مشتق (رياضيات)

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
مواضيع في الحسبان
المبرهنة الأساسية
نهايات الدوال
استمرارية
مبرهنة القيمة المتوسطة

العدد المُشتَقّ في نقطة، على رسم بياني لدالة ذات متغيرات وقيم حقيقية، هو معامل المماس الموجِّهُ. يعبر التفاضل عن المعدل الذي تتغير به قيمة y نتيجة تغير قيمة x توجد بينهما علاقة رياضية أو دالة رياضية. وتعرف الدالة المشتقة بأنها ميل المماس لمنحنى {f(x عند أي نقطة بشرط وجود هذه المشتقة أو هي السرعة اللحظية أو معدل التغيير اللحظي للدالة. نستخدم الرمز Δ للدلالة على التغير في الكمية. ويكون معدل التغير هو نهاية نسبة تغير y إلى نسبة تغير x :

 \frac{\Delta y}{\Delta x}

عندما Δx تقارب 0.

يمكن أن نكتب مشتق y بالنسبة ل x : (ترميز لايبنز)

 \frac{dy}{dx}

التعبير الدقيق عن مفهوم الاشتقاق يكون باستخدام مقادير لا متناهية في الصغر:

\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}.

المنحنى معبر بالأحمر، ومستقيم الظل معبر بالأسود، ونقطة تماس المنحنى مع المستقيم، يسمى بالعدد المشتق

رمز الاشتقاق[عدل]

مشتقة الدالة f(x)=x\cdot\sin(x^2) + 1 عند كل نقطة, هو ميل المماس لمنحنى تلك الدالة, الخط دائما مماس للمنحنى الأزرق, وميله يمثل المشتقة. لاحظ تكون المشتقة موجبة عندما يظهر الخط باللون الأخضر, وسالبة عندما يظهر باللون الأحمر , وصفر عندما يظهر الخط باللون الأسود.

يمكن التعبير عن المشتق بعدة صيغ، منها ما يلي :

f'\left(x\right) أو y'، و تُقرأ ((مشتقة y))
\frac{{\mathrm d} f}{{\mathrm d} x} ،والتي تكافئ الصيغة \frac{{\mathrm d} \left(f(x)\right)}{{\mathrm d} x}

و تُقرأ ((dfdx)) أو ((مشتقة f بدلالة x)) ، أما d(f(x))/dx فتُقرأ ((ddx للدالة f عند x)) أو ((مشتقة f عند x))

dy/dx

و تُقرأ ((dydx)) أو ((مشتقة y بدلالة x))

\dot{x} = \frac{{\mathrm d} x}{{\mathrm d} t} = x'(t) ،تستعمل خاصة في الفيزياء.
D_x f(x) \;

الاشتقاق الثابت[عدل]

في التحليل الرياضي، مشتق ثابت أو تابع ثابت هو الصفر. التابع الثابت هو تابع لا يعتمد على أي متغير مستقل مثل :

f(x) = 7

مشتقات بعض الدوال المعروفة[عدل]

الدالة
f(x) =\,
المشتقة
f'(x) =\,
شرط الاشتقاق
a\,\! 0\,\! x\,\in\mathbb{R}
a x\,\! a\,\! x\,\in\mathbb{R}
1 \over x\,\! - {1 \over x^2}\,\! x\,\in\mathbb{R}^*
\sqrt{x}\,\! {1 \over 2\sqrt{x}}\,\!

x\,\in\mathbb{R}_+^*

a x^n\,\! anx^{n-1}\,\! n\,\in \mathbb N^*\quad x\,\in\mathbb{R}
a x^n\,\! anx^{n-1}\,\! n\,\in \mathbb Z \setminus\mathbb N\quad x\,\in\mathbb{R}^*
a x^c\,\! acx^{c-1}\,\! c\,\in \mathbb R \setminus\mathbb Z\quad x\,\in\mathbb{R}^{*+}
\cos(x)\,\! -\sin(x)\,\! x\,\in\mathbb{R}
\sin(x)\,\! \cos(x)\,\! x\,\in\mathbb{R}
\tan(x)\,\! 1 \over \cos^2(x) أو  1+\tan^2(x)\,\! x\neq {\pi \over 2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}
\arccos(x)\,\! - {1 \over \sqrt{1-x^2}}\,\! x\,\in \ ]-1;1[
\arcsin(x)\,\!  {1 \over \sqrt{1-x^2}}\,\! x\,\in \ ]-1;1[
\sinh(x)\,\! \cosh(x)\,\! x\,\in\mathbb{R}
\cosh(x)\,\! \sinh(x)\,\! x\,\in\mathbb{R}
\arctan(x)\,\!  {1 \over 1+x^2}\,\! x\,\in\mathbb{R}
a^x\,\! a^x \ln a\,\! a\,\in\mathbb{R}_+^* \quad x\,\in\mathbb{R}
\ln |x|\,\! 1 \over x\,\! x\,\in\mathbb{R}^*
\exp{x}\,\! \exp{x}\,\! x\,\in\mathbb{R}

انظر أيضا[عدل]