معادلة جرايمان

في نظرية التحكم، معادلة جرايمان Cross Gramian هي مصفوفة جرايمانية تستخدم لتحديد قابلية التحكم وقابلية الملاحظة لأي نظام خطي.

لكل نظام مستقل زمنيًا (منظومة رصينة) يكون:

${\dot {x}}=Ax+Bu\,$

$y=Cx\,$

وبالتالي يكون شكل المعادلة:

$W_{X}:=\int _{0}^{\infty }e^{At}BCe^{At}dt\,$

وباستخدام معادلة سيلفستر:

$AW_{X}+W_{X}A=-BC\,$

يكون كل من $(A,B,C)$ قابلين للتحكم وللملاحظة. إذا كان المصفوفة $W_{X}$ مصفوفة قابلة للعكس.
إذا كان المنظومة $(A,B,C)$ متماثلة، فإنه يمكن صياغتها بالشكل التالي:

$AJ=JA^{T}\,$

$B=JC^{T}\,$

وبالتالي فإن القيمة المطلقة للقيم الذاتية والمتجهات الذاتية تساوي:

$|\lambda (W_{X})|={\sqrt {\lambda (W_{C}W_{O})}}.\,$

ملاحظة

يتم التعبير عن معادلة جرايمان بالرمز $W_{CO}$ .

انظر أيضًا

• قابلية التحكم لجرايمان
• قابلية ملاحظة لجرايمان
• معادلة أبيل