تفاضل كامل

تفاضل كامل أو المشتقة الكاملة في الرياضيات (بالإنجليزية: total derivative) وبصفة خاصة في حساب التفاضل وهو يختص بتفاضل دالة تعتمد علي عدة متغيرات. فإذا كان لدينا دالة f تعتمد على المتغيرات مثلا t,x,y وغيرها فإن المشتقة الكاملة للدالة f بالنسبة إلى أحد المتغيرات مثل t تكون مختلفة عن المشتقة الجزئية. بحساب التفاضل الكامل للدالة f بالنسبة إلى t لا نعتبر أن المتغيرات الأخرى ثابتة أثناء تغير t ، وإنما تسمح للمتغيرات الأخرى x,y أن تتغير بالنسبة إلى t. وتأخذ المشتقة الكاملة أعتماد المتغيرات فيما بينها في الحسبان للحصول على التغير الكامل للدالة f على t.

فعلى سبيل المثال ، يكون التفاضل الكامل للدالة (f(t,x,y بالنسبة إلى t كالآتي :

$\frac{\operatorname df}{\operatorname dt}=\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\operatorname dx}{\operatorname dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\operatorname dy}{\operatorname dt}.$

وعندما نقوم بضرب طرفي المعادلة بمعامل التفاضل $\operatorname dt$ نحصل على :

${\operatorname df}=\frac{\partial f}{\partial t}\operatorname dt + \frac{\partial f}{\partial x} \operatorname dx + \frac{\partial f}{\partial y} \operatorname dy.$

والنتيجة هي التغير التفاضلي $\operatorname df$ للدالة $f$. ونظرا لأن $f$ تعتمد على $t$, فإن جزء من هذا التغير سيكون بسبب المشتقة الجزئية للدالة $f$ بالنسبة إلى $t$. ولكن بعض هذا التغير يعود على المشتقات الجزئية للدالة $f$ واعتمادها على المتغيرات $x$ و$y$.

وبناءا على ذلك نطبق التفاضل $\operatorname dt$ على المشتقة الكاملة ل $x$ و$y$ للحصول على التفاضل بالنسبة إلى $\operatorname dx$ و$\operatorname dy$, والتي يمكن بها تعيين تأثيرهما على $\operatorname df$..

ونعبر عن معامل التفاضل كالآتي :

$\frac{\operatorname d}{\operatorname dx}= \frac{\partial }{\partial x}+\sum_{j=1}^k \frac{\operatorname dy_j}{\operatorname dx}\frac{\partial }{\partial y_j},$

وهو يصف المشتقة الكاملة لدالة (في تلك الحالة بالنسبة إلى المتغير x ).

الحصول على المشتقة الكاملة بالتفاضل

يعطينا التفاضل تفسيرا واضحا للمشتقة الكاملة. فعلى سبيل المثال ، إذا افترضنا $M(t,p_1,\dots,p_n)$ دالة للزمن t وعدد n من المتغيرات $p_i$ فيكون تفاضل الدالة M كالآتي:

$\operatorname d M = \frac{\partial M}{\partial t} \operatorname d t + \sum_{i=1}^n \frac{\partial M}{\partial p_i}\operatorname{d}p_i.$

وقد تكون المتغيرات t وp_j هي بدورها دوال بحيث تكون الدالة M معتمدة على تلك الدوال الأخرى ، عندئذ يمكننا اعتبار المعادلة السابقة بأنها تفاضل من الدرجة الأولى. وميزة تلك الطريقة أنها تأخذ في الاعتبار أيضا اعتماد المتغيرات على بعضها البعض. فمثلا ، إذا كانت $p_1^2=p_2 p_3$ ،

فتكون :

$2p_1\operatorname dp_1=p_3 \operatorname d p_2+p_2\operatorname d p_3$.

وإذا كانت المتغيرات p_j دوالا ل t, نحصل على :

$\operatorname d M = \frac{\partial M}{\partial t} \operatorname d t + \sum_{i=1}^n \frac{\partial M}{\partial p_i}\frac{\partial p_i}{\partial t}\,\operatorname d t.$

المشتقة الكاملة والمشتقة الجزئية

تصادفنا في الميكانيكا مسائل تكون فيها الدالة $f$ لا تعتمد فقط على إحداثيات الموقع $x$ و$y$ وإنما أيضا على الزمن. أي تكون : $x = g(t)$ و$y=h(t)$ إحداثيات مواقع نقطة تتحرك وتغير موضعها بمرور الزمن. في تلك الحالة تصبح دالة الحركة :

$t \mapsto f(t,g(t),h(t))$

وهي معتمدة بطريقتان مع الزمن $t$ ، حيث أن $f$ نفسها تعتمد على الزمن $t$.

1. يسمى اعتماد $f$ على الزمن مباشرة "اعتمادا بسيطا " أو "اعتمادا مباشرا" Explicit،
2. وإذا كانت إحداثيات الموقع $x = g(t)$ و$y=h(t)$ هي الأخرى معتمدة على الزمن $t$ فيسمى اعتماد $f$ على الزمن "اعتمادا ضمنيا" Implicit.

نسمي المشتقة "مشتقة جزئية " للدالة $f$ بالنسبة للزمن عندما نعني المشتقة الجزئية للعلاقة الأولى ، أي :

$\frac{\partial f}{\partial t}(t,x,y)$

حيث تكون كل من $x$ و$y$ ثابتين.أي أن تلك الحالة تراعي الاعتماد المباشر للدالة على الزمن.

ومن ناحية أخرى نتحدث عن "المشتقة الكاملة" للدالة $f$ بالنسبة للزمن عند تعاملنا مع الدالة المركبة ، أي :

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} f(t,g(t),h(t)).$

وترتبط العلاقتان ببعضهما البعض كالآتي:

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} f(t,g(t),h(t)) = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \, g' + \frac{\partial f}{\partial y} \,h' = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \, \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \,\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}$

و هذه العلاقة تعتبر كلتا الحالتين لاعتماد الدالة "المباشرة " و"الضمنية " على الزمن.

أقرأ أيضا

• التفاضل
• التفاضل والتكامل
• اشتقاق (رياضيات)