عدد كسري

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
أرباع الدائرة

في الرياضيات، عدد كسري أو عدد نسبي أو عدد جذري هو أي عدد يمكن صياغته على شكل نسبة بين عددين صحيحين إلى بعضهما وعادة ما تكتب بالشكل : أ/ب أو a/b وتدعى كسرا، حيث ب لا تساوي الصفر. يُدعى أ أو a الصورة أو البسط، ويُدعى ب أو b المخرج أو المقام.

يمكن كتابة أي عدد كسري بعدد غير منته من الأشكال (كنتيجة عن خواص التناسب): 3/6 = 2/4 = 1/2. ويعتبر الشكل أبسط ما يكون عندما لا يكون للبسط (الصورة) والمقام (المخرج) أي قواسم مشتركة (في المثال السابق : 1/2).

يمكن أيضا التعبير عن أي عدد كسري بشكل كسر عشري ويكون الكسر العشري الممثل للعدد الكسري دوريًا(أي أن الأرقام الموجودة في الكسر العشري تتكرر بشكل دوري : 0.234234234، 12.363636، 452.563256325632). وهنا يستخدم رمز الخط العلوي للتعبير عن هذه الأعداد الكسرية الدورية.

بالمقابل توجد مجموعة من الأعداد الحقيقية لا تمتلك صفة الدورية هذه في الكسر العشري ولا يمكن التعبير عنها بنسبة عددين صحيحين : وهذه تدعى بالأعداد غير النسبية أو غير الكسرية.

العدد الناطق هو العدد الذي يمكن كتابته على الشكل q/p حيث p عدد صحيح نسبي و q عدد صحيح غير معدوم .نرمز إلى مجموعة الأعداد الناطقة بالرمز Q.

صفات الأعداد الكسرية[عدل]

العدد الكسري أو النسبي أو القياسي هو ما يمكن كتابته ككسر اعتيادي أو خارج قسمة عددين صحيحين. وعادة ما تكتب بالشكل : أ / ب أو a/b حيث ب لا تساوي الصفر، ندعو أ أو a الصورة أو البسط، وندعو ب أو b المخرج أو المقام.

يمكن كتابة أي عدد قياسي بعدد غير منتهي من الأشكال (كنتيجة عن خواص التناسب): 3/6 = 2/4 = 1/2. ويعتبر الشكل أبسط ما يكون عندما لا يكون للبسط (الصورة) والمقام (المخرج) أي قواسم مشتركة (في المثال السابق : 1/2).

مجموعة الأعداد القياسية - ويرمز لها بالرمز \mathbb Q - هي مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية وتحوي مجموعة الأعداد الصحيحة، أي أن \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R . وتكون مجموعة الأعداد القياسية حقلاً مرتبًا أرشميديًا.

من الحقائق المعروفة أيضًا عن الأعداد القياسية:

  • أي عدد قياسي هو عدد جبري (أي حل لمعادلة جبرية معاملاتها أعداد صحيحة).
  • أي عدد قياسي له تمثيل عشري منتهي أو دوري.
  • وبالعكس أي عدد له تمثيل عشري منتهٍ أو دوري يكون بالضرورة عددًا قياسيًا.

الأعداد الحقيقية غير القياسية لا تمتلك صفة الدورية في التمثيل العشري ولا يمكن التعبير عنها بنسبة عددين صحيحين : وهذه تدعى بالأعداد غير المنطقة أو غير الكسرية irrational number.

العمليات الحسابية[عدل]

يكون عددان كسريان \frac{a}{b} و\frac{c}{d} متساويان فقط وفقط إذا كان ad = bc.

يتم جمع عددين كسريين كما يلي:

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}.

وتتم عملية الضرب كما يلي:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}.

كما يوجد أيضًا المقلوب الجمعي والجدائي في الأعداد الكسرية كما يلي:

 - \left(\frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} \quad\mbox{and}\quad 
\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a} \mbox{ if } a \neq 0.

انظر أيضا[عدل]