معادلة تفاضلية عادية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الرياضيات، بشكل عام المعادلات التفاضلية هي المعادلات التي يكون فيها المتغير هو دالة، حيث المعادلة تظهر العلاقة بين الدالة ومشتقاتها. حل المعادلات التفاضلية يعني إيجاد جميع الدوال y التي تحقق هذه المعادلة, و مجموعة هذه الدوال تسمى الحل العام للمعادلة (عائلة حلول) ، كل عنصر من هذه المجموعة يسمى حلا خاصا للمعادلة.

أما المعادلة التفاضلية العاديّة (بالإنكليزية: Ordinary differential equation) تكون فيها الدالة بمتغير واحد، بعكس المعادلة التفاضلية الجزئية التي يكون فيها المتغير دالة بعدّة متغيرات، والمشتقات مشتقات جزئية.

المعادلات التفاضلية مهمة جداً في تفسير الظواهر العلمية الفيزيائية والكيميائية. السبب في ذلك اننا نستطيع كتابة معادلات بمتغيرات كثيرة كدالة للمشتقات مثل سرعة وموقع الاجسام المختلفة، لذلك يلزم معرفة حل هذه المعدلات وكيفيّة التعامل معها. ويجدر التنويه انه في حالات كثيره لا يمكن حل المعادلة بصورة جبريّة تامة، لذلك من المهم التعرف على نظريات وخواص هذه المعادلات التي بطبعها تسهّل تأطير الحل.

ممكن تصنيف المعادلات إلى فئات مختلفة بحسب رتبة المعادلة. رتبة المعادلة هي أعلى مشتقة تظهر بالمعادلة. أما درجة المعادلة فهي الأس المرفوع اليها أعلى مشتقة.

مثال: \ (y'')^9-5y=x من مرتبة 2 ودرجة 9.

معادلات من الرتبة الأولى[عدل]

بشكل عام، يمكن عرض المعادلة من الرتبة الأولى بصورة \ F\left(y,y',x\right)=0. الهدف هو البحث عن دالة \ y(x) إذا عوضنها في \ F تكون النتيجة 0.

مثال[عدل]

الدالة \ F(y,y',x)=y'-2y المعادلة تكون \ y'-2y=0.الحل العام هو: \ Ae^{2x}. وبالفعل يتحقق \ (Ae^{2x})'=2Ae^{2x}, لذلك اذا عوّضنا تكون النتيجة \ 2Ae^{2x}-2Ae^{2x}=0, كالمطلوب.

كما ذكرنا، في معادلة تفاضلية نحصل على عدّة حلول متعددة، الحل المطلوب ممكن حصره بواسطة : شرط حدي - شرط ابتدائي (أنظر شروط الحدية).

بشكل خاص؛ لمعادلات تفاضلية من الرتبة الاولى هناك مبرهنة بيكار ليندلوف ذات خواص مهمة لايجاد الحل.

معادلة خطيّة متجانسة وغير متجانسة من الرتبة الأولى[عدل]

تظهر معادلة خطية من الرتبة الأولى على الصورة \ y'+p(x)y=q(x). إذا كان \ q(x)\equiv 0 تسمى المعادلة بالمعادلة المتجانسة؛ \ y'+p(x)y=0.

\ y'+p(x)y=0

\ y'= -p(x)y

\ (y'/y)=-p(x)

\ \int (dy/y) = \int (-p(x))

\ y = Ce^{\int -p(x) dx}

\ C هو معامل تكاملي، ونضيف حلا إضافيا يسمى الحل المنفرد \ y(x)\equiv 0 وهو يتحقق في شرط حدي \ C= 0. إذا يمكن استنتاج هذا الحل من الحل العام لذلك الحال العام كامل.

المعادلة غير المتجانسة يمكن كتابة حلها حاصل جمع بين حل عام لمعادلة تفاضلية متجانسة وحل خاص لمعادلة تفاضلية غير متجانسة.

\ y=y_H+y_P

نعرض الآن حلا عاما للمعادلة التفاضلية غير المتجانسة \ y'+p(x)y=q(x)

نستعين في دالة \  M(x):

\ y'+p(x)y=q(x)

نضرب الجهتين في الدالة المساعدة:

\ M(x) y'+  M(x) p(x)y= M(x)q(x)

نطلب:

\ M(x)'= p(x)M(x)

هي معادلة تفاضلية متجانسة، حلها:

\ M(x)=e^{\int p(x)dx}

نستعين في الدالة المساعدة لنصل إلى الحل النهائي:

\ \int (M(x)y )'= \int M(x)q(x)

\  M(x)y = \int M(x)q(x) +c

\ y =(\int M(x)q(x)+c)/M(x)

فصل المتغيرات[عدل]

هي من الصورة:

\  y' =g(x)h(y)

طريقة الحل تكون بفصل المتغيرات ثم القيام بالتكامل.

أي أن :

\ \int dy/h(y) = \int g(x)dx

وهذا بالضبط ما قمنا به في المعادلة المتجانسة من الرتبة الأولى.

ملاحظة: فصل المتغيرات يعني فصل كل ما يتعلق بالمتغير المستقل \ x عن متغير المعادلة (المتغير التابع) \ y(x) .

معادلة الخط المستقيم[عدل]

\ y'= f(ax+by+c)

نرمز: \ z=ax+by+c ومنها نعود لمعادلة فصل المتغيرات.

معادلة على الصورة (y'=f(y/x[عدل]

نوصل الصورة المعطاة لمعادلة قابلة للفصل عن طريق الرمز لِ \ z=y/x .

معادلة برنولي[عدل]

معادلة برنولي من الصورة \ y'+p(x)y=q(x)y^n. واضح ان \ y=0 هو حل للمعادلة.

نفرض أن \ y\ne0، نقسم على \ y^n  :

\ y'/y^n + p(x)y/y^n =q(x) نرمز \ z=y/y^n أي \ z=y^{1-n}، فنحصل على الدالة الخطية \ z'+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x).

نجد \ z ومنها يمكننا ايجاد \ y - المتغير التابع المطلوب.

معادلة تامّة[عدل]

لتكن \ F(x,y) دالة قابلة للاشتقاق. حيث \ x(t) و \ y(t) . حسب قاعدة السلسلة يتحقق: \ \frac {dF}{dt} = \frac{\partial F}{\partial x} \frac {dx}{dt} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac {dy}{dt}

وبشكل رمزي نكتب: \ dF = \frac{\partial F}{\partial x} dx +\frac{\partial F}{\partial y} dy

إذا كانت \ F(x,y)=const حينئذ \ dF=0 .

من هذا المنطلق ننظر للمعادلة \ P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 :

  1. اذا تحقق \ \frac{\partial P}{\partial y}= \frac{\partial Q} {\partial x} حينها تسمى المعادلة معادلة تامّة.
  2. واذا كانت دالة \ F(x,y) تحقق:

\ \frac{\partial F}{\partial x}= P(x,y) وأيضاً \ \frac{\partial F}{\partial y}= Q(x,y) . تكون المعادلة شبيهة ل \ dF = \frac{\partial F}{\partial x} dx +\frac{\partial F}{\partial y} dy وحينها نقول الحل هو \ F(x,y)=c .


اذا لم تكن المعادلة تامّة، أي أن \ \frac{\partial P}{\partial y} \ne \frac{\partial Q} {\partial x} حينها نستعين بمعامل التكامل \ \mu (x,y) بحيث : \ \mu (x,y) P(x,y)dx + \mu (x,y) Q(x,y)dy =0 نطلب:

\ \frac{\partial }{\partial y} ( \mu (x,y) P(x,y))=  \frac{\partial }{\partial y} ( \mu (x,y) Q(x,y)

ملاحظة:بشكل عام نطلب ان \ \mu(x) -متعلقة فقط ب \ x او نطلب ان \ \mu(y) -متعلقة فقط ب \ y وذلك حسب المعادلة التي نريد حلها.

معاني هندسية في المعادلات التفاضلية[عدل]

حقل الاتجاه: نستطيع تمثيل ميل كل حل خاص على المحور بواسطة اسهم -لا يوجد معنى لطول السهم- ، بحيث ان اختيار شرط بدائي يعطينا حل واحد هو دالة.

    • اذا قمنا بالوصل بين الاسهم تظهر الحلول.
عائلة حلول في المعادلة المعطاه.اختيار شرط بدائي يعطي حل واحد هو دالة

نظرية وجود وأحادية الحل لمعادلة تفاضلية رتبة أولى[عدل]

معطى: \ y(x_0)=y_0 وأيضاَ \ y'=f(x,y)

نفرض أن الدالة \ f(x,y) وكل مشتقاتها الجزئية حسب \  y متصلة في المجال ثنائي البعد \  D في محور \ (x,y) وهذا المجال يحوي نقطة الشرط الحدي (أنظر شروط الحدية ) \  (x_0,y_0) .

فنقول أنه موجود منطقة مستطيلة\ [x_0-h,x_0+h] للنقطة \ x_0 على الأقل في المجال \ x_0-h \leq x\leq x_0+h  فيه حل موجود وهو \ y(x) . وهو واحد ووحيد.

معادلات تفاضلية من رتبة n[عدل]

أنظر معادلة تفاضلية خطية

انظر أيضا[عدل]