نهاية دالة

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
مواضيع في الحسبان
المبرهنة الأساسية
نهايات الدوال
استمرارية
مبرهنة القيمة المتوسطة
x
1 0.841471
0.1 0.998334
0.01 0.999983

تقترب ‎(sin x)/x من 1 كلما اقتربت x من الصفر. نقول "نهاية ‎(sin x)/x تساوي 1، مع اقتراب x من الصفر." وإن كانت الدالة ‎(sin x)/x غير محددة في الصفر.

تعتبر نهاية دالة إحدى المفاهيم الأساسية في التحليل الرياضي، وبشكل عام يمكن القول أن :

للدالة f نهاية L عند النقطة p. مما يعني أن القيم التي تأخذها الدالة f تقترب بشكل كبير من القيمة L عند النقاط القريبة من p أو عندما يقترب المتغير المستقل x بشكل كبير من p.

نقول أن للدالة "f" نهاية في "L" إذا وجدت قيمة صغيرة "ε>0 "ε حيث f-L|<ε|.

التاريخ[عدل]

انظر إلى برنارد بولزانو.

تعريفات[عدل]

يكون العدد الحقيقى b نهاية الدالة (f(x عندما تؤول x إلى a إذا وُجد لكل عدد 0 <ε, عدد ઠ (يعتمد عادة على ε) حيث ان لكل x تنتمى G وتحقق العلاقة ઠ> |x-a|> 0 تستلزم أن العلاقة |ε> |f(x) - b تكون متحققة.

وبتعبير آخر، إذا كانت b هي نهاية دالة ما عند النقطة a فإن هذا يستلزم أن تكون قيم الدالة قريبة جدا من العدد b عندما تكون قيم x قريبة قربا كافيا من a.

لتكن , النقطة c هي نقطة تراكم (cluster point)لـ A إذا توفر ما يلي:
لكل يوجد على الأقل نقطة واحدة حيث. .

لتكن , و c نقطة تراكم لـ A ,للدالة f:A→R , يقال عن العدد الحقيقي L أنه نهاية الدالة (f(x التي تؤول إلى c إذا أعطي أي ε>0 يوجد بحيث إذا كانت و إذاً .

العلاقة بالاتصال[عدل]

خصائص[عدل]

قاعدة التسلسل[عدل]

, و

غير صحيحة. ولكنها تصير صحيحة إذا توافر أحد الشرطين التاليين : أن يكون f(d) = e (أي أن الدالة f متصلة في d), أو أن الدالة g لا تأخذ القيمة d قرب c (أي أنه يوجد حيث إذا توفر فإن ).

قاعدة لوبيتال[عدل]

الجمع والتكامل[عدل]

[1][2]

نظرية

العدد هو نقطة تراكم للمجموعة A الجزئية من R إذا وفقط إذا وجدت متتابعة في A بحيث و ,∀n∈N .

مثال:

الفترة المفتوحة كل نقطة في الفترة المغلقة [0,1] هي نقطة تراكم لـ. النقاط 0,1 هي نقاط تراكم لـ لكنها لا تنتمي إلى

. كل النقاط في  هي نقاط تراكم ل 
  1. المجموعة المنتهية ليس لديها نقاط تراكم
  2. المجموعة غير المنتهية N ليس لديها نقاط تراكم

نظرية

إذا كانت الدالة f:A→R و c نقطة تراكم لـ A إذاً f لها نهاية واحدة (وحيدة) إلى c

نظرية

لتكن f:A→R و c نقطة تراكم لـ A إذاً العبارات التالية متكافئة :

إذا أعطي جوار لـL

 يوجد  جوار لـ c 
  بحيث x≠c هي أي نقطة في  إذاً

أمثلة[عدل]

1)

الحل

أفترض f(x)=b,, لكل, نريد إثبات أن ،وإذا كان ,, نفترض .

(في الحقيقة في أي موجبة ستكون كافية للغرض" أي اي عدد موجب سيكون مقبول"),,

إذا , ((الواحد تعويض عن )) لدينا وبما أن أجراء تعسفي (إجباري) , نستنتج من تعريف النهاية أن

2)

الحل :

لتكن g(x)=x ,لكل , إذا كان نختار إذاًو إذا كانت

, يكون لدينا , بما أن , نستنتج أن 

مما يعني أن

معيار المتتابعات للنهايات[عدل]

نظرية [معيار المتتابعة[عدل]

إذا كانت f:A→R ولنفرض أن c نقطة تراكم لـA إذا تحقق 1و2 فإنهما متكافئتان:

1/ صورة المتتابعة تحت تأثير الدالة A تؤدي إلى L


2/ لكل متتابعة في A تتقارب إلى c بحيث لكل , المتتابعه

 تتقارب إلى L

معيار التباعد[عدل]

لنفرض أن ولنفرض أن f:A→R أن C نقطة تراكم

1/ إذا كانت ليس لها نهاية عند c إذا وفقط إذا وجدت متتابعة في A و لكل بحيث المتتابعة تتقارب إلى c لكن المتتابعة

 لا تتقارب إلى L

2/الدالة f ليس لها نهاية عند c إذا وفقط إذا وجدت متتابعة في A و

 لكل  بحيث المتتابعة  تتقارب إلى c لكن المتتابعة.

ليست تقاربية في R

أمثلة[عدل]

1/ غير موجودة

الحل

نفرض أن إذا كانت x>0 سنعتبر c=0 إذا أخذنا المتتابعة لـ حيث , هذا سيؤدي إلى أن لكن وكما نعلم أن المتتابعة ليست تقاربية في R حيث أنها ليست محدودة بالتالي حسب نظرية معيار التباعد فإن غير موجودة.

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

  1. ^ "INTRODUCTION TO REAL ANALYSIS", Robert G. Bartle Donald R. Sherbert, Fourth Edition, John Wiley & Sons,2011
  2. ^ نهايات الدوال

وصلات خارجية[عدل]