من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
في الرياضيات ، معيار المصفوفة (بالإنجليزية : Matrix norm ) هو تطبيق لمبدأ معيار المتجه علي المصفوفات .
تعريف
في ما يلي: الرمز
K
{\displaystyle K}
سيعبر عن مجال الأعداد الحقيقية والأعداد المركبة .
نفرض أن
K
m
×
n
{\displaystyle K^{m\times n}}
يمثل الفضاء المتجهي الذي يحتوي كل المصفوفات ذات
m
{\displaystyle m}
صف و
n
{\displaystyle n}
عمود ذات مدخلات تنتمي للمجال
K
{\displaystyle K}
، أيضًا
A
∗
{\displaystyle A^{*}}
هي مصفوفة تمثل مرافق المصفوفة
A
{\displaystyle A}
.
معيار المصفوفة هو معيار متجه ينتمي إلى
K
m
×
n
{\displaystyle K^{m\times n}}
بحيث إذا كانت
‖
A
‖
{\displaystyle \|A\|}
تمثل معيار المصفوفة
A
{\displaystyle A}
فإن:
‖
A
‖
≥
0
{\displaystyle \|A\|\geq 0}
‖
A
‖
=
0
{\displaystyle \|A\|=0}
إذا كان
A
=
0
{\displaystyle A=0}
‖
α
A
‖
=
|
α
|
‖
A
‖
{\displaystyle \|\alpha A\|=|\alpha |\|A\|}
لكل
α
{\displaystyle \alpha }
في
K
{\displaystyle K}
لكل المصفوفات
A
{\displaystyle A}
تنتمي إلى
K
m
×
n
{\displaystyle K^{m\times n}}
‖
A
+
B
‖
≤
‖
A
‖
+
‖
B
‖
{\displaystyle \|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|}
لكل المصفوفات
A
{\displaystyle A}
و
B
{\displaystyle B}
في
K
m
×
n
{\displaystyle K^{m\times n}}
بالإضافة إلى ذلك، فإنه في حالة المصفوفة المربعة m = n فإن بعض (وليس الكل) المصفوفات تحقق التالي:
‖
A
B
‖
≤
‖
A
‖
‖
B
‖
{\displaystyle \|AB\|\leq \|A\|\|B\|}
لكل المصفوفات
A
{\displaystyle A}
و
B
{\displaystyle B}
في
K
n
×
n
{\displaystyle K^{n\times n}}
معيار العامل الرياضي
إذا كان معيار المتجه في
K
n
{\displaystyle K^{n}}
و
K
m
{\displaystyle K^{m}}
معطي (حيث
K
{\displaystyle K}
هو مجال الأعداد الطبيعية والمركبة) فإنه يمكن تعريف معيار العامل الرياضي المكافئ كما يلي:
‖
A
‖
=
sup
{
‖
A
x
‖
:
x
∈
K
n
with
‖
x
‖
=
1
}
=
sup
{
‖
A
x
‖
‖
x
‖
:
x
∈
K
n
with
x
≠
0
}
{\displaystyle {\begin{aligned}\|A\|&=\sup\{\|Ax\|:x\in K^{n}{\text{ with }}\|x\|=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}:x\in K^{n}{\text{ with }}x\neq 0\right\}\end{aligned}}}
ويكون معيار العامل الرياضي المكافئ للمعيار p في المتجهات (ويرمز له ب
‖
A
‖
p
{\displaystyle \|A\|_{p}}
) كما يلي:
‖
A
‖
p
=
sup
x
≠
0
‖
A
x
‖
p
‖
x
‖
p
{\displaystyle \|A\|_{p}=\sup \limits _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{p}}{\|x\|_{p}}}}
حيث p ≥ 1
هناك 3 الحالات الخاصة عند ∞,p = 1,2, ، يمكن حساب قيم المعيار كما يلي:
‖
A
‖
1
=
max
1
≤
j
≤
n
∑
i
=
1
m
|
a
i
j
|
{\displaystyle \|A\|_{1}=\max _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|}
وهو ببساطة أقصي مجموع مطلق لعمود من أعمدة المصفوفة
‖
A
‖
∞
=
max
1
≤
i
≤
m
∑
j
=
1
n
|
a
i
j
|
{\displaystyle \|A\|_{\infty }=\max _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|}
وهو ببساطة أقصى مجموع مطلق لصف من صفوف المصفوفة
‖
A
‖
2
≤
(
∑
i
=
1
m
∑
j
=
1
n
|
a
i
j
|
2
)
1
/
2
{\displaystyle \|A\|_{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}\right)^{1/2}}
هذه العلاقة صحيحة بشرط أن تكون المصفوفة
A
{\displaystyle A}
من الدرجة -1 أو صفرية.
مثال:
إذا كانت المصفوفة
A
{\displaystyle A}
معطاة كالتالي
A
=
[
−
3
5
7
2
6
4
0
2
8
]
,
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}-3&5&7\\2&6&4\\0&2&8\\\end{bmatrix}},}
فإن
‖
A
‖
1
=
max
(
|
−
3
|
+
2
+
0
,
5
+
6
+
2
,
7
+
4
+
8
)
=
max
(
5
,
13
,
19
)
=
19
{\displaystyle \|A\|_{1}=\max(|{-3}|+2+0,5+6+2,7+4+8)=\max(5,13,19)=19}
و
‖
A
‖
∞
=
max
(
|
−
3
|
+
5
+
7
,
2
+
6
+
4
,
0
+
2
+
8
)
=
max
(
15
,
12
,
10
)
=
15.
{\displaystyle \|A\|_{\infty }=\max(|{-3}|+5+7,2+6+4,0+2+8)=\max(15,12,10)=15.}
عند p = 2 فإن المعيار يسمي المعيار الإكليدي (بالإنجليزية : Euclidean norm ) وفي هذه الحالة يساوي أكبر قيمة فردية ويساوي أيضًا الجذر التربيعي للقيمة الذاتية للمصفوفة المعرفة الموجبة A ∗ A :
‖
A
‖
2
=
λ
max
(
A
∗
A
)
=
σ
max
(
A
)
{\displaystyle \|A\|_{2}={\sqrt {\lambda _{\max }(A^{^{*}}A)}}=\sigma _{\max }(A)}
[1]
حيث A ∗ تمثل مرافق المصفوفة A .
مراجع
^ Carl D. Meyer,
Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, §5.2, p.281,
Society for Industrial & Applied Mathematics, June 2000.