من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
مبرهنة ستيوارت في الهندسة الرياضية ، تظهر مبرهنة ستيوارت العلاقة بين أطوال أضلاع مثلث وطول القطعة المستقيمة الواصلة بين رأس من رؤوسه والضلع المقابل لهذا الرأس.[ 1] [ 2]
إذا كانت a, b, c أضلاع مثلث ِABC، وكانت p قطعة مستقيمة من الرأس A إلى نقطة تقسم الضلع a إلى y و x عندها تعطى المبرهنة بالشكل التالي:
b
2
x
+
c
2
y
=
a
(
p
2
+
x
y
)
{\displaystyle b^{2}x+c^{2}y=a(p^{2}+xy)\,}
بتطبيق قانون جيب التمام نجد أن:
b
2
=
p
2
+
y
2
−
2
p
y
cos
θ
{\displaystyle b^{2}=p^{2}+y^{2}-2py\cos \theta \,}
و
c
2
=
p
2
+
x
2
−
2
p
x
cos
(
180
−
θ
)
{\displaystyle c^{2}=p^{2}+x^{2}-2px\cos(180-\theta )\,}
بضرب المعادلة الأولى بـ x و المعادلة الثانية بـ y ينتج أن:
b
2
x
=
p
2
x
+
y
2
x
−
2
p
x
y
cos
θ
{\displaystyle b^{2}x=p^{2}x+y^{2}x-2pxy\cos \theta \,}
c
2
y
=
p
2
y
+
x
2
y
−
2
p
x
y
cos
(
180
−
θ
)
{\displaystyle c^{2}y=p^{2}y+x^{2}y-2pxy\cos(180-\theta )\,}
من خواص دالة الجيب التمام أن:
cos
α
=
−
cos
(
π
−
α
)
{\displaystyle \cos \alpha =-\cos {(\pi -\alpha )}\,}
⇒
cos
θ
=
−
cos
(
180
−
θ
)
⇒
−
2
p
x
y
cos
θ
=
+
2
p
x
y
cos
(
180
−
θ
)
{\displaystyle \Rightarrow \cos \theta =-\cos {(180-\theta )}\Rightarrow -2pxy\cos \theta =+2pxy\cos(180-\theta )}
و لهذا السبب عند جمع المعادلتين سيختفي
−
2
p
x
y
cos
θ
,
−
2
p
x
y
cos
(
180
−
θ
)
{\displaystyle -2pxy\cos \theta ,-2pxy\cos(180-\theta )\,}
b
2
x
+
c
2
y
=
p
2
x
+
p
2
y
+
y
2
x
+
x
2
y
{\displaystyle b^{2}x+c^{2}y=p^{2}x+p^{2}y+y^{2}x+x^{2}y\,}
⇒
b
2
x
+
c
2
y
=
p
2
(
x
+
y
)
+
x
y
(
y
+
x
)
{\displaystyle \Rightarrow b^{2}x+c^{2}y=p^{2}(x+y)+xy(y+x)\,}
x
+
y
=
a
∵
{\displaystyle x+y=a\because }
⇒
b
2
x
+
c
2
y
=
p
2
a
+
x
y
a
=
a
(
p
2
+
x
y
)
{\displaystyle \Rightarrow b^{2}x+c^{2}y=p^{2}a+xya=a(p^{2}+xy)\,}
و هو المطلوب .
