المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر، أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها.

معادلة ديفونتية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
Question book-new.svg
المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر. يرجى إيراد مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (ديسمبر 2018)
ايجاد جميع المثلثات القائمة ذات أضلاع طولها مساو لأعداد صحيحة طبيعية يكافئ حلحلة المعادلة الديوفانتية .

في الرياضيات، المعادلة الديفونتية (بالإنجليزية: Diophantine equation) هي معادلة كثيرة الحدود في متغيرين أو أكثر بشرط أن لا تتم دراسة سوى الحلول الصحيحة. المعادلة الديفونتية الخطية هي معادلة في مجموع من وحيدات حد من الدرجة الأولى أو الصفرية. يعود أصل الكلمة ديفونتية إلى العالم اليوناني ديوفانتوس والذي عاش في القرن الثالث قبل الميلاد في الإسكندرية، حيث قام بدراسة هذه المعادلات و كان من أول العلماء الذين قاموا بإضافة الرموز الرياضية إلى الجبر[بحاجة لمصدر]. على الرغم من أن المعادلات الديفونتية المفردة تم دراستها على مر التاريخ، فإنه لم يتمكن من صياغة نظريات شاملة حول المعادلات الديفونتية إلا في القرن العشرين.

أمثلة للمعادلات الديوفانتية[عدل]

في المعادلات الديوفانتية التالية x و y و z مجاهيل والحروف الأخرى تمثل ثوابت:

هذه معادلة ديوفانتية خطية (انظر فقرة "المعادلات الديوفانتية الخطية" أسفله).
بالنسبة إلى n = 2 هناك عدد غير منته من الحلول حيث (x,y,z) هي ثلاثية فيثاغورس. عندما يكون n أكبر قطعا من 2, مبرهنة فيرما الأخيرة تنص على أنه لا توجد أية حلول موجبة طبيعية (x, y, z) تحقق المعادلة.
(معادلة بيل) سميت هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الإنجليزي جون بيل. درست من طرف براهماغوبتا في القرن السابع كما درست من طرف فيرما في القرن السابع عشر.
حدسية إيردوس–ستروس تنص على أنه بالنسبة لكل عدد طبيعي n، أكبر من أو يساوي 2، يوجد حل لهذه المعادلة حيث x و y و z هي أعداد موجبة طبيعية. رغم أن هذه المعادلة عادة ما لا تطرح على شكل متعددة للحدود، فإنها تكافئ المعادلة الحدودية التالية (4xyz = yzn + xzn + xyn = n(yz + xz + xy.

المعادلات الديوفانتية الخطية[عدل]

معادلة واحدة[عدل]

تكتب أبسط معادلة ديفونتية خطية على الصيغة ax + by = c ، حيث a و b و c أعداد صحيحة معطاة. تعطى جميع حلول المعادلة في المبرهنة التالية: يوجد للمعادلة الديفونتية حلول (حيث x و y أعداد صحيحة) إذا وفقط إذا كان c مضاعفاً للقاسم المشترك الأكبر لـa و b. بالإضافة إلى أنه إذا كان (x,y) حل، فإن الحلول الأخرى تكتب على الصيغة (x + kv, y - ku) ، حيث k عدد صحيح، و u و v بواقي قسمة a و b على القاسم المشترك الأكبر لـa و b.

مبرهنة الباقي الصيني[عدل]

تصف مبرهنة الباقي الصيني صنفاً مهماً من المعادلات الديفونتية الخطية: ليكن n1, ..., nk k عدد صحيح أولية نسبياً أكبر من 1، a1, ..., ak k عدد صحيح، و N حاصل ضرب n1 ··· nk. تنص مبرهنة الباقي الصيني أن نظام المعادلات الديفونتية الخطي التالي له حل واحد بالضبط (x, x1, ..., xk) بحيث 0 ≤ N ≥ x ، و أن الحلول الأخرى توجد بإضافة x مضاعف لـN:

التحليل الديوفانتي[عدل]

القرنين السابع عشر والثامن عشر[عدل]

في عام 1637، أشار بيير دي فيرما في هامش صفحة من كتاب أريثميتيكا إلى أنه لا يمكن فصل مكعب إلى مكعبين ولا قوة رابعة إلى قوتين رابعتين ولا قوة خامسة إلى قوتين خامستين، وهكذا. بتعبير عصري المعادلة an + bn = cn لا حلول صحيحة لها عندما يكون n أكبر قطعا من الاثنين. أضاف بعد ذلك: لقد اكتشفت برهانا عجيبا لهذه القول، ولكن الهامش الذي لدي في هذه الصفحة ضيق ولا يكفي لاحتوائه.

مسألة هيلبرت العاشرة[عدل]

في عام 1900، طرح ديفيد هيلبرت إمكانية حلحلة جميع المعادلات الديوفانتية في إطار معضلتة العاشرة من بين مسائل هيلبرت. في عام 1970، حلحل يوري ماتياسفيتش هذه المعضلة. وذلك ببرهانه عدم إمكانية وجود خوارزمية عامة تحلحل جميع المعادلات الديوفانتية.

الأبحاث المعاصرة[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]