مجموعة مفتوحة

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
تشكل النقاط الحمراء في هذه الدائرة مجموعة مفتوحة، ويشكل اجتماع النقاط الحمراء والنقاط الزرقاء مجموعة مغلقة.

في الطوبولوجيا، تدعى المجموعة U بالمجموعة المفتوحة إذا كان، ابتداءً من أي نقطة x في المجموعة U من الممكن التحرك في أي اتجاه بشكل بسيط دون الخروج خارج المجموعة.[1][2][3]

بشكل آخر، إن المسافة بين أي نقطة x في المجموعة U ومحيط المجموعة U تكون دائماً أكبر من الصفر.

وبصفة عامة في فضاء طوبولوجي (E,T) المجموعات المفتوحة أو المفتوحات اختصارا هي عناصر T. يشكل هذا المفهوم مفهوما هاما و أساسيا في الرياضيات.

تعريف:[عدل]

توجد عدة تعاريف للمفهوم, تختلف حسب نوع الفضاء. لكنها لا تتعارض مع تعريف عام:

حيث E مجموعة ما و T مجموعةٌ عناصرها هي مجوعات جزئية لِ E, إذا تحققت الخاصياتُ  الثلاثة الآتية مجتمعةً:

  1. الفراغُ والشمولُ : المجموعة الفارغة Ø و E عضوان في T.
  2. الوَصْل: أيُ اتحادٍ لاعضاء من T ينتمي لِ T (إن كان نهائياً او غير نهائي).
  3. البَيْن: تقاطع اي مجموعتين من T ينتمي هو ايضا لِ T (ليس ضروريا ان ينتمي تقاطع عدد لا نهائي من المجموعات من داخل T إلى TT).

و في هذه الحالة نسمي T طوبولوجيّةً الفضاء, والمجموعات الاعضاء فيها نسميهن المجموعات المفتوحة في الفضاء. مجموعةٌ التي مكَمّلتها مجموعة مفتوحة تُسمّى مجموعة مغلقة.

بالنسبة للفضائات المترية فنقول أن مجموعة هي مجموعة مفتوحة اٍذا كان بالنسبة لأي عنصر x من المجموعة, فاٍنه يوجد عدد حقيقي r موجب قطعا, حيت تكون الفلكة التي مركزها x وشعاعها r مضمونة في المجموعة.

أمثلة:[عدل]

في جموعة الأعداد الحقيقية يتقاطع مفهوم المجموعة المفتوحة مع مجال مفتوح. فكل مجموعة مفتوحة هي اتحاد مجالات مفتوحة قابلة للعد متفارقة(منفصلة) فيما بينها مثنى مثنى.

انظر أيضاً[عدل]

مراجع[عدل]

  1. ^ Ueno, Kenji وآخرون. (2005). "The birth of manifolds". A Mathematical Gift: The Interplay Between Topology, Functions, Geometry, and Algebra. Vol. 3. American Mathematical Society. صفحة 38. ISBN 9780821832844. 
  2. ^ Taylor، Joseph L. (2011). "Analytic functions". Complex Variables. The Sally Series. American Mathematical Society. صفحة 29. ISBN 9780821869017. 
  3. ^ Krantz، Steven G. (2009). "Fundamentals". Essentials of Topology With Applications. CRC Press. صفحات 3–4. ISBN 9781420089745. 
Nuvola apps edu mathematics-ar.svg
هذه بذرة مقالة عن الرياضيات بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.