احتمالات مورس

احتمالات مورس ، أو امكانات مورس، التي سميت على اسم الفيزيائي فيليب م. مورس ، هي نموذج تفاعل بيني مناسب للطاقة الكامنة لجزيء ثنائي الذرة .

هو تقريب أفضل للبنية الاهتزازية للجزيء من المذبذب التوافقي الكمومي لأنه يتضمن آثار انكسار الروابط، مثل وجود حالات غير منضمة.

كما أنها تشكل اسنادات غير متناسقة واحتمالات انتقال غير صفرية .

يمكن أيضًا استخدام مورس لنمذجة تفاعلات أخرى مثل التفاعل بين ذرة وسطح معين. نظرًا لبساطته (ثلاث معلمات مناسبة فقط) ، لا يتم استخدامه في التحليل الطيفي الحديث.

يعتبر ايضا وظيفة الطاقة الكامنة الأكثر شيوعًا في الاستخدام لتركيب البيانات الطيفية.

وظيفة الطاقة الكامنة

إمكانات مورس (الأزرق) والمذبذب التوافقي (الأخضر). على عكس مستويات الطاقة لإمكانية المذبذب التوافقي ، والتي يتم تباعدها بالتساوي بواسطة by ، فإن تباعد مستوى مورس المحتمل ينخفض مع اقتراب الطاقة من طاقة التفكك. طاقة التفكك D _e أكبر من الطاقة الحقيقية المطلوبة للتفكك D ₀ بسبب طاقة نقطة الصفر لأدنى مستوى اهتزازي ( v = 0).

وظيفة مورس للطاقة الكامنة هي كالتالي

$V'(r)=D_{e}(1-e^{-a(r-r_{e})})^{2}$

هنا $r$ هي المسافة بين الذرات، $r_{e}$ هي مسافة رابطة التوازن، $D_{e}$ هو العمق (محدد بالنسبة للذرات المنفصلة) $a$ يتحكم في "عرض" الإمكانات . يمكن حساب طاقة التفكك للاسنادات بطرح طاقة نقطة الصفر $E_{0}$ . يمكن العثور على ثابت القوة (الصلابة) للرابطة عن طريق توسع تايلور $V'(r)$ حول $r=r_{e}$ إلى المشتق الثاني لدالة الطاقة الكامنة، والتي يمكن من خلالها إظهار أن المعلمة، $a$ ، تكون

$a={\sqrt {k_{e}/2D_{e}}},$

أي ان $k_{e}$ هو ثابت القوة عند الحد الأدنى .

نظرًا لأن صفرية الطاقة الكامنة هو أمر تعسفي ، يمكن إعادة كتابة معادلة جهد مورس بأي عدد من الطرق عن طريق إضافة أو طرح قيمة ثابتة. عندما يتم استخدامها لنمذجة التفاعل بين السطح والذرة، يمكن إعادة تعريف الطاقة صفر بحيث تصبح إمكانات مورس

$V(r)=V'(r)-D_{e}=D_{e}(1-e^{-a(r-r_{e})})^{2}-D_{e}$

الذي يكتب عادة هكذا

$V(r)=D_{e}(e^{-2a(r-r_{e})}-2e^{-a(r-r_{e})})$

أي ان $r$ هي الآن إحداثيات متعامدة على السطح. يقترب هذا النموذج من الصفر اللانهائي $r$ ويساوي $-D_{e}$ في الحد الأدنى، أي $r=r_{e}$ . يُظهر بوضوح أن إمكانات مورس هي مزيج من مصطلح نفور قصير المدى (الأول) ومصطلح جذب طويل المدى (الأخير) ، يماثل إمكانات لينارد جونز .

حالات وطاقات اهتزازية

مثل المذبذب التوافقي الكمومي ، يمكن العثور على طاقات وإمكانات مورس باستخدام طرق المشغل. ينطوي أحد النهج على تطبيق طريقة العوامل على هاميلتون.

لكتابة الحالات الثابتة على إمكانات مورس، أي $\Psi _{n}(r)$ و $E_{n}$ و معادلة شرودنغر التالية:

$\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+V(r)\right)\Psi _{n}(r)=E_{n}\Psi _{n}(r),$

من المناسب إدخال المتغيرات التالية:

$x=ar{\text{; }}x_{e}=ar_{e}{\text{; }}\lambda ={\frac {\sqrt {2mD_{e}}}{a\hbar }}{\text{; }}\varepsilon _{n}={\frac {2m}{a^{2}\hbar ^{2}}}E_{n}.$

بعد ذلك، تأخذ معادلة شرودنغر الشكل البسيط:

$\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x)\right)\Psi _{n}(x)=\varepsilon _{n}\Psi _{n}(x),$

$V(x)=\lambda ^{2}\left(e^{-2\left(x-x_{e}\right)}-2e^{-\left(x-x_{e}\right)}\right).$

يمكن كتابة قيمها الذاتية و ال الحالات الخاصة على النحو التالي:

$\varepsilon _{n}=-\left(\lambda -n-{\frac {1}{2}}\right)^{2},$

أي

$n=0,1,\ldots ,\left[\lambda -{\frac {1}{2}}\right],$

حيث تشير [x] إلى أكبر عدد صحيح أصغر من x.

$\Psi _{n}(z)=N_{n}z^{\lambda -n-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}z}L_{n}^{(2\lambda -2n-1)}(z),$

أي$z=2\lambda e^{-\left(x-x_{e}\right)}{\text{; }}N_{n}=\left[{\frac {n!\left(2\lambda -2n-1\right)}{\Gamma (2\lambda -n)}}\right]^{\frac {1}{2}}$ و $L_{n}^{(\alpha )}(z)$ هو متعدد لغوير المعمم:

$L_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {z^{-\alpha }e^{z}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left(z^{n+\alpha }e^{-z}\right)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)/\Gamma (\alpha +1)}{n!}}\,_{1}F_{1}(-n,\alpha +1,z),$

يوجد أيضًا التعبير التحليلي الهام التالي لعناصر المصفوفة لعامل الإحداثيات (هنا يُفترض $m>n$ و $N=\lambda -{\frac {1}{2}}$ )

$\left\langle \Psi _{m}|x|\Psi _{n}\right\rangle ={\frac {2(-1)^{m-n+1}}{(m-n)(2N-n-m)}}{\sqrt {\frac {(N-n)(N-m)\Gamma (2N-m+1)m!}{\Gamma (2N-n+1)n!}}}.$

الطاقة الذاتية في المتغيرات الأولية بهذا الشكل:

$E_{n}=h\nu _{0}(n+1/2)-{\frac {\left[h\nu _{0}(n+1/2)\right]^{2}}{4D_{e}}}$

أي ان $n$ هو عدد الذبذبات الكمية، و $\nu _{0}$ لديها وحدات من التردد، وهي مرتبطة رياضيا بكتلة الجسيمات، $m$ ، وثوابت مورس عبر

$\nu _{0}={\frac {a}{2\pi }}{\sqrt {2D_{e}/m}}.$

في حين أن تباعد الطاقة بين مستويات الاهتزاز في المذبذب التوافقي الكمومي ثابت عند $h\nu _{0}$ ، الطاقة بين المستويات المجاورة تنخفض مع زيادة $v$ في مذبذب مورس. رياضيا، تباعد مستويات مورس

$E_{n+1}-E_{n}=h\nu _{0}-(n+1)(h\nu _{0})^{2}/2D_{e}.\,$

يطابق هذا الاتجاه عدم التناسق الموجود في الجزيئات الحقيقية. ومع ذلك، فشلت هذه المعادلة فوق بعض القيم مثل $n_{m}$ أي $E(n_{m}+1)-E(n_{m})$ يتم حسابها على أنها صفر أو سلبية. على وجه التحديد:

$n_{m}={\frac {2D_{e}-h\nu _{0}}{h\nu _{0}}}$ جزء صحيح.

يرجع هذا الفشل إلى العدد المحدود من المستويات المقيدة في إمكانات مورس، وبعض الحدود القصوى من $n_{m}$ التي لا تزال ملزمة. للطاقات التي اعلى من $n_{m}$ ، يُسمح بجميع مستويات الطاقة الممكنة، لما المعادلة $E_{n}$ لم تعد صالحة.

أدناه $n_{m}$ ، $E_{n}$ هو تقريب جيد للبنية الاهتزازية الحقيقية في الجزيئات ثنائية الذرة غير الدورية. في الواقع، تتناسب الأطياف الجزيئية الحقيقية بشكل عام مع الشكل ¹

$E_{n}/hc=\omega _{e}(n+1/2)-\omega _{e}\chi _{e}(n+1/2)^{2}\,$

الثوابت $\omega _{e}$ و $\omega _{e}\chi _{e}$ يمكن أن تكون مرتبطة مباشرة بالمعلمات لاحتمالات مورس.

كما هو واضح من التحليل البعدي ، تستخدم المعادلة الأخيرة تدوينًا طيفيًا لأسباب تاريخية حيث $\omega _{e}$ يمثل انخفاض الموجة $E=hc\omega$ و ليس تردد زاوي بواسطة $E=\hbar \omega$ .

إمكانات مورس / بعيدة المدى

امتداد مهم لإمكانية مورس التي جعلت شكل مورس مفيدًا جدًا في التحليل الطيفي الحديث هو إمكانات MLR ( Morse / Long-range ). يتم استخدام إمكانات MLR كمعيار لتمثيل البيانات الطيفية و / أو للجزيئات الدياتومية بواسطة منحنى طاقة محتمل. تم استخدامه على N ₂ ، Ca ₂ ، KLi، MgH، العديد من الحالات الإلكترونية لـ Li ₂ ، Cs ₂ ، Sr ₂ ، ArXe، LiCa، LiNa، Br ₂ ، Mg ₂ ، HF، HCl، HBr، HI، MgD، Be ₂ ، BeH، و NaH. يتم استخدام إصدارات أكثر تعقيدًا للجزيئات متعددة الذرات.

انظر أيضًا

• احتمالات مورس / بعيدة المدى
• احتمالات لينارد جونز
• الميكانيكا الجزيئية

المراجع

• ¹ كتيب CRC للكيمياء والفيزياء، Ed David R. Lide ، الطبعة 87 ، القسم 9 ، الثوابت الطيفية للجزيئات DIATOMIC pp.   9-82
• Morse، P. M. (1929). "Diatomic molecules according to the wave mechanics. II. Vibrational levels". Phys. Rev. ج. 34. ص. 57–64. Bibcode:1929PhRv...34...57M. DOI:10.1103/PhysRev.34.57.
• Girifalco، L. A.؛ Weizer، G. V. (1959). "Application of the Morse Potential Function to cubic metals". Phys. Rev. ج. 114 رقم  3. ص. 687. Bibcode:1959PhRv..114..687G. DOI:10.1103/PhysRev.114.687.
• Shore، Bruce W. (1973). "Comparison of matrix methods applied to the radial Schrödinger eigenvalue equation: The Morse potential". J. Chem. Phys. ج. 59 رقم  12. ص. 6450. Bibcode:1973JChPh..59.6450S. DOI:10.1063/1.1680025.
• Keyes، Robert W. (1975). "Bonding and antibonding potentials in group-IV semiconductors". Phys. Rev. Lett. ج. 34 رقم  21. ص. 1334–1337. Bibcode:1975PhRvL..34.1334K. DOI:10.1103/PhysRevLett.34.1334.
• Lincoln، R. C.؛ Kilowad، K. M.؛ Ghate، P. B. (1967). "Morse-potential evaluation of second- and third-order elastic constants of some cubic metals". Phys. Rev. ج. 157 رقم  3. ص. 463–466. Bibcode:1967PhRv..157..463L. DOI:10.1103/PhysRev.157.463.
• Dong، Shi-Hai؛ Lemus، R.؛ Frank، A. (2001). "Ladder operators for the Morse potential". Int. J. Quantum Chem. ج. 86 رقم  5. ص. 433–439. DOI:10.1002/qua.10038.
• Zhou، Yaoqi؛ Karplus، Martin؛ Ball، Keith D.؛ Bery، R. Stephen (2002). "The distance fluctuation criterion for melting: Comparison of square-well and Morse Potential models for clusters and homopolymers". J. Chem. Phys. ج. 116 رقم  5. ص. 2323–2329. DOI:10.1063/1.1426419.
• IG Kaplan ، في كتيب الفيزياء الجزيئية وكيمياء الكم، وايلي، 2003 ، ص 207.