انتقل إلى المحتوى

معيار المصفوفة

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

في الرياضيات، معيار المصفوفة (بالإنجليزية: Matrix norm)‏ هو تطبيق لمبدأ معيار المتجه علي المصفوفات.

تعريف

[عدل]

في ما يلي: الرمز سيعبر عن مجال الأعداد الحقيقية والأعداد المركبة. نفرض أن يمثل الفضاء المتجهي الذي يحتوي كل المصفوفات ذات صف و عمود ذات مدخلات تنتمي للمجال ، أيضًا هي مصفوفة تمثل مرافق المصفوفة .

معيار المصفوفة هو معيار متجه ينتمي إلى بحيث إذا كانت تمثل معيار المصفوفة فإن:

  • إذا كان
  • لكل في لكل المصفوفات تنتمي إلى
  • لكل المصفوفات و في

بالإضافة إلى ذلك، فإنه في حالة المصفوفة المربعة m = n فإن بعض (وليس الكل) المصفوفات تحقق التالي:

  • لكل المصفوفات و في

معيار العامل الرياضي

[عدل]

إذا كان معيار المتجه في و معطي (حيث هو مجال الأعداد الطبيعية والمركبة) فإنه يمكن تعريف معيار العامل الرياضي المكافئ كما يلي:

ويكون معيار العامل الرياضي المكافئ للمعيار p في المتجهات (ويرمز له ب ) كما يلي:

حيث p ≥ 1

هناك 3 الحالات الخاصة عند ∞,p = 1,2, ، يمكن حساب قيم المعيار كما يلي:

  • وهو ببساطة أقصي مجموع مطلق لعمود من أعمدة المصفوفة
  • وهو ببساطة أقصى مجموع مطلق لصف من صفوف المصفوفة
  • هذه العلاقة صحيحة بشرط أن تكون المصفوفة من الدرجة -1 أو صفرية.

مثال:

  • إذا كانت المصفوفة معطاة كالتالي

فإن

و

عند p = 2 فإن المعيار يسمي المعيار الإكليدي (بالإنجليزية: Euclidean norm)‏ وفي هذه الحالة يساوي أكبر قيمة فردية ويساوي أيضًا الجذر التربيعي للقيمة الذاتية للمصفوفة المعرفة الموجبةAA :

[1]

حيث A تمثل مرافق المصفوفة A.

مراجع

[عدل]
  1. ^ Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, §5.2, p.281, Society for Industrial & Applied Mathematics, June 2000.