مرافق عدد مركب

رسم بياني يبين z ومرافقه z̅ في المستوي المركب. يحدد مرافق عدد مركب ما من خلال التماثل حول محور الأعداد الحقيقية

في الرياضيات، مرافق عدد مركب (بالإنجليزية: Complex conjugate)‏ هو عدد مركب له نفس الجزء الحقيقي للعدد الأصلي غير أن له جزءًا تخيليًا مساويًا للجزء التخيليّ للعدد الأصليّ من حيث القيمة المطلقة ومختلفًا عنه من حيث الإشارة.^[1]

مرافق العدد المركب $z = a + ib$ هو العدد المركب $z = a - ib$ حيث يتساويان في قيمة العددين الحقيقيين والعددين التخيليين إلا أن إشارة العدد التخيلي في المرافق تكون سالبة.

يُرمز لمرافق لعدد المركب عادة بأحد الرمزين * $Z$ أو ${\bar {Z}}$ .

مرافق العدد المركب $z=a+ib$ وحيث a و b عددان حقيقيان هو العدد المركب ${\overline {z}}=a-ib.\,$

على سبيل المثال:

${\overline {(3-2i)}}=3+2i$
${\overline {7}}=7$
${\overline {i}}=-i.$

تستخدم تلك الرياضيات بصفة أساسية في حسابات التيار المتردد في الهندسة الكهربائية وتستخدم أيضا في ميكانيكا الكم في الفيزياء إذ لها خواص تساعد على حل تلك المسائل.

خصائص[عدل]

${\overline {(z+w)}}={\overline {z}}+{\overline {w}}\!\$
${\overline {z-w}}={\overline {z}}-{\overline {w}}\!\$
${\overline {(zw)}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}\!\$
${\overline {(z/w)}}={\overline {z}}/{\overline {w}}\!\$ على أساس أن w ليس صفرا
${\overline {z}}=z\!\$ إذا كان z عددا حقيقيا
${\overline {z^{n}}}=({\overline {z}})^{n}$ إذا كان n عددا صحيحا
$\left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|$
${\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}={\overline {z}}z$
${\overline {\overline {z}}}=z\!\$ , ذاتية الانعكاس (أي مرافقُ مرافقِ عدد مركب ما هو العدد نفسه)
$z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}$ على أساس أن z ليس صفرا