مجموعة مفتوحة: الفرق بين النسختين
[نسخة منشورة] | [نسخة منشورة] |
ط بوت:الإبلاغ عن رابط معطوب أو مؤرشف V4.6 |
ط بوت:تدقيق إملائي V1.6 |
||
سطر 1: | سطر 1: | ||
[[ملف:Red blue circle.svg|تصغير|تشكل النقاط الحمراء في هذه الدائرة مجموعة مفتوحة، ويشكل اجتماع النقاط الحمراء والنقاط الزرقاء [[مجموعة مغلقة]].]] |
[[ملف:Red blue circle.svg|تصغير|تشكل النقاط الحمراء في هذه الدائرة مجموعة مفتوحة، ويشكل اجتماع النقاط الحمراء والنقاط الزرقاء [[مجموعة مغلقة]].]] |
||
في [[طوبولوجيا|الطوبولوجيا]]، تدعى [[مجموعة (رياضيات)|المجموعة]] ''U'' '''بالمجموعة المفتوحة''' {{ |
في [[طوبولوجيا|الطوبولوجيا]]، تدعى [[مجموعة (رياضيات)|المجموعة]] ''U'' '''بالمجموعة المفتوحة''' {{إنج|Open set}} إذا كان، ابتداءً من أي [[نقطة]] ''x'' في المجموعة ''U'' من الممكن التحرك في أي اتجاه بشكل بسيط دون الخروج خارج المجموعة.<ref>{{استشهاد بكتاب|authors=Ueno, Kenji|chapter=The birth of manifolds|عنوان=A Mathematical Gift: The Interplay Between Topology, Functions, Geometry, and Algebra|المجلد=Vol. 3|ناشر=American Mathematical Society|سنة=2005|isbn=9780821832844|صفحة=38|مسار=https://books.google.com/books?id=GCHwtdj8MdEC&pg=PA38|display-authors=etal| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20170911202145/https://books.google.com/books?id=GCHwtdj8MdEC&pg=PA38 | تاريخ أرشيف = 11 سبتمبر 2017 }}</ref><ref>{{استشهاد بكتاب |الأخير=Taylor |الأول=Joseph L. |chapter=Analytic functions |عنوان=Complex Variables |series=The Sally Series |ناشر=American Mathematical Society |سنة=2011 |isbn=9780821869017 |صفحة=29 |مسار=https://books.google.com/books?id=NHcdl0a7Ao8C&pg=PA29| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20160608064156/https://books.google.com/books?id=NHcdl0a7Ao8C&pg=PA29 | تاريخ أرشيف = 8 يونيو 2016 }}</ref><ref>{{استشهاد بكتاب |الأخير=Krantz |الأول=Steven G. |وصلة مؤلف=Steven G. Krantz |chapter=Fundamentals |عنوان=Essentials of Topology With Applications |ناشر=CRC Press |سنة=2009 |isbn=9781420089745 |صفحات=3–4 |مسار=https://books.google.com/books?id=LUhabKjfQZYC&pg=PA3| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20160801053950/https://books.google.com/books?id=LUhabKjfQZYC&pg=PA3 | تاريخ أرشيف = 1 أغسطس 2016 }}</ref> |
||
بشكل آخر، إن [[مسافة|المسافة]] بين أي نقطة ''x'' في المجموعة ''U'' ومحيط المجموعة ''U'' تكون دائماً أكبر من الصفر. |
بشكل آخر، إن [[مسافة|المسافة]] بين أي نقطة ''x'' في المجموعة ''U'' ومحيط المجموعة ''U'' تكون دائماً أكبر من الصفر. |
||
سطر 8: | سطر 8: | ||
== تعريف == |
== تعريف == |
||
توجد عدة تعاريف |
توجد عدة تعاريف للمفهوم، تختلف حسب نوع الفضاء. لكنها لا تتعارض مع تعريف عام: |
||
حيث E <nowiki/>[[مجموعة (رياضيات)|مجموعة]] ما و T مجموعةٌ عناصرها هي مجوعات جزئية لِ E, إذا تحققت الخاصياتُ الثلاثة الآتية مجتمعةً: |
حيث E <nowiki/>[[مجموعة (رياضيات)|مجموعة]] ما و T مجموعةٌ عناصرها هي مجوعات جزئية لِ E, إذا تحققت الخاصياتُ الثلاثة الآتية مجتمعةً: |
||
# '''الفراغُ''' و'''الشمولُ :''' المجموعة الفارغة Ø و E عضوان في T. |
# '''الفراغُ''' و'''الشمولُ :''' المجموعة الفارغة Ø و E عضوان في T. |
||
# '''الوَصْل:''' أيُ اتحادٍ لاعضاء من T ينتمي لِ T (إن كان نهائياً |
# '''الوَصْل:''' أيُ اتحادٍ لاعضاء من T ينتمي لِ T (إن كان نهائياً أو غير نهائي). |
||
# '''البَيْن:''' تقاطع اي مجموعتين من T ينتمي هو ايضا لِ T (ليس ضروريا ان ينتمي تقاطع عدد لا نهائي من المجموعات من داخل T إلى TT). |
# '''البَيْن:''' تقاطع اي مجموعتين من T ينتمي هو ايضا لِ T (ليس ضروريا ان ينتمي تقاطع عدد لا نهائي من المجموعات من داخل T إلى TT). |
||
و في هذه الحالة نسمي T '''طوبولوجيّةً''' |
و في هذه الحالة نسمي T '''طوبولوجيّةً''' الفضاء، والمجموعات الاعضاء فيها نسميهن '''المجموعات المفتوحة''' في الفضاء. مجموعةٌ التي مكَمّلتها مجموعة مفتوحة تُسمّى <nowiki/>'''[[مجموعة مغلقة]]'''. |
||
بالنسبة [[فضاء متري|للفضائات المترية]] فنقول أن مجموعة هي مجموعة مفتوحة اٍذا كان بالنسبة لأي [[عنصر (رياضيات)|عنصر]] x من |
بالنسبة [[فضاء متري|للفضائات المترية]] فنقول أن مجموعة هي مجموعة مفتوحة اٍذا كان بالنسبة لأي [[عنصر (رياضيات)|عنصر]] x من المجموعة، فاٍنه يوجد عدد حقيقي r [[موجب]] قطعا، حيت تكون الفلكة التي مركزها x وشعاعها r مضمونة في المجموعة. |
||
== أمثلة == |
== أمثلة == |
نسخة 15:00، 26 أبريل 2020
في الطوبولوجيا، تدعى المجموعة U بالمجموعة المفتوحة (بالإنجليزية: Open set) إذا كان، ابتداءً من أي نقطة x في المجموعة U من الممكن التحرك في أي اتجاه بشكل بسيط دون الخروج خارج المجموعة.[1][2][3]
بشكل آخر، إن المسافة بين أي نقطة x في المجموعة U ومحيط المجموعة U تكون دائماً أكبر من الصفر.
وبصفة عامة في فضاء طوبولوجي (E,T) المجموعات المفتوحة أو المفتوحات اختصارا هي عناصر T. يشكل هذا المفهوم مفهوما هاما و أساسيا في الرياضيات.
تعريف
توجد عدة تعاريف للمفهوم، تختلف حسب نوع الفضاء. لكنها لا تتعارض مع تعريف عام:
حيث E مجموعة ما و T مجموعةٌ عناصرها هي مجوعات جزئية لِ E, إذا تحققت الخاصياتُ الثلاثة الآتية مجتمعةً:
- الفراغُ والشمولُ : المجموعة الفارغة Ø و E عضوان في T.
- الوَصْل: أيُ اتحادٍ لاعضاء من T ينتمي لِ T (إن كان نهائياً أو غير نهائي).
- البَيْن: تقاطع اي مجموعتين من T ينتمي هو ايضا لِ T (ليس ضروريا ان ينتمي تقاطع عدد لا نهائي من المجموعات من داخل T إلى TT).
و في هذه الحالة نسمي T طوبولوجيّةً الفضاء، والمجموعات الاعضاء فيها نسميهن المجموعات المفتوحة في الفضاء. مجموعةٌ التي مكَمّلتها مجموعة مفتوحة تُسمّى مجموعة مغلقة.
بالنسبة للفضائات المترية فنقول أن مجموعة هي مجموعة مفتوحة اٍذا كان بالنسبة لأي عنصر x من المجموعة، فاٍنه يوجد عدد حقيقي r موجب قطعا، حيت تكون الفلكة التي مركزها x وشعاعها r مضمونة في المجموعة.
أمثلة
في مجموعة الأعداد الحقيقية يتقاطع مفهوم المجموعة المفتوحة مع مجال مفتوح. فكل مجموعة مفتوحة هي اتحاد مجالات مفتوحة قابلة للعد متفارقة(منفصلة) فيما بينها مثنى مثنى.
انظر أيضاً
مراجع
- ^ Ueno, Kenji وآخرون (2005). "The birth of manifolds". A Mathematical Gift: The Interplay Between Topology, Functions, Geometry, and Algebra. American Mathematical Society. ج. Vol. 3. ص. 38. ISBN:9780821832844. مؤرشف من الأصل في 2017-09-11.
{{استشهاد بكتاب}}
:|المجلد=
يحوي نصًّا زائدًا (مساعدة) - ^ Taylor، Joseph L. (2011). "Analytic functions". Complex Variables. The Sally Series. American Mathematical Society. ص. 29. ISBN:9780821869017. مؤرشف من الأصل في 2016-06-08.
- ^ Krantz، Steven G. (2009). "Fundamentals". Essentials of Topology With Applications. CRC Press. ص. 3–4. ISBN:9781420089745. مؤرشف من الأصل في 2016-08-01.