تمثيل عشري

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في علم الرياضيات التفكيك العشري هو طريقة لكتابة العدد الحقيقي الموجبة باستعمال قوى للعدد عشرة 10 (سلبية أو إيجابية). عندما تكون الاعداد صحيحة طبيعية، يتوافق التفكيك العشري مع الكتابة في القاعدة 10 وعندما تكون الاعداد عدد عشري، نحصل على تفكيك عشري محدود. عندما يكون العدد كسريا، يكون التفكيك العشري غير محدود ودوري. وأخيرا، عندما يكون العدد حقيقيا غير نسبي فالتفكيك العشري يكون غير محدود وغير دوري.

التمثيل العشري لعد حقيقي غير سالب r هو تعبير على الصورة

 r=\sum_{i=0}^\infty \frac{a_i}{10^i}

حيث a0 عدد صحيح غير سالب a1, a2, … أعداد صحيحة تحقق الشرط 9 \leq a_i \geq 0 وغالبا ما يكتب هذا بشكل مختصر بالشكل

r=a_0.a_1 a_2 a_3\dots.\,

يُدعى a0 الجزء الصحيح ل r. هو ليس بالضرورة محصورا بين 0 و 9, وa1, a2, a3, … هي خانات تشكل الجزء الكسري ل r. من التعريف:

 r=\lim_{n\to \infty} \sum_{i=0}^n \frac{a_i}{10^i}.

التقريب العشري المحدود[عدل]

يمكن تقريب أي عدد حقيقي إلى أي دقة مرغوبة بواسطة أعداد نسبية ذات تمثيل عشري محدود.

بفرض x\geq 0. فإنه لكل عدد صحيح n\geq 1 يوجد عدد عشري محدود r_n=a_0.a_1a_2\cdots a_n بحيث أن:

r_n\leq x < r_n+\frac{1}{10^n}.\,

الاثبات:

لتكن r_n = \textstyle\frac{p}{10^n}, حيث p = \lfloor 10^nx\rfloor. وعليه p \leq 10^nx < p+1, وبقسمة جميع الاطراف نحصل على 10^n. (وهي حقيقة أن r_n لها تمثيل عشري محدود هي سهلة الاثبات فعلا.)

التمثيل العشري المحدود[عدل]

ينتهي نشر التمثيل العشري لعدد غير سالب x بأصفار (أو تسعات) إذا وفقط إذا كان x عدد نسبي مقامه على الصورة 2n5m, حيث m وn هي أعداد صحيحة غير سالبة.

الاثبات:

إذا كان النشر العشري ل x سينتهي بأصفار، أو x=\sum_{i=0}^n\frac{a_i}{10^i}=\sum_{i=0}^n10^{n-i}a_i/10^n لقيمة معينة n, فإن مقام x سيكون على الصورة 10n = 2n5n.

وعلى نحو مضاد, إذا كان مقام x على الصورة 2n5m, x=\frac{p}{2^n5^m}=\frac{2^m5^np}{2^{n+m}5^{n+m}}=
\frac{2^m5^np}{10^{n+m}} لقيمة معينة p. بينما x هي على الصورة \textstyle\frac{p}{10^k}, p=\sum_{i=0}^{n}10^ia_i لقيمة معينة n. ولكل x=\sum_{i=0}^n10^{n-i}a_i/10^n=\sum_{i=0}^n\frac{a_i}{10^i}, فإن x سوف تنتهي بأصفار.

تمثيلات عشرية قابلة للمعاودة[عدل]

بعض الأعداد الحقيقية يمكن نشرها بصورة حلقة, حيث تتكرر مجموعة من خانة أو أكثر:

1/3 = 0.33333...
1/7 = 0.142857142857...
1318/185 = 7.1243243243...

على الرغم من التكرار يظل هذا العدد نسبي.

انظر أيضا[عدل]