أعداد نسبية

قالب من الحلو مقسم إلى أربع أقسام، أزيل منه ربع وبقي ثلاث أرباع

الأعداد النسبية أو العدد النسبى هو كل عدد يكون في صورة $\tfrac{a}{b}$ حيث العددين a ، b أعداد صحيحة والعدد b ≠ صفر

الأعداد النسبية

مكونات الأعداد النسبية

الأعداد النسبية مقسمة كالأعداد الصحيحة تماما وهى كالآتى :

أعداد نسبية موجبة

هي كل عدد موجب يمكن تخيلة إلى مالانهاية مثل :$\tfrac{8+}{7}$

أعداد نسبية سالبة

هي الأعداد المقابلة للموجبة على خط الأعداد مثل العدد $\tfrac{8-}{7}$

الصفر

هو عدد محايد بين الموجب والسالبة وهو ليس عددا سالبا وفى الوقت ذاته ليس موجبا

ملحوظات

- كل عدد نسبى موجب أكبر من كل عدد نسبى سالب

- الصفر أصغر من كل عدد نسبى موجب وأكبر من كل عدد نسبى سالب

- تحمل إشارة العدد على البسط مثل :$\tfrac{7+}{5}$ أو مقابل الشرطة الكسرية أو على المقام

- العدد الذي يحمل إشارتين سالبتين عدد موجب

- كل الكسور تنتمى لمجموعة الأعداد النسبية عدا العدد الذي مقامه صفر فمثلا : $\tfrac{3}{0}$ ليس عددا نسبيا

المجموعات الجزئية من ن

الأعداد الطبيعية والصحيحة مجموعتان جزئيتان من مجموعة الأعداد النسبية (ن) لأن مجموعة الأعداد الطبييعية والصحيحة أعداد وفى نفس الوقت كسور مقامها 1 ، على سبيل المثال 7 عدد صحيح وعدد طبيعى ونسبى لأن 7 = $\tfrac{7}{1}$ المجموعات الجزئية من ن هي :

ط حيث ط تتكون من أ ، ف ، ز

ص حيث ص بأكملها مجموعة جزئية من ن

كذلك أيضا الأعداد الكسرية والأعداد التي على صورة كسور $\tfrac{a}{b}$

تحويل الأعداد العشرية والنسب المئوية إلى صورة كسرية

مثال : حول العدد 0.25 إلى صورة كسرية

الحل : 0.25 == $\tfrac{25}{100}$ == $\tfrac{1}{4}$

مثال : حول النسبة المئوية 45٪ إلى صورة كسرية

الحل : 45٪ == $\tfrac{45}{100}$ == $\tfrac{2}{5}$

- عند التحويل يجب أن نبسط الكسر إلى أبسط صورة

تطبيقات على الأعداد النسبية

القيمة المطلقة

هي عدد الوحدات (المسافات) بين العدد النسبى والصفر حيث أن الصفر يقسم بين ن- ون+ وتعد بنفس العدد لكن بإشارة موجبة وتوضع بين | | فمثلا القيمة المطلقة لـ| $\tfrac{5}{3}$ | == $\tfrac{5}{3}$ والقيمة المطلقة للعدد | $\tfrac{-8}{5}$ | == $\tfrac{8}{5}$

توحيد المقامات

نستخدم دائما ما نستخدم توحيد المقامات لتسهيل عملية المقارنة أو الترتيب فمثلا

وحد مقامى : $\tfrac{7}{5}$ ، $\tfrac{8}{10}$

الحل : يجب أن نوجد عاملا مشتركا بين المقامين وإن لم نجد عاملا مشتركا نضرب المقامين في بعضهم فينتج 50 نضع الكسور على هذه الصورة :

أى : $\tfrac{ }{50}$ = $\tfrac{7}{5}$

أيضا : $\tfrac{ }{50}$ = $\tfrac{8}{10}$

ثم نقسم المقام الجديد على القديم في كل من الكسرين وبعد ذلك نضرب خارج القسمة في البسط في كل كسر فينتج عددا والناتج نضعه بسطا في الكسور الجديدة

فينتج : $\tfrac{7}{5}$ = $\tfrac{70}{50}$

كذلك : $\tfrac{8}{5}$ = $\tfrac{80}{50}$

حل آخر : إذا تعسر الحل بالطريقة السابقة نضرب بسط الأول في مقام الثاني وبسط الثاني في مقام الأول فينتج عددين صحيحن يعادلان العددين النسبيين

كثافة الأعداد النسبية

هي إيجاد مجموعة من الأعداد الواقعة بين عددين نسبيين فالأعداد النسبية مشهورة بذلك الأمر ومتميزة به حيث أن هناك أعداد هائلة جدا بين كل عددين نسبيين مثال : أوجد عددين نسبيين يقعان بين $\tfrac{4}{3}$ ، $\tfrac{5}{9}$

الحل : نوحد المقامات على 27 حيث أن الناتج سيكون : $\tfrac{5}{9}$ == $\tfrac {15}{27}$ $\tfrac{4}{3}$ == $\tfrac{36}{27}$

الأعداد هي : $\tfrac {16}{27}$

$\tfrac {17}{27}$

$\tfrac {18}{27}$

رفع الكسر

عند وجود عدد كسرى مثل : $\tfrac{3}{2}$ 2 فإنه من الصعب استخدامه في أى شيء ويجب أن يكون عددا نسبيا على صورة $\tfrac{a}{b}$ ولهذا فإننا نرفع الكسر ورفع الكسر يكون قانون رفع الكسر = العدد الصحيح × المقام + البسط

مثال : ارفع الكسر $\tfrac{9}{7}$ 3

الحل : قانون رفع الكسر = العدد الصحيح × المقام + البسط

= 3 × 7 + 9

= 21 + 9

= 30 إذن : $\tfrac{9}{7}$ 3 = $\tfrac {30}{7}$

الأعداد الدائرية

لواستخدمنا آلة حاسبة ووضعنا عليها عدد عشرى متكرر الأعداد مثل : 0.5555 وضغطنا علامة = فإن الآلة الحاسبة ستظنهر لنا شيئا آخر وهو عدد نسبى وتسمى الأعداد الدائرة أى مثلا : 0.555 عدد دائر ويتم اختصاره عشريا 0.5 بوضع نقطة علبى الرقم العشرى وسميت دائرية لأنها كالدائرة ليس لها لها نهاية وعند تحويل العدد إلى صورة كسرية فإن مقامه يساوى 9 إذا كان العدد آحادا و99 إذا كان العدد يتبع لخانة العشرات وتوضع النقطة عند الأعداد المراد تكرارها

- ملحوظة : لا ينفع نظام الأعداد الدائرة إلا على آلة (كاسيو) وبعض الآلات الأخرى

ترتيب ومقارنة الاعداد النسبية

مقارنة الأعداد النسبية

عند المقارنة في الأعداد النسبية يجب أن نوحد المقامات ونضع العلامة سواء أكانت (> ، < ، =)

مثال : قارن بين : $\tfrac{9}{6}$ ، $\tfrac{7}{8}$ الحل : نوحد المقامات : $\tfrac{7}{8}$ = $\tfrac{63}{72}$

كذلك : $\tfrac{9}{6}$ = $\tfrac{42}{72}$

فنجد أن :$\tfrac{63}{72}$ > $\tfrac{42}{72}$

- إذا كان هناك عددين نسبيين لهما نفس المقام فلا يجب توحيد المقامات

- بعد توحيد المقامات نجد أن العددين إذا كان بسط أحدهما أكبر من الآخر فإن العدد ذو البسط الكبير هو العدد الكبير والعكس صحيح أى أن العددين إذا كان مقام أحدهما أكبر من الآخر فإن العدد ذو المقام الكبير هو العدد الصغير

ترتيب الأعداد النسبية

عند الترتيب يجب أن تكون كل الأعداد موحدة المقامات

مثال : رتب مايلى تصاعديا وتنازليا : 2.5 ، 5٪ ، $\tfrac{7}{8}$

الحل : يجب علينا تحويل كل الأعداد إلى كسور وسوف يكون ناتج التحويل :

ناتج التحويل : $\tfrac{7}{8}$ ، $\tfrac{1}{4}$ ، $\tfrac{1}{20}$

توحيد المقامات: $\tfrac{70}{80}$ ، $\tfrac{20}{80}$ ، $\tfrac{4}{80}$

الترتيب تنازليا : $\tfrac{70}{80}$ ، $\tfrac{20}{80}$ ، $\tfrac{4}{80}$

الترتيب تصاعديا : $\tfrac{4}{80}$ ، $\tfrac{20}{80}$ ، $\tfrac{70}{80}$

عملية الجمع في الأعداد النسبية

ناتج جمع الأعداد النسبية يكون كمايأتى :

مقام الناتج يكون حاصل ضرب مقامى العدد وبسطه مجموع حاصل ضرب بسط الأول في مقام الثاني ومقام الأول في بسط الثاني

مثال : اجمع $\tfrac{5}{2}$ + $\tfrac{2}{7}$

الحل : $\tfrac{35 + 4}{14}$ = $\tfrac{39}{14}$

ال

عملية الطرح

الطرح هو جمع المعكوس فمثلا : $\tfrac{3}{4}$ - $\tfrac{1-}{4}$ == $\tfrac{3}{4}$ + $\tfrac{1}{4}$ == 1

عملية الضرب

ناتج ضرب عددين نسبيين يكون بسطه حاصل بسطى العددين النسبيين ومقامه كذلك حاصل ضرب مقامى العددين النسبيين مثال : $\tfrac{1}{2}$ × $\tfrac{1}{4}$ = $\tfrac{1}{8}$

خواص عملية الضرب في ن

1- الانغلاق : حاصل ضرب أى عددين نسبيين يساوى عدد نسبى مثلا : $\tfrac{1}{2}$ × $\tfrac{1}{4}$ = $\tfrac{1}{8}$ عدد نسبى

2- الإبدال : $\tfrac{6}{5}$ × $\tfrac{9}{2}$ = $\tfrac{9}{2}$ × $\tfrac{6}{5}$

3- الدمج : عملية الضرب دامجة في ن

4- المحايد الضربى : وهو 1 حيث ضرب 1 في أى عدد نسبى يساوى نفس العدد

5- المعكوس الضربى : المعكوس الضربى هو مقلوب الكسر العدد النسبى فمثلا : $\tfrac{9}{4}$ معكوسها الضربى هو : $\tfrac{4}{9}$ وحاصل ضرب العدد مع معكوسه يساوى المحايد الضربى (1)

اقرأ أيضا

• الحساب عند قدماء المصريين