المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر، أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها.

عدد كسري

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
Question book-new.svg
المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر. يرجى إيراد مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (مارس 2016)
أرباع الدائرة

في الرياضيات، عدد كسري أو عدد نسبي أو عدد جذري (بالإنجليزية: Rational number) هو أي عدد يمكن صياغته على شكل نسبة بين عددين صحيحين إلى بعضهما وعادة ما تكتب بالشكل : أ/ب أو a/b وتدعى كسرا، حيث ب لا تساوي الصفر. يُدعى أ أو a الصورة أو البسط، ويُدعى ب أو b المخرج أو المقام.

يمكن كتابة أي عدد كسري بعدد غير منته من الأشكال (كنتيجة عن خواص التناسب): . ويعتبر الشكل أبسط ما يكون عندما لا يكون للبسط (الصورة) والمقام (المخرج) أي قواسم مشتركة (في المثال السابق : ).

يمكن أيضا التعبير عن أي عدد كسري بشكل كسر عشري ويكون الكسر العشري الممثل للعدد الكسري دوريًا(أي أن الأرقام الموجودة في الكسر العشري تتكرر بشكل دوري : 0.234234234، 12.363636، 452.563256325632). وهنا يستخدم رمز الخط العلوي للتعبير عن هذه الأعداد الكسرية الدورية.

بالمقابل توجد مجموعة من الأعداد الحقيقية لا تمتلك صفة الدورية هذه في الكسر العشري ولا يمكن التعبير عنها بنسبة عددين صحيحين : وهذه تدعى بالأعداد غير النسبية أو غير الكسرية.

العدد الناطق هو العدد الذي يمكن كتابته على الشكل q/p حيث p عدد صحيح نسبي و q عدد صحيح غير معدوم .نرمز إلى مجموعة الأعداد الناطقة بالرمز Q.

صفات الأعداد الكسرية[عدل المصدر]

العدد الكسري أو النسبي أو القياسي هو ما يمكن كتابته ككسر اعتيادي أو خارج قسمة عددين صحيحين. وعادة ما تكتب بالشكل : أ / ب أو a/b حيث ب لا تساوي الصفر، ندعو أ أو a الصورة أو البسط، وندعو ب أو b المخرج أو المقام.

يمكن كتابة أي عدد قياسي بعدد غير منتهي من الأشكال (كنتيجة عن خواص التناسب): . ويعتبر الشكل أبسط ما يكون عندما لا يكون للبسط (الصورة) والمقام (المخرج) أي قواسم مشتركة (في المثال السابق : ).

مجموعة الأعداد القياسية - ويرمز لها بالرمز - هي مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية وتحوي مجموعة الأعداد الصحيحة، أي أن . وتكون مجموعة الأعداد القياسية حقلاً مرتبًا أرشميديًا.

من الحقائق المعروفة أيضًا عن الأعداد القياسية:

  • أي عدد قياسي هو عدد جبري (أي حل لمعادلة جبرية معاملاتها أعداد صحيحة).
  • أي عدد قياسي له تمثيل عشري منتهي أو دوري.
  • وبالعكس أي عدد له تمثيل عشري منتهٍ أو دوري يكون بالضرورة عددًا قياسيًا.

الأعداد الحقيقية غير القياسية لا تمتلك صفة الدورية في التمثيل العشري ولا يمكن التعبير عنها بنسبة عددين صحيحين : وهذه تدعى بالأعداد غير المنطقة أو غير الكسرية irrational number.

العمليات الحسابية[عدل المصدر]

التساوي[عدل المصدر]

يكون عددان كسريان و متساويين فقط وفقط إذا كان .

الترتيب[عدل المصدر]

إذا كان كلا المقامين موجبا فإن

إذا وفقط إذا توفر

إذا كان كلا المقامين سالبا فإنه ينبغي مسبقا تحويل الكسرين إلى أشكال مكافئة بمقامات موجبة، من خلال المعادلتين:

و

الجمع[عدل المصدر]

يتم جمع عددين كسريين كما يلي:

الطرح[عدل المصدر]

يتم طرح الأعداد الكسرية كالآتي: a/b-c/d=(ad-bc)/bd

الضرب[عدل المصدر]

وتتم عملية الضرب كما يلي:

القسمة[عدل المصدر]

المقلوب[عدل المصدر]

إن مقلوب العدد الكسري يساوي:

ومقلوب العدد الكسري هو:

ناتج ضرب أي عدد كسري بمقلوبه يساوي الواحد

الأس[عدل المصدر]

كما يوجد أيضًا المقلوب الجمعي والجدائي في الأعداد الكسرية كما يلي:

الكسر المصري[عدل المصدر]

كل عدد جذري موجب يمكن أن يكتب على شكل مجموع مقلوب أعداد صحيحة طبيعية مختلفة.

مثال

انظر أيضا[عدل المصدر]