من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
هذه الصفحة تنطوي على عدد من نهايات بعض الدوال الرياضية الشائعة. مع الأخذ بالعلم أن (a) و(b) هي ثوابت عددية غير صفرية.
نهاية الدوال بوجه عام
إذا كان
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
L
1
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L_{1}}
و
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
L
2
{\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=L_{2}}
، فإن:
lim
x
→
c
[
f
(
x
)
±
g
(
x
)
]
=
L
1
±
L
2
{\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)\pm g(x)]=L_{1}\pm L_{2}}
lim
x
→
c
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
=
L
1
×
L
2
{\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\times L_{2}}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
L
1
L
2
if
L
2
≠
0
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\qquad {\text{ if }}L_{2}\neq 0}
lim
x
→
c
f
(
x
)
n
=
L
1
n
{\displaystyle \lim _{x\to c}\,f(x)^{n}=L_{1}^{n}}
إذا كان n عدد صحيح موجب.
lim
x
→
c
f
(
x
)
1
n
=
L
1
1
n
{\displaystyle \lim _{x\to c}\,f(x)^{1 \over n}=L_{1}^{1 \over n}}
إذا كان n عدد صحيح موجب، وإذا كان a عدد زوجي، فإن
L
1
>
0
{\displaystyle L_{1}>0}
.
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
c
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
if
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
0
or
lim
x
→
c
|
g
(
x
)
|
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\qquad {\text{ if }}\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\lim _{x\to c}|g(x)|=+\infty }
(قاعدة لوبيتال )
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
=
f
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}=f'(x)}
lim
h
→
0
(
f
(
x
+
h
)
f
(
x
)
)
1
h
=
exp
(
f
′
(
x
)
f
(
x
)
)
{\displaystyle \lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)^{\frac {1}{h}}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)}
lim
h
→
0
(
f
(
x
(
1
+
h
)
)
f
(
x
)
)
1
h
=
exp
(
x
f
′
(
x
)
f
(
x
)
)
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\left({f(x(1+h)) \over {f(x)}}\right)^{1 \over {h}}}=\exp \left({\frac {xf'(x)}{f(x)}}\right)}
نهاية بعض الدوال الخاصة
lim
x
→
+
∞
(
1
+
1
x
)
x
=
e
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}
lim
x
→
+
∞
(
1
−
1
x
)
x
=
1
e
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}}
lim
n
→
∞
n
n
!
n
=
e
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e}
lim
n
→
∞
2
n
2
−
2
+
2
−
⋯
2
⏟
n
−
1
=
π
{\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2-\cdots {\sqrt {2}}}}}}}} _{n-1}=\pi }
نهايات بعض الدوال الأولية
lim
x
→
c
a
=
a
{\displaystyle \lim _{x\to c}a=a}
lim
x
→
c
x
=
c
{\displaystyle \lim _{x\to c}x=c}
lim
x
→
c
a
x
+
b
=
a
c
+
b
{\displaystyle \lim _{x\to c}ax+b=ac+b}
lim
x
→
c
x
r
=
c
r
{\displaystyle \lim _{x\to c}x^{r}=c^{r}}
، إذا كان r عدد صحيح موجب.
lim
x
→
0
+
1
x
r
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x^{r}}}=+\infty }
lim
x
→
0
−
1
x
r
=
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{r}}}=}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
إذا كان r عدد فردي
+
∞
{\displaystyle +\infty }
إذا كان r عدد زوجي
دوال من الشكل ag(x)
lim
x
→
c
e
x
=
e
c
{\displaystyle \lim _{x\to c}e^{x}=e^{c}}
، بسبب إستمرارية
e
x
{\displaystyle e^{x}}
.
lim
x
→
∞
a
x
=
{
∞
,
a
>
1
1
,
a
=
1
0
,
0
<
a
<
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{x}={\begin{cases}\infty ,&a>1\\1,&a=1\\0,&0<a<1\end{cases}}}
lim
x
→
∞
a
−
x
=
{
0
,
a
>
1
1
,
a
=
1
∞
,
0
<
a
<
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{-x}={\begin{cases}0,&a>1\\1,&a=1\\\infty ,&0<a<1\end{cases}}}
[1]
lim
x
→
∞
a
x
=
lim
x
→
∞
a
1
/
x
=
{
1
,
a
>
0
0
,
a
=
0
does not exist
,
a
<
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{a}}=\lim _{x\to \infty }{a}^{1/x}={\begin{cases}1,&a>0\\0,&a=0\\{\text{does not exist}},&a<0\end{cases}}}
دوال من الشكل xg(x)
lim
x
→
∞
x
x
=
lim
x
→
∞
x
1
/
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{x}}=\lim _{x\to \infty }{x}^{1/x}=1}
دوال من الشكل f(x)g(x)
lim
x
→
+
∞
(
x
x
+
k
)
x
=
1
e
k
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left({\frac {x}{x+k}}\right)^{x}={\frac {1}{e^{k}}}}
[2]
lim
x
→
0
(
1
+
x
)
1
x
=
e
{\displaystyle \lim _{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}=e}
[2]
lim
x
→
+
∞
(
1
+
1
x
)
x
=
e
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}
[3]
lim
x
→
+
∞
(
1
−
1
x
)
x
=
1
e
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}}
lim
x
→
+
∞
(
1
+
k
x
)
m
x
=
e
m
k
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{mx}=e^{mk}}
[1]
lim
x
→
0
(
1
+
a
(
e
−
x
−
1
)
)
−
1
x
=
e
a
{\displaystyle \lim _{x\to 0}\left(1+a\left({e^{-x}-1}\right)\right)^{-{\frac {1}{x}}}=e^{a}\qquad }
.
lim
x
→
0
x
e
−
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0}xe^{-x}=0}
lim
x
→
∞
x
e
−
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }xe^{-x}=0}
lim
x
→
0
(
a
x
−
1
x
)
=
ln
a
,
∀
a
>
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {a^{x}-1}{x}}\right)=\ln {a},\qquad \forall ~a>0}
[4] [3]
اللوغاريتم الطبيعي
lim
x
→
c
ln
x
=
ln
c
{\displaystyle \lim _{x\to c}\ln {x}=\ln c}
, بسبب استمرارية
ln
x
{\displaystyle \ln {x}}
، على وجه الخصوص.
lim
x
→
0
+
log
x
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty }
lim
x
→
∞
log
x
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log x=\infty }
lim
x
→
1
ln
(
x
)
x
−
1
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {\ln(x)}{x-1}}=1}
lim
x
→
0
ln
(
x
+
1
)
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(x+1)}{x}}=1}
[3]
lim
x
→
0
−
ln
(
1
+
a
(
e
−
x
−
1
)
)
x
=
a
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {-\ln \left(1+a\left({e^{-x}-1}\right)\right)}{x}}=a}
. تتبع هذه النهاية قاعدة لوبيتال .
lim
x
→
0
+
x
ln
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\ln x=0}
lim
x
→
∞
ln
x
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\ln x}{x}}=0}
[1]
لوغاريتمات ذات أساسات إختيارية
lim
x
→
0
+
log
a
x
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty }
lim
x
→
∞
log
a
x
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty }
lim
x
→
0
+
log
a
x
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=\infty }
lim
x
→
∞
log
a
x
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=-\infty }
lim
x
→
a
sin
x
=
sin
a
{\displaystyle \lim _{x\to a}\sin x=\sin a}
lim
x
→
a
cos
x
=
cos
a
{\displaystyle \lim _{x\to a}\cos x=\cos a}
هذه النهايات تتبع كلا من استمرارية الجيب وجيب التمام.
lim
x
→
0
sin
x
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}
، أو بشكل عام:
lim
x
→
0
sin
a
x
a
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{ax}}=1}
، من أجل a ≠ 0.
lim
x
→
0
sin
a
x
x
=
a
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{x}}=a}
lim
x
→
0
sin
a
x
b
x
=
a
b
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{bx}}={\frac {a}{b}}}
، من أجل b ≠ 0.
lim
x
→
∞
x
sin
(
1
x
)
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)=1}
lim
x
→
0
1
−
cos
x
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0}
lim
x
→
0
1
−
cos
x
x
2
=
1
2
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}}
lim
x
→
n
±
tan
(
π
x
+
π
2
)
=
∓
∞
{\displaystyle \lim _{x\to n^{\pm }}\tan \left(\pi x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mp \infty }
من أجل كل عدد صحيح n.
بسبب دورية الدوال المثلثية، ليس لديها نهاية عند ±∞ .
النهايات عندما تؤول (x) إلى مالانهاية
lim
x
→
∞
N
/
x
=
0
for any real
N
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }N/x=0{\text{ for any real }}N}
lim
x
→
∞
x
/
N
=
{
∞
,
N
>
0
does not exist
,
N
=
0
−
∞
,
N
<
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x/N={\begin{cases}\infty ,&N>0\\{\text{does not exist}},&N=0\\-\infty ,&N<0\end{cases}}}
lim
x
→
∞
x
N
=
{
∞
,
N
>
0
1
,
N
=
0
0
,
N
<
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{N}={\begin{cases}\infty ,&N>0\\1,&N=0\\0,&N<0\end{cases}}}
lim
x
→
∞
N
x
=
{
∞
,
N
>
1
1
,
N
=
1
0
,
−
1
<
N
<
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }N^{x}={\begin{cases}\infty ,&N>1\\1,&N=1\\0,&-1<N<1\end{cases}}}
lim
x
→
∞
N
−
x
=
lim
x
→
∞
1
/
N
x
=
0
for any
N
>
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }N^{-x}=\lim _{x\to \infty }1/N^{x}=0{\text{ for any }}N>1}
lim
x
→
∞
N
x
=
{
1
,
N
>
0
0
,
N
=
0
does not exist
,
N
<
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{N}}={\begin{cases}1,&N>0\\0,&N=0\\{\text{does not exist}},&N<0\end{cases}}}
lim
x
→
∞
x
N
=
∞
for any
N
>
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{N}]{x}}=\infty {\text{ for any }}N>0}
lim
x
→
∞
log
x
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log x=\infty }
lim
x
→
0
+
log
x
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty }
انظر
قائمة التكاملات
مراجع