متتالية كوشي

(a) بيان لمتتالية لكوشي $(x_{n}),$ باللون الأزرق. يحتوي محور الأفاصيل على قيم $n$ بينما يحتوي محور الأراتيب على قيم $x_{n}$ . If the space containing the sequence is complete, the "ultimate destination" of this sequence (that is, the limit) exists.

(b) A sequence that is not Cauchy. The عنصر (رياضيات) of the sequence fail to get arbitrarily close to each other as the sequence progresses.

متتالية كوشي من المواضيع المهمة في مجال التحليل وتستخدم لتمام الفضاءات. سميت هكذا نسبة للرياضي الفرنسي أوغستين لوي كوشي.

يعرف كوشي تلك المتتاليات كالآتي: أنه إذا اُختير أي عدد حقيقي ε أكبر تماما من الصفر (ε > 0) واشتُرط كقيمة مطلقة قصوى للفرق بين $X_{p}$ و$X_{q}$ حيث $X_{i}$ هي مكونات المتتالية فانه يمكن إيجاد رتبة n تحقق هذا الشرط لمجرد تجاوز كل من العددين الصحيحين الطبيعيين q و p لهذه الرتبة. أي بمعنى آخر أن مكونات المتتالية تقترب من بعضها. أي أنه لو رسمنا مثلا مكونات المتتالية على مستقيم فإن هذه النقاط تقترب من بعضها كلما زدنا n. ويسمى كل فضاء فضاء كاملا إذا كانت كل متتالية من متتاليات كوشي من هذا الفضاء تنتهي إلى عنصر من عناصر هذا الفضاء.

الصيغة الرياضية

نقول عن المتتالية العددية $\{u_{n}\}$ انها متتالية كوشي إذا وفقط إذا تحقق :

$\forall \epsilon >0\ \exists \ N_{\epsilon }\in N^{*}:m>n>N_{\epsilon }\Rightarrow \mid x_{m}-x_{n}\mid <\epsilon$

بتعبير آخر، كلما صغر العدد ${\epsilon }$، وُجد عدد طبيعي N، حيث كلما كان m و n أكبر من N، توفر ما يلي $\mid x_{m}-x_{n}\mid <\epsilon$

انظر أيضا

• أنماط التقارب
• حد ديديكايند