرا لأن f تعتمد على t, فإن جزء من هذا التغير سيكون بسبب المشتقة الجزئية للدالة f بالنسبة إلى t. ولكن بعض هذا التغير يعود على المشتقات الجزئية للدالة f واعتمادها على المتغيرات x وy.

وبناءا على ذلك نطبق التفاضل \operatorname dt على المشتقة الكاملة ل x وy للحصول على التفاضل بالنسبة إلى \operatorname dx و\operatorname dy, والتي يمكن بها تعيين تأثيرهما على \operatorname df..

ونعبر عن معامل التفاضل كالآتي :

\frac{\operatorname d}{\operatorname dx}= \frac{\partial }{\partial x}+\sum_{j=1}^k \frac{\operatorname dy_j}{\operatorname dx}\frac{\partial }{\partial y_j},

وهو يصف المشتقة الكاملة لدالة (في تلك الحالة بالنسبة إلى المتغير x ).

الحصول على المشتقة الكاملة بالتفاضل[عدل]

يعطينا التفاضل تفسيرا واضحا للمشتقة الكاملة. فعلى سبيل المثال ، إذا افترضنا M(t,p_1,\dots,p_n) دالة للزمن t وعدد n من المتغيرات p_i فيكون تفاضل الدالة M كالآتي:

 \operatorname d M = \frac{\partial M}{\partial t} \operatorname d t + \sum_{i=1}^n \frac{\partial M}{\partial p_i}\operatorname{d}p_i.

وقد تكون المتغيرات t وpj هي بدورها دوال بحيث تكون الدالة M معتمدة على تلك الدوال الأخرى ، عندئذ يمكننا اعتبار المعادلة السابقة بأنها تفاضل من الدرجة الأولى. وميزة تلك الطريقة أنها تأخذ في الاعتبار أيضا اعتماد المتغيرات على بعضها البعض. فمثلا ، إذا كانت p_1^2=p_2 p_3 ،

فتكون :

2p_1\operatorname dp_1=p_3 \operatorname d p_2+p_2\operatorname d p_3.

وإذا كانت المتغيرات pj دوالا ل t, نحصل على :

 \operatorname d M
= \frac{\partial M}{\partial t} \operatorname d t + \sum_{i=1}^n \frac{\partial M}{\partial p_i}\frac{\partial p_i}{\partial t}\,\operatorname d t.

المشتقة الكاملة والمشتقة الجزئية[عدل]

تصادفنا في الميكانيكا مسائل تكون فيها الدالة f لا تعتمد فقط على إحداثيات الموقع x وy وإنما أيضا على الزمن. أي تكون : x = g(t) وy=h(t) إحداثيات مواقع نقطة تتحرك وتغير موضعها بمرور الزمن. في تلك الحالة تصبح دالة الحركة :

t \mapsto f(t,g(t),h(t))

وهي معتمدة بطريقتان مع الزمن t ، حيث أن f نفسها تعتمد على الزمن t.

  1. يسمى اعتماد f على الزمن مباشرة "اعتمادا بسيطا " أو "اعتمادا مباشرا" Explicit،
  2. وإذا كانت إحداثيات الموقع x = g(t) وy=h(t) هي الأخرى معتمدة على الزمن t فيسمى اعتماد f على الزمن "اعتمادا ضمنيا" Implicit.

نسمي المشتقة "مشتقة جزئية " للدالة f بالنسبة للزمن عندما نعني المشتقة الجزئية للعلاقة الأولى ، أي :

\frac{\partial f}{\partial t}(t,x,y)

حيث تكون كل من x وy ثابتين.أي أن تلك الحالة تراعي الاعتماد المباشر للدالة على الزمن.

ومن ناحية أخرى نتحدث عن "المشتقة الكاملة" للدالة f بالنسبة للزمن عند تعاملنا مع الدالة المركبة ، أي :

\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} f(t,g(t),h(t)).

وترتبط العلاقتان ببعضهما البعض كالآتي:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} f(t,g(t),h(t)) = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \, g' + \frac{\partial f}{\partial y} \,h'  
= \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \, \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \,\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}

و هذه العلاقة تعتبر كلتا الحالتين لاعتماد الدالة "المباشرة " و"الضمنية " على الزمن.

أقرأ أيضا[عدل]