x |
|
1 |
0.841471
|
0.1 |
0.998334
|
0.01 |
0.999983
|
تقترب (sin x)/x من 1 كلما اقتربت x من الصفر. نقول «نهاية (sin x)/x تساوي 1، مع اقتراب x من الصفر.» وإن كانت الدالة (sin x)/x غير محددة في الصفر.
تعتبر نهاية أو غاية دالة[1] إحدى المفاهيم الأساسية في التحليل الرياضي، وبشكل عام يمكن القول أن:
- للدالة f نهاية L عند النقطة p. مما يعني أن القيم التي تأخذها الدالة f تقترب بشكل كبير من القيمة L عند النقاط القريبة من p أو عندما يقترب المتغير المستقل x بشكل كبير من p.
نقول أن للدالة "f" نهاية في "L" إذا وجدت قيمة صغيرة "ε>0 "ε حيث f-L|<ε|.
التاريخ[عدل]
انظر إلى برنارد بولزانو.
تعريفات[عدل]
يكون العدد الحقيقى b نهاية الدالة (f(x عندما تؤول x إلى a إذا وُجد لكل عدد 0 <ε, عدد ઠ (يعتمد عادة على ε) حيث ان
لكل x تنتمى G وتحقق العلاقة ઠ> |x-a|> 0 تستلزم أن العلاقة
|ε> |f(x) - b تكون متحققة.
وبتعبير آخر، إذا كانت b هي نهاية دالة ما عند النقطة a فإن هذا يستلزم أن تكون قيم الدالة قريبة جدا من العدد b عندما تكون قيم x قريبة قربا كافيا من a.
لتكن
, النقطة c هي نقطة تراكم (cluster point)لـ A إذا توفر ما يلي:
لكل
يوجد على الأقل نقطة واحدة
حيث.
.
لتكن
, و c نقطة تراكم لـ A , للدالة f:A→R , يقال عن العدد الحقيقي L أنه نهاية الدالة (f(x التي تؤول إلى c إذا أعطي أي ε>0 يوجد
بحيث إذا كانت
و
إذاً
.
العلاقة بالإستمرارية (الإتصال)[عدل]
كل دالة قابلة للاشتقاق هي دالة مستمرة، ولكن ليست كل دالة مستمرة هي دالة قابلة للاشتقاق، وهذه الخاصية غير مفيدة في حالة دالة فايرشتراس.
خصائص[عدل]
قاعدة التسلسل[عدل]
, و
غير صحيحة. ولكنها تصير صحيحة إذا توافر أحد الشرطين التاليين: أن يكون f(d) = e (أي أن الدالة f متصلة في d), أو أن الدالة g لا تأخذ القيمة d قرب c (أي أنه يوجد
حيث إذا توفر
فإن
).
قاعدة لوبيتال[عدل]
الجمع والتكامل[عدل]
[2][3]
نظرية
العدد
هو نقطة تراكم للمجموعة A الجزئية من R إذا وفقط إذا وجدت متتابعة
في A بحيث
و
.
مثال:
الفترة المفتوحة
كل نقطة في الفترة المغلقة [0,1] هي نقطة تراكم لـ
.
النقاط 0,1 هي نقاط تراكم لـ
لكنها لا تنتمي إلى
. كل النقاط في
هي نقاط تراكم ل
- المجموعة المنتهية ليس لديها نقاط تراكم
- المجموعة غير المنتهية N ليس لديها نقاط تراكم
نظرية
إذا كانت الدالة f:A→R و c نقطة تراكم لـ A إذاً f لها نهاية واحدة (وحيدة) إلى c
نظرية
لتكن f:A→R و c نقطة تراكم لـ A إذاً العبارات التالية متكافئة:
إذا أعطي
جوار لـL
يوجد
جوار لـ c
بحيث x≠c هي أي نقطة في
إذاً
أمثلة[عدل]
1)
الحل
أفترض f(x)=b, لكل
, نريد إثبات أن
، وإذا كان
, نفترض
.
(في الحقيقة في أي
موجبة ستكون كافية للغرض«أي أي عدد موجب سيكون مقبول»),
إذا
, ((الواحد تعويض عن
))
لدينا
وبما أن
أجراء تعسفي (إجباري), نستنتج من تعريف النهاية
أن
2)
الحل:
لتكن g(x)=x , لكل
, إذا كان
نختار
إذاًو إذا كانت
, يكون لدينا
, بما أن
, نستنتج أن
مما يعني أن
معيار المتتابعات للنهايات[عدل]
نظرية [معيار المتتابعة[عدل]
إذا كانت f:A→R ولنفرض أن c نقطة تراكم لـA إذا تحقق 1و2 فإنهما متكافئتان:
1/ صورة المتتابعة تحت تأثير الدالة A تؤدي إلى L
2/ لكل متتابعة
في A تتقارب إلى c بحيث
لكل
, المتتابعه
تتقارب إلى L
معيار التباعد[عدل]
لنفرض أن
ولنفرض أن f:A→R أن C نقطة تراكم
1/ إذا كانت
ليس لها نهاية عند c إذا وفقط إذا وجدت متتابعة
في A و
لكل
بحيث المتتابعة
تتقارب إلى c لكن المتتابعة
لا تتقارب إلى L
2/الدالة f ليس لها نهاية عند c إذا وفقط إذا وجدت متتابعة
في A و
لكل
بحيث المتتابعة
تتقارب إلى c لكن المتتابعة.
ليست تقاربية في R
أمثلة[عدل]
1/
غير موجودة
الحل
نفرض أن
إذا كانت x>0 سنعتبر c=0
إذا أخذنا المتتابعة لـ
حيث
,
هذا سيؤدي إلى أن
لكن
وكما نعلم أن المتتابعة
ليست تقاربية في R حيث أنها ليست محدودة بالتالي حسب نظرية معيار التباعد فإن
غير موجودة.
انظر أيضًا[عدل]
مراجع[عدل]
- ^ "الغايات المنتهية". engmsy.uobabylon.edu.iq. مؤرشف من الأصل في 2019-11-24. اطلع عليه بتاريخ 2020-07-30.
- ^ "INTRODUCTION TO REAL ANALYSIS", Robert G. Bartle Donald R. Sherbert, Fourth Edition, John Wiley & Sons,2011
- ^ نهايات الدوال