مربع لاتيني

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في علم التوافقيات و تصميم التجارب, المربع اللاتيني (بالإنغوشية: latin square) هو مصفوفة n × n معمرة بعلامات (أرقام, أحرف,أشكال) حيث تنقسم تلك العلامات إلى أنواع عددها n. حيث تعمر كل خانة بعلامة وحيدة. و لا يتككر أي نوع من العلامات -في العمود الواحد أو في أي صف أفقي- أكثر من مرة.يمكن أن يوجد أكثر من حل للمربع اللاتيني بنفس الترتيب [1]. مثلا حيث n = 3 يوجد 12 حلا (و تشملها المصفوفات المتناظرة), منها

مربع لاتيني ذا 10 أعمدة.
Symbol plain red 2.svg Symbol plain light blue.svg Symbol plain green.svg
Symbol plain light blue.svg Symbol plain green.svg Symbol plain red 2.svg
Symbol plain green.svg Symbol plain red 2.svg Symbol plain light blue.svg
Symbol plain green.svg Symbol plain light blue.svg Symbol plain red 2.svg
Symbol plain light blue.svg Symbol plain red 2.svg Symbol plain green.svg
Symbol plain red 2.svg Symbol plain green.svg Symbol plain light blue.svg
Symbol plain red 2.svg Symbol plain green.svg Symbol plain light blue.svg
Symbol plain light blue.svg Symbol plain red 2.svg Symbol plain green.svg
Symbol plain green.svg Symbol plain light blue.svg Symbol plain red 2.svg

الحسابات قد الهمت ليونهارت أويلر (عالم رياضيات) المصطلح "مربع لاتيني" لأنه كان يستخدم الحروف اللاتينية (A,B,C,D...) كعلامات[2].

عدد المربعات اللاتنية المختلفة ذا الترتيب n حيث ...n = 1,2,3,4 هي 1, 2, 12, 576, 161280, 812851200...(OEIS-A002860). و قد يصل عددها إلى قيم كبيرة مثل \approx 7.48671\times10^{74} بالنسبة للترتيب 13.[3]

حالات خاصة[عدل]

مربع لاتيني مخفض[عدل]

يسمى المربع مربعا لاتينيا متنخفضا (و يقال أيlضkا طبيعيا) إذا كانت رموز أول عمود له و أول صف له مرتبة بترتيبها الطبيعي (في هذه الحالة تكون الرموز سلسلة من الأعداد أو الحروف الألفبائية المرتبة), مثل َA,B,C أو 1,2,3.

مثال:

{\color{Blue}\mathbf{C}} {\color{Blue}\mathbf{B}} {\color{Purple}\mathbf{A}}
\mathbf{A} \mathbf{C} {\color{Red}\mathbf{B}}
\mathbf{B} \mathbf{A} {\color{Red}\mathbf{C}}

توجد فقط حالة واحدة يكون فيها المربع اللاتيني منخفضا بالنسبة إلى المصفوفات 1×1 و 2×2 و 3×3.

فقط \frac{100%}{ n!(n-1)!} من المربعات اللاتنية ذات الترتيب n هي مربعات لاتينية منخفضة.

n عدد المربعات اللاتيني المنخفضة ذا القياس n عدد جميع المربعات اللاتنية المختلفة ذا القياس n
1 1 1
2 1 2
3 1 12
4 4 576
5 56 161280
6 9408 812851200
7 16942080 61479419904000
8 535281401856 108776032459082956800
9 377597570964258816 5524751496156892842531225600
10 7580721483160132811489280 9982437658213039871725064756920320000
11 5363937773277371298119673540771840 776966836171770144107444346734230682311065600000

أنظر أيضا[عدل]

المراجع[عدل]

  1. ^ [1]
  2. ^ Wallis, W. D.; George, J. C. (2011), Introduction to Combinatorics, CRC Press, p. 212, ISBN 978-1-4398-0623-4.
  3. ^ http://www.wolframalpha.com/input/?i=latin+squares&a=*C.latin+squares-_*MathWorld-