تفاضل

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

التفاضل (بالإنكليزية: Differential calculus) هو أحد فروع علم الرياضيات وهو يعنى بمقدار تناسب التغير عند نقطة معينة في علاقة ما ، ورياضياً مفاضلة الدالة(أو التابع) عند نقطة معينة هو مقياس لمقدار تغير متغير بالنسبة لمتغير آخر.

محتويات

1 المبدأ
2 طريقة الحل
3 مثال
4 الاشتقاق الضمني
5 مثال
6 النهايات
7 ملاحظات

[عدل] المبدأ

يعتمد التفاضل على إيجاد معادلة لإيجاد الميل عند نقطة معينة عن طريق تقليل الفرق بين التغير في قيم س إلى صفر تقريبا وهذا هو الاشتقاق

إذ أن قاعدة الميل هي: Δص\Δس ( $m={\Delta y \over \Delta x}$ )

إذن Δس تؤول إلى صفر ( $\Delta x \rightarrow 0$ )

أي أن س₂-س₁---->صفر ( $x_2 - x_1 \rightarrow 0$ ) أي أن س2---->س1 ( $x_2 \rightarrow x_1$ )

وبما أن Δس لا تساوي صفر ولكن تقترب منها فإن القيمة لا تصبح غير معرفة ( $\Delta x \rightarrow 0$ )

أي أن Δص\Δس : Δس---->صفر ( ${\Delta y \over \Delta x} \Longrightarrow \Delta x \rightarrow 0$ )

= ص₂-ص₁\س₂-س₁ : س₂---->س₁ ( $\Longrightarrow { y_2 - y_1 \over x_2 - x_1 } \Longrightarrow x_2 \rightarrow x_1$ )

= ق(س₂)-ق(س₁)\س₂-س₁ : س₂---->س₁ ( $\Longrightarrow { f(x_2)-f(x_1) \over x_2 - x_1 } \Longrightarrow x_2 \rightarrow x_1$ )

ومن هنا نستنتج أن الاشتقاق هو ميل مماس نقطة معينة في المنحنى، ونستنتج أيضا أن المماس ليس مارا

بنقطة واحدة، وإنما بنقطتين البعد السيني بينهما قريب جدا من الصفر أي أنه يؤول إلى الصفر

[عدل] طريقة الحل

نقوم بالاشتقاق معتمدين على حساب النهايات وفرض متغيرات مختلفة، فمثلا:

كمتغيرات:

Δس = س₂ - س₁

س₁ = س₂ - Δس

س₂ = Δس + س₁

ونفرض Δس = هـ

أو يمكننا فرض س₂ = ج

ونقوم بدلا من كتابة ص بكتابة ق(س)

أي أن المعادلة النهائية هي:

ق(س₂) - ق(س₁)\س₂ - س₁ : س₂---->س₁ = ق(س + هـ) - ق(س)\هـ : هـ---->صفر = ق(ج) - ق(س)\ج - س : ج---->س₁

[عدل] مثال

أوجد مشتقةس²

وحسب القانون : ق(س+هـ)-ق(س)\هـ : هـ---->صفر

ونعوض في المعادلة

س²+2س هـ+هـ²-س²\هـ : هـ---->صفر

نحل المعادلة

س²-س²+هـ(2س+هـ)\هـ : هـ---->صفر

= هـ(2س+هـ)\هـ : هـ---->صفر

= 2س+هـ : هـ---->صفر

= 2س

وفعلا مشتقة س² = 2س

وكقاعدة عامة، فإن مشتقة أي كثير حدود درجته أكبر من صفر هي:

ق(س) = أس^ع+ب س^(ع-1)+...+ج

قَ(س) = (أ×ع)س^(ع-1)+(ب(ع-1))س^(س-2)+...+0

[عدل] الاشتقاق الضمني

هذا الاشتقاق يعمد إلى إيجاد ميول المماسات في الاقترانات التي ليست اقترانات، حيث يعجز الاشتقاق العادي عنها.

فتمثيل الاشتقاق يكون ب ( دص\دس ) تمثيلا لكتابة ص بواسطة س، أي أن ص = أس^ع+وس^ك+...

أي أن قيمة ص تحدد بقيمة س

وإذا أخذنا الاشتقاق ( دس\دص ) فإننا وقتها نعتبر قيمة س تتغير وفقا ل ص

أي أن س = أص^ع+وص^ك+...

إذن دص\دس تعبر عن ق(س) وكذلك دس\دص يعبر عن د(ص)

ودائما يتغير المتغير الذي في الأعلى ويبقى الذي في الأسفل ثابتا

[عدل] مثال

إذا أردنا إيجاد دص\دس في الاقتران

ق(س) = س³+3س²-2س+4

قَ(س) = 3س²+6س-2

وهذا وفقا لتعميم

والحل بالطريقة الجديدة

قَ(س) = 3س²( دس\دس )+6س( دس\دس )-2( دس\دس )

وبما أن دس\دس = 1 فإنها لا تؤثر على النتيجة ويكون الجواب النهائي : قَ(س) = 3س²+6س-2

[عدل] النهايات

إن المبدأ الأساسي لحساب التفاضل و كذلك لحساب التكامل المحدد يعتمد اعتمادا كبيرا على فكرة النهايات و لقد ابتدع كل من إسحاق نيوتن و جوتفريد ليبنتز العلاقة بين التفاضل و التكامل و من ثم فإليهما يرجع الأساس في اكتشاف علم التفاضل و التكامل و تجدر الاشارة إلى أن جهودهما كانتا منفصلتان كل عن الآخر لذلك فقد ساهم كل منهما مساهمة كبيرة في اكتشاف و تطور هذا العلم

[عدل] ملاحظات

إذا كانت دص\دس = 1 فليس صحيحا أن دص = دس فهو رمز رياضي يعبر عن الاشتقاق ويعبر عن الميل وعن التعبير عن ص بواسطة س في المعادلة

اشتقاق (رياضيات)

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

تفاضل

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

محتويات

[عدل] المبدأ

[عدل] طريقة الحل

[عدل] مثال

[عدل] الاشتقاق الضمني

[عدل] مثال

[عدل] النهايات

[عدل] ملاحظات

معاينة

أدوات شخصية

الموسوعة

بحث

إبحار

المشاركة والمساعدة

صندوق الأدوات

بلغات أخرى