المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر، أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها.

معادلة ديفونتية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
Question book-new.svg
المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر. يرجى إيراد مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (ديسمبر 2018)
ايجاد جميع المثلثات القائمة ذات أضلاع أطوالها مساوية لأعداد صحيحة طبيعية يكافئ حلحلة المعادلة الديوفانتية .

في الرياضيات، المعادلة الديوفانتية (بالإنجليزية: Diophantine equation) هي معادلة حدودية في متغيرات متعددة. المعادلة الديوفانتية الخطية هي معادلة في مجموع من وحيدات حد من الدرجة الأولى أو الصفرية. يرجع أصل الكلمة ديوفانتية إلى العالم اليوناني ديوفانتوس والذي عاش في القرن الثالث قبل الميلاد في الإسكندرية، حيث قام بدراسة هذه المعادلات و كان من العلماء الأوائل الذين أضافوا الرموز الرياضية إلى الجبر[بحاجة لمصدر]. رغم أن المعادلات الديوفانتية المفردة درست على مر التاريخ، لم تصغ نظريات شاملة حولها حتى القرن العشرين.

أمثلة للمعادلات الديوفانتية[عدل]

في المعادلات الديوفانتية التالية x و y و z مجاهيل والحروف الأخرى تمثل ثوابت:

هذه معادلة ديوفانتية خطية (انظر فقرة "المعادلات الديوفانتية الخطية" أسفله).
من أجل n = 2 هناك عدد غير منته من الحلول حيث (x،y،z) هي مثلوثات فيثاغورية. بالنسبة إلى قيم n الأكبر قطعا من 2، تنص مبرهنة فيرما الأخيرة على أنه لا توجد أية مثلوثات من أعداد موجبة طبيعية (x،y،z) تحقق المعادلة.
(معادلة بيل) سميت هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الإنجليزي جون بيل. درست من طرف براهماغوبتا في القرن السابع كما درست من طرف فيرما في القرن السابع عشر.
حدسية إيردوس–ستروس تنص على أنه لكل عدد طبيعي n، أكبر من أو يساوي 2، يوجد حل لهذه المعادلة حيث x و y و z أعداد موجبة طبيعية. رغم أن هذه المعادلة عادة ما لا تطرح على شكل متعددة للحدود، فإنها تكافئ المعادلة الحدودية (4xyz = yzn + xzn + xyn = n(yz + xz + xy.

المعادلات الديوفانتية الخطية[عدل]

معادلة واحدة[عدل]

تكتب أبسط معادلة ديوفانتية خطية على الصيغة ax + by = c ، حيث a و b و c أعداد صحيحة معطاة. تعطى جميع حلول المعادلة في المبرهنة التالية: يوجد للمعادلة الديوفانتية حلول (حيث x و y أعداد صحيحة) إذا وفقط إذا كان c مضاعفاً للقاسم المشترك الأكبر لـa و b. بالإضافة إلى أنه إذا كان (x,y) حل، فإن الحلول الأخرى تكتب على الصيغة (x + kv, y - ku) ، حيث k عدد صحيح، و u و v بواقي قسمة a و b على القاسم المشترك الأكبر لـa و b.

مبرهنة الباقي الصيني[عدل]

تصف مبرهنة الباقي الصيني صنفاً مهماً من المعادلات الديوفانتية الخطية: لتكن n1, ..., nk k أعداداً صحيحة أولية نسبياً أكبر من 1، a1, ..., ak k عدد صحيح، و N حاصل ضرب n1 ··· nk. تنص مبرهنة الباقي الصيني على أن نظام المعادلات الديوفانتية الخطي التالي له حل واحد بالضبط (x, x1, ..., xk) بحيث 0 ≤ N ≥ x ، و أن الحلول الأخرى توجد بإضافة x مضاعف لـN:

التحليل الديوفانتي[عدل]

القرنان السابع عشر والثامن عشر[عدل]

في عام 1637، كتب بيير دي فيرما في هامش صفحة من كتاب أريثميتيكا الملاحظة: لا يمكن فصل مكعب إلى مكعبين ولا قوة رابعة إلى قوتين رابعتين ولا قوة خامسة إلى قوتين خامستين، وهكذا. بتعبير عصري المعادلة an + bn = cn لا تقبل حلولا صحيحة إذا ما جاوز n الاثنين قطعا. أضاف بعد ذلك: لقد اكتشفت برهانا عجيبا لهذه الحقيقة، ولكن الهامش أضيق من أن يحتويه.

مسألة هيلبرت العاشرة[عدل]

في عام 1900، اقترح هلبرت قابلية حل جميع المعادلات الديوفانتية كعاشر مسألة من مسائله الاساسية. في عام 1970، حل يوري ماتياسفيتش هذه المعضلة، وذلك ببرهانه عدم إمكانية وجود خوارزمية عامة لحل جميع المعادلات الديوفانتية.

الأبحاث المعاصرة[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]