شيفي

في الهندسة، الشيڤي (بالإنجليزية: Cevian)‏ أو قاطع المثلث هو خطٌ يمر برأس مثلث، ويقطع الجانب المقابل لذلك الرأس. تُعدُّ المتوسطات ومنصفات الزوايا من الشيڤيّات. يُسمى الشيڤي نسبةً إلى عالم الرياضيات الإيطالي جيوفاني شيفا، الذي أثبت مبرهنة معروفة عن الشيڤيات والتي تحمل اسمه أيضًا.

الطول

مثلث بطول سيفيان د

نظرية ستيوارت

يمكن تحديد طول قاطع المثلث من خلال مبرهنة ستيوارت: في الرسم الآتي ، يُحسب طول الشيڤي d عبر الصيغة:

$\,b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).$

المتوسط

إذا كان القاطع متوسطًا (وبالتالي منصفاً لضلعٍ ، فيمكن تحديد طوله من الصيغة

$\,m(b^{2}+c^{2})=a(d^{2}+m^{2})$

أو

$\,2(b^{2}+c^{2})=4d^{2}+a^{2}$

ولأنّ

$\,a=2m.$

فإنّ

$d={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}.$

زاوية منصف

إذا كان القاطع منصف زاوية ، فإن طوله يخضع للصيغة

$\,(b+c)^{2}=a^{2}\left({\frac {d^{2}}{mn}}+1\right),$

و

$d^{2}+mn=bc$

و

$d={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}$

حيث مقياس نصف القطر s = (a+b+c)/2 .

ضلع الطول a مقسوم بالنسبة b:c .

ارتفاع

إذا تصادف أن يكون القاطع ارتفاعًا وبهذا عمودياً على جانب، فإن طوله يخضع للصيغة

$\,d^{2}=b^{2}-n^{2}=c^{2}-m^{2}$

و

$d={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}},$

حيث يكون مقياس نصف القطر s = ( a + b + c ) / 2.

الشاطر

شاطر المثلث هو قاطع ينصف المحيط . تتلاقى شواطر المثلث الثلاثة عند نقطة ناجل في المثلث.

انظر أيضاً

• هندسة نقطة الكتلة
• نظرية مينيلوس

مراجع

• Eves، Howard (1963)، A Survey of Geometry (Vol. One)، Allyn and Bacon
• Ross Honsberger (1995). Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, pages 13 and 137. Mathematical Association of America.
• Vladimir Karapetoff (1929). "Some properties of correlative vertex lines in a plane triangle." American Mathematical Monthly 36: 476–479.
• Indika Shameera Amarasinghe (2011). “A New Theorem on any Right-angled Cevian Triangle.” Journal of the World Federation of National Mathematics Competitions, Vol 24 (02), pp. 29–37.