أثر (جبر خطي)

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الجبر الخطي، أثر مصفوفة مربعة A (بالإنكليزية: Trace of matrix) هو مجموع مداخل المصفوفة الواقعة على القطر الرئيسي (القطر الممتد من العنصر الأعلى يسارا إلى العنصر الأسفل يمينا).

\mathrm{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + \dots +  a_{nn}=\sum_{i=1}^{n} a_{i i} \,

حيث aii تمثل المدخل على الصف i والعمود i للمصفوفة A. أثر المصفوفة هو مجموع قيمها الذاتية، حقيقية كانت أم عقدية. أثر مصفوفة لا يتغير بتغيير القاعدة، صانعًا منها لامتباينا.

مثال[عدل]

ليكن T عاملا خطيا ممثلا بالمصفوفة التالية:

\begin{bmatrix}-2&2&-3\\
-1& 1& 3\\
2 &0 &-1\end{bmatrix}.

فإن tr(T) = −2 + 1 − 1 = −2.

يكون أثر مصفوفة الوحدة هو بعد الفضاء; وهذا يقود إلى تعميم البعد باستعمال الأثر. يكون أثر المسار (أي P2 = P) هو ترتيب المسار. يكون أثر مصفوفة نيلبوتنت صفرا.

بشكل عام، إذا كانت f(x) = (xλ1)d1···(xλk)dkهي مميز كثيرة الحدود للمصفوفة A, فإن

\mathrm{tr}(A) = d_1 \lambda_1 + \cdots + d_k \lambda_k.\!

خصائص[عدل]

خصائص أساسية[عدل]

\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B),
\operatorname{tr}(cA) = c \operatorname{tr}(A).

انظر إلى منقولة مصفوفة.

 \operatorname{tr}(A) = \operatorname{tr}(A^{\mathrm T}).

أثر جداء مصفوفتين[عدل]

\operatorname{tr}(X^{\mathrm T}Y) = \operatorname{tr}(XY^{\mathrm T}) = \operatorname{tr}(Y^{\mathrm T}X) = \operatorname{tr}(YX^{\mathrm T}) = \sum_{i,j}X_{ij}Y_{ij}.

خصائص أخرى[عدل]

تطبيقات[عدل]

جبر لي[عدل]

انظر إلى جبر لي.

الجداء الداخلي[عدل]

تعميمات[عدل]

انظر أيضا[عدل]

وصلات خارجية[عدل]

Nuvola apps edu mathematics-ar.svg
هذه بذرة مقالة عن الرياضيات بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.