المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر، أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها.

صيغ فييتة

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
Question book-new.svg
المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر. يرجى إيراد مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (مارس 2016)

في الرياضيات، وتحديداً في الجبر يطلق اسم صيغ فييتة (بالإنجليزية: Viète's formulas) على الصيغ التي تربط جذور كثير حدود ما بمعاملات كثير الحدود هذا.

سميت هاته الصيغ هكذا نسبة إلى فرانسوا فييت.

الصيغة الرياضية[عدل]

إذا كان لدينا كثير الحدود التالي:

P(X)=a_nX^n  + a_{n-1}X^{n-1} +\cdots + a_1 X+ a_0

من الدرجة n\ge 1 بمعاملات عقدية (بحيث أن المعاملات a_0, a_1, \dots, a_{n-1}, a_n هي أعداد عقدية وa_n لا يساوي الصفر)، وبحسب المبرهنة الأساسية في الجبر فإن لكثير الحدود هذا n جذر (ليس بالضرورة أن تكون متمايزة)x_1, x_2, \dots, x_n. حيث تنص صيغ فييتة على ما يلي

\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = \tfrac{-a_{n-1}}{a_n} \\  (x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\
\vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n}. \end{cases}

مثال[عدل]

من أجل المعادلة P(X)=aX^2 + bX + c والتي هي معادلة من الدرجة الثانية فتعطي صيغ فييتة على أن جذور هذه المعادلة تحقق ما يلي:

 x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}.