تمثيل عشري

A التمثيل العشري لعد حقيقي غير سالب r هو تعبير على الصورة

$r=\sum_{i=0}^\infty \frac{a_i}{10^i}$

حيث a₀ عدد صحيح غير سالب a₁, a₂, … أعداد صحيحة تحقق الشرط $9 \leq a_i \geq 0$ وغالبا ما يكتب هذا بشكل مختصر بالشكل

$r=a_0.a_1 a_2 a_3\dots.\,$

يُدعى a₀ الجزء الصحيح ل r. هو ليس بالضرورة محصورا بين 0 و 9, وa₁, a₂, a₃, … هي خانات تشكل الجزء الكسري ل r. من التعريف:

$r=\lim_{n\to \infty} \sum_{i=0}^n \frac{a_i}{10^i}$.

التقريب العشري المحدود

يمكن تقريب أي عدد حقيقي إلى أي دقة مرغوبة بواسطة أعداد نسبية ذات تمثيل عشري محدود.

بفرض $x\geq 0$. فإنه لكل عدد صحيح $n\geq 1$ يوجد عدد عشري محدود $r_n=a_0.a_1a_2\cdots a_n$ بحيث أن:

$r_n\leq x < r_n+\frac{1}{10^n}.\,$

الاثبات:

لتكن $r_n = \textstyle\frac{p}{10^n}$, حيث $p = \lfloor 10^nx\rfloor$. وعليه $p \leq 10^nx < p+1$, وبقسمة جميع الاطراف نحصل على $10^n$. (وهي حقيقة أن $r_n$ لها تمثيل عشري محدود هي سهلة الاثبات فعلا.)

التمثيل العشري المحدود

ينتهي نشر التمثيل العشري لعدد غير سالب x بأصفار (أو تسعات) إذا وفقط إذا كان x عدد نسبي مقامه على الصورة 2ⁿ5^m, حيث m وn هي أعداد صحيحة غير سالبة.

الاثبات:

إذا كان النشر العشري ل x سينتهي بأصفار، أو $x=\sum_{i=0}^n\frac{a_i}{10^i}=\sum_{i=0}^n10^{n-i}a_i/10^n$ لقيمة معينة n, فإن مقام x سيكون على الصورة 10ⁿ = 2ⁿ5ⁿ.

وعلى نحو مضاد, إذا كان مقام x على الصورة 2ⁿ5^m, $x=\frac{p}{2^n5^m}=\frac{2^m5^np}{2^{n+m}5^{n+m}}= \frac{2^m5^np}{10^{n+m}}$ لقيمة معينة p. بينما x هي على الصورة $\textstyle\frac{p}{10^k}$, $p=\sum_{i=0}^{n}10^ia_i$ لقيمة معينة n. ولكل $x=\sum_{i=0}^n10^{n-i}a_i/10^n=\sum_{i=0}^n\frac{a_i}{10^i}$, فإن x سوف تنتهي بأصفار.

تمثيلات عشرية قابلة للمعاودة

بعض الأعداد الحقيقية يمكن نشرها بصورة حلقة, حيث تتكرر مجموعة من خانة أو أكثر:

¹/₃ = 0.33333...

¹/₇ = 0.142857142857...

¹³¹⁸/₁₈₅ = 7.1243243243...

على الرغم من التكرار يظل هذا العدد نسبي.

انظر أيضا

• نظام عد عشري
• نظام عد
• كسر مستمر