برهان صيغة جداء أويلر بالنسبة لدالة زيتا لريمان

برهان صيغة جداء أويلر

فيما يلي برهان هاته الصيغة :

$\zeta(s) = 1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+ \ldots$

دعونا نحسب الجداء التالي :

$(1-\frac{1}{2^s})\zeta(s) = 1+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{9^s}+ \ldots$

نلاحظ أن 2 و مضاعفاته قد اختفوا من الجانب الأيمن من الصيغة. سنقوم بأضافة 3 للمعادلة مما يعطي ما يلي:

$(1-\frac{1}{3^s})(1-\frac{1}{2^s})\zeta(s) = 1+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{11^s}+\frac{1}{13^s}+ \ldots$

بإضافة جميع الأعداد الأولية، نحصل على النتيجة. و هذه الطريقة تذكر بغربال إراتوستينس