معيار المصفوفة

في الرياضيات، معيار المصفوفة (بالإنجليزية: Matrix norm)‏ هو تطبيق لمبدأ معيار المتجه علي المصفوفات.

تعريف[عدل]

في ما يلي: الرمز $K$ سيعبر عن مجال الأعداد الحقيقية والأعداد المركبة. نفرض أن $K^{m\times n}$ يمثل الفضاء المتجهي الذي يحتوي كل المصفوفات ذات $m$ صف و $n$ عمود ذات مدخلات تنتمي للمجال $K$ ، أيضًا $A^{*}$ هي مصفوفة تمثل مرافق المصفوفة $A$ .

معيار المصفوفة هو معيار متجه ينتمي إلى $K^{m\times n}$ بحيث إذا كانت $\|A\|$ تمثل معيار المصفوفة $A$ فإن:

$\|A\|\geq 0$
$\|A\|=0$ إذا كان $A=0$
$\|\alpha A\|=|\alpha |\|A\|$ لكل $\alpha$ في $K$ لكل المصفوفات $A$ تنتمي إلى $K^{m\times n}$
$\|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|$ لكل المصفوفات $A$ و $B$ في $K^{m\times n}$

بالإضافة إلى ذلك، فإنه في حالة المصفوفة المربعة m = n فإن بعض (وليس الكل) المصفوفات تحقق التالي:

إذا كان معيار المتجه في $K^{n}$ و $K^{m}$ معطي (حيث $K$ هو مجال الأعداد الطبيعية والمركبة) فإنه يمكن تعريف معيار العامل الرياضي المكافئ كما يلي:

{\begin{aligned}\|A\|&=\sup\{\|Ax\|:x\in K^{n}{\text{ with }}\|x\|=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}:x\in K^{n}{\text{ with }}x\neq 0\right\}\end{aligned}}

ويكون معيار العامل الرياضي المكافئ للمعيار p في المتجهات (ويرمز له ب $\|A\|_{p}$ ) كما يلي:

\|A\|_{p}=\sup \limits _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{p}}{\|x\|_{p}}}

حيث p ≥ 1

هناك 3 الحالات الخاصة عند ∞,p = 1,2, ، يمكن حساب قيم المعيار كما يلي:

$\|A\|_{1}=\max _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|$ وهو ببساطة أقصي مجموع مطلق لعمود من أعمدة المصفوفة
$\|A\|_{\infty }=\max _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|$ وهو ببساطة أقصى مجموع مطلق لصف من صفوف المصفوفة
$\|A\|_{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}\right)^{1/2}$ هذه العلاقة صحيحة بشرط أن تكون المصفوفة $A$ من الدرجة -1 أو صفرية.

مثال:

A={\begin{bmatrix}-3&5&7\\2&6&4\\0&2&8\\\end{bmatrix}},

فإن

\|A\|_{1}=\max(|{-3}|+2+0,5+6+2,7+4+8)=\max(5,13,19)=19

و

\|A\|_{\infty }=\max(|{-3}|+5+7,2+6+4,0+2+8)=\max(15,12,10)=15.

عند p = 2 فإن المعيار يسمي المعيار الإكليدي (بالإنجليزية: Euclidean norm)‏ وفي هذه الحالة يساوي أكبر قيمة فردية ويساوي أيضًا الجذر التربيعي للقيمة الذاتية للمصفوفة المعرفة الموجبةA^∗A :