معادلات كوشي-ريمان

في الرياضيات، معادلات كوشي-ريمان التفاضلية (بالإنجليزية: Cauchy–Riemann equations)‏ في التحليل العقدي تنسب إلى عالم الرياضيات الفرنسي أوغستين لوي كوشي وعالم الرياضيات الألماني برنارد ريمان. تتكون من نظام من اثنين من المعادلات التفاضيلية الجزئية

معادلات كوشي-ريمان لدالتين قيمهما حقيقيتان، لكل واحدة منهما متغيران اثنان (u(x,y و (v(x,y، هما المعادلتان التاليتان:

${\dfrac {\partial u}{\partial x}}={\dfrac {\partial v}{\partial y}}\,$

و

${\dfrac {\partial u}{\partial y}}=-{\dfrac {\partial v}{\partial x}}\,$

عادة ما يتم اعتبار u وv جزءًا حقيقيًا وخياليًا على التوالي لدالة مركبة القيمة لمتغير مركب واحد $z=x+iy,f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$

افترض ان u وv دوال قابلة للاشتقاق عند نقطة في مجموعة جزئية مفتوحة من $\mathbb {C}$, والتي ممكن اعتبارها دالة من $\mathbb {R^{2}}$ إلى $\mathbb {R}$، فإن هذا يؤدي إلى أن المشتقة الجزئية ل u , v موجودة (على الرغم من انها لا تحتاج ان تكون متصلة).

إذا كانت الدالة $f=u+iv$ قابلة للاشتقاق عند النقطة $z_{0}=x_{0}+iy_{0}$، فإن المشتقات الجزئية لكلا من u و v موجودة عند النقطة $(x_{0},y_{0})$ وتحقق معادلات كوشي -ريمان.

مثال

افترض أن الدالة $f(z)=z^{2}$ ، حيث $z=x+iy$، هي دالة قابلة للاشتقاق عند أي نقطة $z\in \mathbb {C}$

$f(z)=(x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy$

فيكون الجزء الحقيقي هو: $u(x,y)$ حيث $u(x,y)=x^{2}-y^{2}$

والجزء التخيلي هو: $v(x,y)$ حيث $v(x,y)=2xy$

ومشتقاتهم الجزئية هي:

$v_{y}=2x$

$v_{x}=2y$

$u_{y}=-2y$.

$u_{x}=2x$.

ويلاحظ تحقق شروط معادلات كوشي-ريمان:

$u_{x}=v_{y}$.

$u_{y}=-v_{x}$.