مصفوفة مرافقة

المصفوفة المرافقة (بالإنجليزية: Comatrix) في الجبر الخطي لمصفوفة مربعة $A$ هي المصفوفة المربعة $com(A)$ من نفس الحيز، كل عنصر$com(A)_{i,j}$، ويسمى بالعامل المرافق، فيها يكتب بدلالة محدد المصفوفة الناتجة عن إلغاء السطر $i$ والعمود $j$ في $A$. إذا كانت $A$ قابلة للعكس ، فإن مصفوفتها المرافقة تمكن من حساب المصفوفة العكسية ل $A$.

في ما يلي، نعتبر $A$ مصفوفة مربعة حيزها $n$، بعناصر في حلقة تبادلية $K$.

تعريف

باعتبار مصفوفة مربعة $A$، حيزها $n$ ، العامل المرافق Cofactor ذو الإحداثيات $(i,j)$، الذي هو العنصر $(i,j)$ للمصفوفة المرافقة $com(A)$، يساوي:

$\left(\operatorname {com} A\right)_{i,j}:=\det \left(A'_{i,j}\right)=(-1)^{i+j}\det \left(A_{i,j}\right)$ بحيث:

• $A'_{i,j}$ هي المصفوفة المربعة التي حيزها $n$ والمشكلة انطلاقا من $A$، عبر تعويض عناصر العمود $j$ بأصفار باستثناء العنصر $(i,j)$ الذي يعوض ب $1$.
• $A_{i,j}$ هي المصفوفة المربعة التي حيزها $n-1$ والمشكلة انطلاقا من $A$، عبر حذف العمود $j$ والسطر $i$. محدد $A_{i,j}$ يشكل بالتالي عنصرا من مجموعة مختصرات $A$.

صيغ لابلاص

يمكن حساب محدد مصفوفة مربعة $A$ فقط انطلاقا من عناصر عمود (أو سطر) واحد ومن معاملاتها المرافقة. هذه الطريقة، المعروفة بصيغة لابلاص (نسبة إلى الرياضياتي الفرنسي بيير لابلاص) تمكن من تحويل مسألة حساب محدد من الرتبة $n$ إلى $n$ عملية حسابية لمحددات من الرتبة $n-1$، وهو ما يشكل تبسيطا أو تخفيفا للعملية، على مستوى القدرة الحسابية.

صيغ لابلاص لحساب المحددات باستعمال المصفوفات المرافقة

البعد	الصيغة
العمود $j$	$\det A=\sum _{i=1}^{n}a_{i;j}(\operatorname {com} A)_{i,j}$
السطر $i$	$\det A=\sum _{j=1}^{n}a_{i;j}(\operatorname {com} A)_{i,j}$

خاصيات

• المصفوفة المرافقة لمنقولة $A$ هي منقولة مرافقتها: $com({}^{t}A)={}^{t}com(A)$.
• عملية المرافقة ثابتة حسب عملية الجداء: بالنسبة لمصفوفتين مربعتين $A$ و$B$: $com(AB)=com(A)\times com(B)$.
• إذا كان $K$ حقلا تبادليا:
  • إذا كانت $A$ قابلة للعكس، أي برتبة $n$، فإن $com(A)$ أيضا قابلة للعكس.
  • إذا كانت رتبة $A$ تساوي $n-1$ (مع $n\geq 2$): $rank(com(A))=1$.
  • إذا كانت$rank(A)\leq n-2$ (مع $n\geq 3$): $com(A)=0$.

أمثلة

مصفوفة حيزها $2\times 2$

$\operatorname {com} {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}}$

مصفوفة حيزها $3\times 3$

$\operatorname {com} {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&&a_{33}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}$

للتذكير، فالمحدد يساوي: ${\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc$.