المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر، أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها.

نظرية الإجهادات متناهية الصغر

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
Question book-new.svg
المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر. يرجى إيراد مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (مارس 2016)
ميكانيكا الأوساط المتصلة
BernoullisLawDerivationDiagram.svg


في ميكانيكا المتصل, نظرية الإجهادات متناهية الصغر, يطلق عليها أيضا نظرية التشوه الصغير, نظرية الإزاحة الصغرى, أو نظرية تدرج الإزاحة الصغرى, تتعامل مع التشوهات لجسم متصل. بالنسبة للتشوه المتناهي في الصغر، تكون الإزاحات ووتدرجات الإزاحة صغيرة جدا مقارنة بالوحدة, أي, و, سامحة لـ الخطية الهندسية لموتّر لاغرانج محدود الاجهاد , وموتّر أويلر محدود الاجهاد , بعبارة أخرى الحدود الغير خطية أو حدود الرتبة الثانية لموتّر الاجهادالمحدود يمكن إهمالها. تكون موتّرات لاغرانج وأويلر محدودة الانفعال نفسها تقريبا ويمكن تقريبها بـموتّر اجهاد متناهي الصغر أو موتّر اجهاد كوشي, . على ذلك,

أو

تستخدم نظرية الاجهادات متناهية الصغر في تحليل تشوهات المواد التي تظهر سلوكا مرنا، مثل المواد الموجودة في تطبيقات الهندسة الميكانيكية والمدنية.

موتّر اجهاد متناهي الصغر[عدل]

من أجل تشوهات متناهية الصغر لجسم المتصل, والتي تكون فيها الازاحة وتدرج الإزاحة صغيرة مقارنة بالوحدة، أي, و, يكون من الممكن الخطية الهندسية لموتّر لاغرانج محدود الاجهاد , وموتّر أويلر محدود الاجهاد , مع إهمال الحدود الغير خطية، يكون لدينا

أو

و

أو

تقتضي هذه الخطية بأن الوصف اللاغرانجي والوصف الأويلري تكون نفسها تقريبا طالما هناك فرق بسيط في المادة والإحداثيات المكانية لنقطة مادة معطاة في المتصل. لهذا، تكون مركبات التدرج الإزاحي المادي والمكاني متساوية تقريبا وعليه

حيث مركبات الاجهاد متناهي الصغر , تدعى أيضا موتّر إجهاد كوشي, موتّر اجهاد خطي, أو موتّر إجهاد صغير.

أو باستعمال علامات أخرى:

أبعد من ذلك,

بأخذ تعبيري لاغرانج وأويلر محدودي الاجهاد بعين الاعتبار يصبح لدينا

الاشتقاق الهندسي لموتر الاجهاد المتناهي الصغر[عدل]

شكل1. تشوه هندسي ثنائي البعد لعنصر مادي متناهي الصغر.

باعتبار تشوه ثنائي البعد لعنصر مادي مستطيل متناهي الصغر بالأبعاد × (شكل 1), والتي تأخذ شكل المعين بعد التشوه يكون

في كل تدرج إزاحة صغير, , لدينا

يكون التشوه باتجاه العنصر المستطيل -معرفا بـ

وإذا علم أن , يصبح

بالمثل, الاجهاد العمودي باتجاه , وباتجاه يصبح

يعرف الاجهاد القصي الهندسي, التغير في الزاوية بين الخوط المتعامدة للمادة, في هذه الحالة الخط و, تعرف بالعلاقة

من الشكل الهندسي 1 لدينا

للدورانات الصغيرة, أي و و لدينا

مرة أخرى، لتدرجات الإزاحة الصغيرة يكون لدينا

على ذلك

بالتبديل بين و و و, يمكن اثبات أن

بالمثل, للمستويات - and - ، لدينا

خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle \gamma_{yz}=\gamma_{zy} = \frac{\partial u_y}{\partial z} + \frac{\partial u_z}{\partial y} \quad، \qquad \gamma_{zx}=\gamma_{xz}= \frac{\partial u_z}{\partial x} + \frac{\partial u_x}{\partial z}\,\!}

يمكن ملاحظة أن مركبات اجهاد القص الموترية لموتر الاجهاد متناهي الصغر يمكن التعبير عنها باستخدام التعريف الهندسي للاجهاد, , بالعلاقة

التفسير الفيزيائي[عدل]

من نظرية الاجهاد المحدود لدينا

وعليه لدينا من الاجهاد متناهي الصغر

بالقسمة على يصبح

للتشوهات الصغيرة نفرض أن , يصبح الحد على الطرف الأيسر : .

وعليه

حيث, متجه الوحدة باتجاه , والجانب الأيسر من التعبير الاجهاد المتعامد باتجاه . في الحالة الخاصة من في اتجاه أي , لدينا

بالمثل, و يمكن إيجاد و للإجهاد العمودي على التوالي. لذلك, تكون العناصر القطرية لموتر الاجهاد العمودي هي الاجهادات العمودية باتجاه الاحداثيات.

التوتر الحجمي[عدل]

إن التعرض (التغير النسبي في الحجم) هو أثر الموتر:

في الواقع, إذا أخذنا مكعبا بعين الاعتبار بطول حافة a, فإنه شبه مكعب بعد التشوه (لا تتغير الزوايا في الحجم) مع الابعاد وV0 = a3, وعليه

عندما نأخذ التشوهات الصغيرة بعين الاعتبار,

هي لذلك الصيغة.

Approximation volume deformation.png
التغيرات الحقيقية في الحجم (أعلى) والتقريب (الأسفل): يوضح الرسم الأخضر الحجم المقدر بينما الرسم البرتقالي يوضح الحجم المهمل

في حالة القص النقي, يمكن ملاحظة أنه لايوجد تغير في الحجم.

موتر محرف الاجهاد[عدل]

موتر الاجهاد متناهي الصغر , يمكن التعبير عنه مثل التعبير عنيموتر الاجهاد كمجموع من موترين اخرين:

  1. موتر الاجهاد المتوسط أوموتر الاجهاد الحجمي أو موتر الاجهاد الكروي, , نسبة للتعرض أو التغير الحجمي; و
  2. مركبة انحرافية موتر محرف الاجهاد, , نسبة للتشويه.

حيث متوسط الاجهاد المعطى بالعلاقة

يمكن الحصول على موتر محرف الاجهاد بطرح موتر متوسط الاجهاد من موتر الاجهاد متناهي الصغر:

معادلات التوافق[عدل]

بالنسبة لمركبات الاجهاد الموصوفة سابقا تمثل معادلة موتر الاجهاد نظاما من ست معادلات تفاضلية لإيجاد مركبات الازاحة الثلاث , بإعطاء نظاما مكتمل التحقيق. لذت, لايوجد حل بشكل عام لمركبات اختيارية من الاجهاد. لهذا السبب, يتم افتراض بعض القيود والتي تدعى معادلات التوافق. بإضافة معادلات التوافق الثلاث، يتم إنقاص المعادلات المستقلة إلى ثلاثة, والتي تتلائم مع مركبات الازاحة المجهولة. اكتشفت هذه القيود من قبل ساينت- فينات، كما يطلق عليها "معادلات توافق ساينت-فينات".

تفيد دالة التوافق في التأكد من دالة ازاحة متصلة وحيدة القيمة . إذا كان الوسط المرن مرئيا على هيئة مكعبات متناهية الصغر في الحالة اللااجهادية, بعد اجهاد الوسط, قد لاينتج عن موتر اجهاد اختياري حالة تظل فيها المكعبات متسقة فيما بينها بدون تداخل.

بعلامة المعامل, يعبر عن معادلات التوافق

توترالمستوى[عدل]

في مركبات الهندسة التطبيقية, الاجهاد والتوتر هي موترات ثلاثية الأبعاد ولكن ذات بنية منشورية مثل قضيب معدني طويل, يكون الطول أكبر بكثير من البعدين الاخرين. يكون التوتر المصاحب للطول, أي التوتر العمودي وتوترات القص و (إذا كان الطول هو البعد الثالث) يتم مقارنتها بمادة أخرى قريبة وتكون أصغر بالمقارنة بالتوترات المقطعية العرضية. يمكن مقاربة موتر الاجهاد حينئذ بالعلاقة:

حيث تشير المعاملات ذات الخطوط المضاعفة إلى موتر من الرتبة الثانية. تدعى حالة التوتر توتر المستوى. يكون موتر الاجهاد المقابل هو:

حيث أن الغير صفرية مطلوبة لإبقاء الثابت . يمكن إزالة هذا الحد مؤقتا من التحليل والإبقاء على حدود المستوى, إنقاص المسألة الثلاثية البعد بكفاءة إلى مسألة ثنائية البعد.

اجهاد ضد المستوى[عدل]

الاجهاد ضد أو عكس المستوى هو حالة مكانية أخرى من الاجهاد التي يمكن أن تحدث في جسم، مثلا في منطقة قريبة من الخلع. يعطى موتر الاجهاد لضد المستوى بالعلاقة

إنظر أيضا[عدل]