نهاية دالة

جزء من سلسلة مقالات حول
التفاضل والتكامل
* المبرهنة الأساسية نهايات الدوال استمرارية مبرهنة القيمة المتوسطة مبرهنة رول تفاضل وتكامل كسري
حساب التفاضل اشتقاق حساب المتغيرات تفاضل ضمني مبرهنة تايلور معدلات مرتبطة متطابِقات قواعد قاعدة القوة قاعدة الضرب قاعدة ناتج القسمة قاعدة التسلسل قاعدة لايبنتز للتكامل
حساب التكامل تكامل قائمة التكاملات تكاملات معتلة تكامل ريمان تكامل متعدد التكامل بواسطة التجزئة الأقراص الطبقات الأسطوانية التعويض التعويضات المثلثية الكسور الجزئية تغيير الرتب
حساب المتسلسلات متسلسلة هندسية (حسابية هندسية) متسلسلة متناسقة متسلسلة متناوبة متسلسلة قوى متسلسلة ذو الحدين متسلسلة تايلور اختبارات التقارب اختبار الحد النوني اختبار النسبة اختبار الجذر اختبار التكامل للتقارب اختبار المقارنة اختبار مقارنة النهاية اختبار متسلسلة متناوبة اختبار التكثف لكوشي اختبار دركليه اختبار أبيل
حساب المتجهات تدرج تباعد دوران (إلتواء) لابلاسي مبرهنة التدرج مبرهنة غرين مبرهنة ستوكس مبرهنة التباعد مبرهنة كلفن-ستوكس (مبرهنة الدوران)
حساب متعدد المتغيرات حسبان المصفوفات اشتقاق جزئي تكامل متعدد تكامل خطي تكامل سطحي تكامل حجمي جاكوبي
بوابة رياضيات

x	${\frac {\sin x}{x}}$
1	0.841471
0.1	0.998334
0.01	0.999983

تقترب ‎(sin x)/x من 1 كلما اقتربت x من الصفر. نقول «نهاية ‎(sin x)/x تساوي 1، مع اقتراب x من الصفر.» وإن كانت الدالة ‎(sin x)/x غير محددة في الصفر.

تعتبر نهاية أو غاية دالة إحدى المفاهيم الأساسية في التحليل الرياضي، وبشكل عام يمكن القول أن:

للدالة f نهاية L عند النقطة p. مما يعني أن القيم التي تأخذها الدالة f تقترب بشكل كبير من القيمة L عند النقاط القريبة من p أو عندما يقترب المتغير المستقل x بشكل كبير من p.

نقول أن للدالة "f" نهاية في "L" إذا وجدت قيمة صغيرة "ε>0 "ε حيث f-L|<ε|.

التاريخ

انظر إلى برنارد بولزانو.

تعريفات

يكون العدد الحقيقى b نهاية الدالة (f(x عندما تؤول x إلى a إذا وُجد لكل عدد 0 <ε, عدد ઠ (يعتمد عادة على ε) حيث ان لكل x تنتمى G وتحقق العلاقة ઠ> |x-a|> 0 تستلزم أن العلاقة |ε> |f(x) - b تكون متحققة.

وبتعبير آخر، إذا كانت b هي نهاية دالة ما عند النقطة a فإن هذا يستلزم أن تكون قيم الدالة قريبة جدا من العدد b عندما تكون قيم x قريبة قربا كافيا من a.

لتكن $A\subset \mathbb {R}$, النقطة c هي نقطة تراكم (cluster point)لـ A إذا توفر ما يلي:
لكل $\delta >0$ يوجد على الأقل نقطة واحدة $x\in \mathbb {A}$ حيث. $|x-y|<\delta$.

لتكن $A\subset \mathbb {R}$, و c نقطة تراكم لـ A , للدالة f:A→R , يقال عن العدد الحقيقي L أنه نهاية الدالة (f(x التي تؤول إلى c إذا أعطي أي ε>0 يوجد $\delta >0$ بحيث إذا كانت $x\in \mathbb {A}$ و $0<|x-c|<\delta$ إذاً $|f(z)-L|<\epsilon$.

العلاقة بالإستمرارية (الإتصال)

كل دالة قابلة للاشتقاق هي دالة مستمرة، ولكن ليست كل دالة مستمرة هي دالة قابلة للاشتقاق، وهذه الخاصية غير مفيدة في حالة دالة فايرشتراس.

خصائص

قاعدة التسلسل

$\lim _{y\to d}f(y)=e$, و$\lim _{x\to c}g(x)=d\Rightarrow \lim _{x\to c}f(g(x))=e$

غير صحيحة. ولكنها تصير صحيحة إذا توافر أحد الشرطين التاليين: أن يكون f(d) = e (أي أن الدالة f متصلة في d), أو أن الدالة g لا تأخذ القيمة d قرب c (أي أنه يوجد $\delta >0$ حيث إذا توفر $0<|x-c|<\delta$ فإن $|g(x)-d|>0$).

قاعدة لوبيتال

المقالة الرئيسة: قاعدة لوبيتال

الجمع والتكامل

نظرية

العدد $A\subset \mathbb {R}$ هو نقطة تراكم للمجموعة A الجزئية من R إذا وفقط إذا وجدت متتابعة $\left(a_{n}\right)$ في A بحيث $\lim _{n\to \infty }a_{n}=c$ و $\forall n\in \mathbb {N} \;:\;a_{n}\neq c$ .

مثال:

الفترة المفتوحة$A_{1}=\left(0,1\right)$ كل نقطة في الفترة المغلقة [0,1] هي نقطة تراكم لـ$A_{1}$. النقاط 0,1 هي نقاط تراكم لـ $\left(A_{1}\right)$ لكنها لا تنتمي إلى

$\left(A_{1}\right)$. كل النقاط في $\left(A_{1}\right)$ هي نقاط تراكم ل $\left(A_{1}\right)$

1. المجموعة المنتهية ليس لديها نقاط تراكم
2. المجموعة غير المنتهية N ليس لديها نقاط تراكم

نظرية

إذا كانت الدالة f:A→R و c نقطة تراكم لـ A إذاً f لها نهاية واحدة (وحيدة) إلى c

نظرية

لتكن f:A→R و c نقطة تراكم لـ A إذاً العبارات التالية متكافئة:

$\lim _{x\to \mathbf {c} }f(x)=L$ إذا أعطي $\epsilon$ جوار لـL

$\mathbf {V} _{\epsilon }\left(L\right)$ يوجد$\delta$ جوار لـ c 
$\mathbf {V} _{\delta }\left(C\right)$ بحيث x≠c هي أي نقطة في $\mathbf {V} _{\epsilon }\left(C\right)\cap \mathbf {A}$ إذاً$f(x)\in \mathbf {V} _{\epsilon }\left(L\right)$

أمثلة

1) $\lim _{x\to \mathbf {c} }b=b$

الحل

أفترض f(x)=b, لكل$x\in \mathbb {R}$, نريد إثبات أن $\lim _{x\to \mathbf {c} }f(x)=b$ ، وإذا كان $\epsilon >o$, نفترض $\delta =1$.

(في الحقيقة في أي $\delta$ موجبة ستكون كافية للغرض«أي أي عدد موجب سيكون مقبول»),

إذا $0<|x-c|<1$ , ((الواحد تعويض عن $\delta$)) لدينا $|f(x)-b|=|b-b|=0<\epsilon$ وبما أن $\epsilon >0$أجراء تعسفي (إجباري), نستنتج من تعريف النهاية أن $\lim _{x\to \mathbf {c} }f(x)=b$

2) $\lim _{x\to \mathbf {c} }x=b$

الحل:

لتكن g(x)=x , لكل $x\in \mathbb {R}$ , إذا كان$\epsilon >0$ نختار $\delta _{\left(\epsilon \right)}=\epsilon$ إذاًو إذا كانت

$0<|x-c|<\delta _{\left(\epsilon \right)}$, يكون لدينا $|g(x)-c|=|x-c|<\epsilon$, بما أن $\epsilon >0$, نستنتج أن $\lim _{x\to \mathbf {c} }g=c$

مما يعني أن $\lim _{x\to \mathbf {c} }x=c$

نظرية [معيار المتتابعة

إذا كانت f:A→R ولنفرض أن c نقطة تراكم لـA إذا تحقق 1و2 فإنهما متكافئتان:

1/ صورة المتتابعة تحت تأثير الدالة A تؤدي إلى L

$\left(\lim _{x\to \mathbf {c} }f=L\right)$

2/ لكل متتابعة $\left(x_{n}\right)$ في A تتقارب إلى c بحيث $x_{n}\neq c$ لكل $n\in \mathbb {N}$ , المتتابعه

$\left(x_{n}\right)$ تتقارب إلى L

معيار التباعد

لنفرض أن $A\subset \mathbb {R}$ ولنفرض أن f:A→R أن C نقطة تراكم

1/ إذا كانت $l\in \mathbb {R}$ ليس لها نهاية عند c إذا وفقط إذا وجدت متتابعة $x_{n}$ في A و$x_{n}\neq c$ لكل $n\in \mathbb {N}$ بحيث المتتابعة $x_{n}$ تتقارب إلى c لكن المتتابعة

$\left(f\left(x_{n}\right)\right)$ لا تتقارب إلى L

2/الدالة f ليس لها نهاية عند c إذا وفقط إذا وجدت متتابعة $x_{n}$ في A و

$x_{n}\neq c$ لكل $n\in \mathbb {N}$ بحيث المتتابعة $x_{n}$ تتقارب إلى c لكن المتتابعة.

$\left(f\left(x_{n}\right)\right)$ ليست تقاربية في R

أمثلة

1/ $\lim _{x\rightarrow 0}\left({\frac {1}{x}}\right)$ غير موجودة

الحل

نفرض أن $\varphi \left(x\right)={\frac {1}{x}}$ إذا كانت x>0 سنعتبر c=0 إذا أخذنا المتتابعة لـ$\left(x_{n}\right)$ حيث $n\in \mathbb {N}$ , $x_{n}={\frac {1}{x}}$ هذا سيؤدي إلى أن $\lim _{x\rightarrow 0}x_{n}=0$ لكن $\left(x_{n}\right)={\frac {1}{\frac {1}{n}}}=n$ وكما نعلم أن المتتابعة $\left(\varphi \left(x_{n}\right)\right)=n$ ليست تقاربية في R حيث أنها ليست محدودة بالتالي حسب نظرية معيار التباعد فإن $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1}{x}}$ غير موجودة.

انظر أيضًا

• نهاية متتالية،
• قاعدة لوبيتال.