حد ديديكايند

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

حد ديديكايند أو تقسيم ديديكايند لمجموعة مرتبة كليا S هو زوج (A,B) من أجزاء S حيث : {A,B} تكون تجزئة ل S وكل عنصر من A أصغر (قطعا) من كل عنصر من B.[1]

يوحي هذا التعريف بوجود "حد" يفصل بين A و B مما يفسر الاصطلاح. واستعمل هذا المفهوم أولا من طرف ريتشارد ديدكايند كطريقة لإنشاء الأعداد الحقيقية غير الجذرية. سمي هكذا نسبة لعالم الرياضيات الألماني ريتشارد ديدكايند.[بحاجة لمصدر]

التعريف[عدل]

لتكن S مجموعة مرتبة كليا، و A و B جزئين من S. و

نقول أن المزدوجة (A,B) حد لديديكايند إذا كان:

  1. لا تحتوي على أكبر عنصر.

الخاصيات 1 إلى 3 تفيد بأن {A,B} تجزئة ل S. مما يعني أن تحديد أحد الجزئين A أو B يكفي لتحديد الحد. إلا أننا نحتفظ بالجزئين معا ونرمز للحد بالزوج (A,B).

كما يمكن أن نعوض الخاصية 4 ب:

*A مغلق دنويا:  
*و B مغلق علويا: .

للحصول على تعريف مكافئ.

مقارنة حدين لديديكايند[عدل]

لتكن S مجموعة مرتبة كليا. (A,B) و(X,Y) حدين لديديكايند. نعرف علاقة ترتيب> على مجموعة حدود ديديكايند ل S بما يلي :

.

نبين أن تكون مجموعة مرتبة كليا باستعمال هذا الترتيب. كما أن خاصية الكابر الأصغر محققة على (أي أن كل جزء مكبور يقبل كابرا دنويا).

يشكل امتدادا ل S بمعنى ان كل عنصر x من S يقابله عنصر من عبر التطبيق التبايني و"التشاكلي" (أي الذي يحافظ على علاقة الترتيب>) :

ملاحظة
الخاصية 5 في التعريف تبين أن ليست حدا لديديكايند.

بذلك نرى أن حدود ديديكايند تمكن من تمديد مجموعة مرتبة كليا إلى مجموعة مرتبة كليا تحقق خاصية الكابر الأصغر.

مراجع[عدل]

انظر أيضا[عدل]