قائمة قوائم التكاملات

هذه قائمة بتكاملات لمختلف الدوال في الرياضيات.

• قائمة تكاملات الدوال النسبية
• قائمة تكاملات الدوال غير النسبية
• قائمة تكاملات الدوال المثلثية
• قائمة تكاملات الدوال المثلثية العكسية
• قائمة تكاملات الدوال الأسية
• قائمة تكاملات الدوال اللغارتمية
• قائمة تكاملات الدوال الزائدية
• قائمة تكاملات الدوال الزائدية العكسية

قواعد مكاملة الدوال العامة

$\int af(x)\,dx=a\int f(x)\,dx$

$\int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx$

$\int f(x)g(x)\,dx=f(x)\int g(x)\,dx-\int \left(d[f(x)]\int g(x)\,dx\right)\,dx$

$\int af(y)\,dy=a\int f(y)\,dy$

$\int [f(y)+g(y)]\,dy=\int f(y)\,dy+\int g(y)\,dy$

$\int f(y)g(y)\,dy=f(y)\int g(y)\,dy-\int \left(d[f(y)]\int g(y)\,dy\right)\,dy$

تكاملات الدوال البسيطة

قائمة تكاملات الدوال غير النسبية

المقالة الرئيسة: قائمة تكاملات الدوال غير النسبية

$\int {du \over {\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}=\arcsin {u \over a}+C$

$\int {-du \over {\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}=\arccos {u \over a}+C$

$\int {du \over u{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}{\mbox{arcsec}}\,{|u| \over a}+C$

اللوغاريتمات

المقالة الرئيسة: قائمة تكاملات الدوال اللوغارتمية

$\int \ln {x}\,dx=x\ln {x}-x+C$

$\int \log _{b}{x}\,dx=x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C$

الدوال الأسية

المقالة الرئيسة: قائمة تكاملات الدوال الأسية

$\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$

$\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C$

الدوال المثلثية

المقالة الرئيسة: قائمة تكاملات الدوال المثلثية

المقالة الرئيسة: قائمة تكاملات الدوال المثلثية العكسية

$\int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C$

$\int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C$

$\int \tan {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}\right|}+C$

$\int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C$

$\int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C$

$\int \csc {x}\,dx=-\ln {\left|\csc {x}+\cot {x}\right|}+C$

$\int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C$

$\int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C$

$\int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C$

$\int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C$

$\int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C$

$\int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C$

$\int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx$

$\int \cos ^{n}x\,dx=-{\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx$

$\int \arctan {x}\,dx=x\,\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\left|1+x^{2}\right|}+C$

دوال القطع الزائد

المقالة الرئيسة: قائمة تكاملات الدوال الزائدية

$\int \sinh x\,dx=\cosh x+C$

$\int \cosh x\,dx=\sinh x+C$

$\int \tanh x\,dx=\ln |\cosh x|+C$

$\int {\mbox{csch}}\,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C$

$\int {\mbox{sech}}\,x\,dx=\arctan(\sinh x)+C$

$\int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C$

تكاملات محددة

$\int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$ (أنظر أيضا دالة غاما)

$\int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$

$\int _{0}^{\infty }{{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ (أنظر أيضا عدد بيرنولي)

$\int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{4}}{15}}$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$

$\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx=\Gamma (z)$ (حيث $\Gamma (z)$ هي دالة غاما.)

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}$

انظر

• قائمة المتسلسلات الرياضياتية
• حلم الطالب الجامعي