قطع ناقص

القطع الناقص أو الإهليلج (بالإنجليزية: ellipse) (الكلمة آتية من اللاتينية بمعنى نقص absence) هو المنحني الجبري المستوي الذي يحقق أن مجموع بعد أي نقطة من هذا المنحنى عن نقطتين ثابتين داخله (تسميان البؤرتين foci واحده بؤرة focus) يبقى ثابتا.

القطع الناقص وبعض خصائصه

القطع الناقص هو أيضا أحد أنواع القطوع المخروطية, فعند قطع مخروط بمستوى يقطع جميع رواسمه(generatrix) نحصل على قطع ناقص.

خواص مماسية

الخط المماس اهليج في نقطة P يشكل زاويتين متساويتين مع الخطين المارين بالنقطة P وبالبؤرتين F2, F1 (انظر الشكل المرفق).

الخط المماس اهليج يكون عمودي على منصف الزاوية التي ضلعيها يمرا ببؤرتي الاهليج

دعونا نرى بعض النتائج المترتبة على هذا البيان.

في طاولة بلياردو على شكل اهليج, إذا القينا كرة على حفتها من إحدى بؤرتيها ستنعكس بالضرورة على البؤرة الأخرى. والشيء نفسه يحدث في مرآة مقعرة على شكل اهليج فيه جميع أشعة الضوء المنبعثة من بؤرة تمر بالضرورة بالبؤرة الأخرى بغض النظر عن اتجاه كل شعاع. وبالمثل ، في غرفة على شكل قطع ناقص الموجات الصوتية التي تبدأ في بؤرة تصل إلى البؤرة الأخرى من كل الاتجاهات وبما أن مسافة المسار للوصول من بؤرة إلى أخرى متساوية فان موجات تصل بشكل متزامنة تماما : هذا ما يفسر أيضا سهولة التواصل السمعي بين شخصين موضوعين في البؤرتين حتى إذا ما كانا متباعدين. وعلى هذا المبدأ يمكن ان يستند بناء بعض قاعات المسارح.

المعادلات الجبرية

جبريا, القطع الناقص هو منحنى في المستوى الكارتيزي معرف بالمعادلة:

$A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0\,$

بحيث ان جميع المعاملات حقيقية وبحيث $B^2 < 4 AC$. وجود أكثر من حل لقيم معينة لx, يعرف زوجا من النقاط $(x, y_1)\,$ و$(x, y_2)\,$ تقع على القطع الناقص.

ولإيجاد القانون العام للقطع الناقص, نستعمل التعريف التالي:

$PS = e. PM \,$

حيث:

$P\,$ هي نقطة $(x,y)\,$ تقع على القطع

$S\,$ البؤرة

$e\,$ معامل الاختلاف المركزي $(1>e>0)\,$

و$M/,$ هي مسقط العمودي لـ $P\,$ على الدليل

و يعبر القانون (أو المعادلة) على كون نسبة المسافة بين النقطة والبؤرة والمسافة بين النقطة والدليل ثابتة وتساوي معامل التباعد المركزي $e\,$.

يمكن تبسيط معادلة القطع الناقص أكثر بدلالة القطرين a وb بالصورة:

$\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1\,$

لاحظ العلاقة الخاصة عندما يكون a مساويا لـ b يمكن الحصول على معادلة الدائرة (بوضع $a=b=R\,$)

$\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = \frac{x^2}{R^2} +\frac{y^2}{R^2} = 1\,$

$x^2 +y^2 = R^2\,$

تعطى بؤرة القطع الناقص (التباعد المركزي) بالعلاقة:

$e=\varepsilon=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}} =\sqrt{1-\left(\frac{b}{a}\right)^2}$

كما أن المسافة من أي من البؤرتين إلى المركز هي $ae\,$, وهي أيضا $\sqrt{a^2-b^2}$

يمكن إعادة تعريف القطع الناقص عندما تنزاح محاوره عن نقطة الأصل إلى نقطة $(x_0,y_0)\,$ على الصورة:

$\frac{(x-x_0)^2}{a^2} +\frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1\,$

طرق عملية لرسم القطع الناقص

هناك العديد من الطرق منها مايلي.

طريقة الخيط والمسمارين

تعتبر هذه الطريقة من أدق الطرق المستعملة في رسم القطاعات الناقصة كما تتميز بسهولة استخدامها إذ تعتمد فقط على تحريك خيط مثبت بين مسمارين. لرسم قطع ناقص يمكن اتباع التعريف والستعانة بخيط قوي مقاوم للمرونة واللدونة (مثل خيط إبرة الخياط) وعمل الاتي:

• من تعريف القطع الناقص فإن مجموع أي ضلعين ممتدين من البؤرة وملتقيان في الطرف الاخر يكون ثابتا وهذا في الحقيقة يمثل طول الخيط الإجمالي (يمكن زيادة طول الخيط احتياطيا والتحكم بالطول المراد بواسطة تحديد البؤرتين كما سيلي) L.
• لتحديد طول الخيط L بدلالة القطر الطولي 2a نعلم أن الحالة الخاصة للخيط هي عندما يكون مشدودا بين البؤرتين وعلى محورهما وبالتالي يصبح طوله مساويا للبعد بين البؤرتين مضافا إليه بعد البؤرتين عن المنحنى (على نفس المحور) وهو نفس القطر الطوري للقطع الناقص أي $L = 2a\,$.
• لتحديد البعد بين البؤرتين المراد تثبيت طرفي الخيط عليهما نعلم أن الحالة الخاصة الثانية هي عندما يتم شد الخيط من وسطه ليصبح عموديا على المحور أو القطر الطولي وهنا باستعمال متطابقة فيثاغورث, نجد أن البعد بين البؤرتين بدلالة طل من القطر الطولي 2a والقطر العرضي 2b هي:

$2ea=2\sqrt{a^2-b^2}=2\sqrt{(L/2)^2-b^2}=\sqrt{L^2-4b^2}$

• الآن وبعد تجهيز الخيط ومعرفة البعد بين البؤرتين يمكن تثبيت الخيط بمسمارين البعد بينهما يساوي 2ea والبدء بتحريك قلم أو أداة الرسم لتنزلق حول الخيط المشدود وتكمل مسارا مغلقا.

طريقة المسطرة والإطار

طريقة المسطرة والإطار

في هذه الطريقة تثقب المسطرة من نقطة غير الوسط (لغير الدائرة) وتنزلق بين ضلعي إطار متعامدين. إذا وضع قلم الرسم مثلا داخل الثقب سيتم رسم ربع قطع الناقص في كل انزلاق مكتمل.

طريقة الاسطوانة المقطوعة

تتمثل هه الطريقة في عمل اسطوانة دائرية قطرها يساوي القطر الأصغر للقطع المطلوب ثم يتم قطعها (بالمنشار مثلا) بشكل مائل بحيث يكون امتداد طوله مساوي طول القطر الأكبر في القطع الناقص. يصبح السطح المقطوع صورة مثالية للقطع الناقص ويمكن رسم القطع حوله عند تثبيته على ورقة الرسم.

الطرق العددية

يمكن الاستعانة بالتعريف الرياضي للقطع الناقص ورسم نقاط معينة لـ x و y بدلالة a وb. حيث يمكن تبسيط التعريف الأصلي إلى:

$y = \pm b \sqrt{1-x^2/a^2}$

عند وجود عدد كاف من النقاط لكل زوج (x,y) يمكن بوصل النقاط واحدة تلو الأخرى الحصول على صورة تقريبية للقطع الناقص. توجد طرق تقريبية أخرى مثل الدائرتين والشعاع والمماس.

الصورة البارامترية

تعطى الصورة البارامترية للقطع الناقص على المحور السيني بالصيغتين:

$X(t)=a\,\cos t$

$Y(t)=b\,\sin t$

حيث:

t متغير بارامتري (ليس زاوية حقيقية)

مساحة القطع الناقص

يمكن باستخدام التكامل المحدود إثبات أن مساحة القطع الناقص بدلالة a و b هي:

$A=\pi ab\,$

محيط القطع الناقص

قد يظن البعض أن محيط القطع الناقص قانون سهل, وفي الحقيقة لايمكن إيجاد صيغة أساسية لمحيط القطع الناقص ولكن يمكن إيجاد صيغ تكرارية أشهرها الصيغ المستنتجة من قوانين تكامل طول المنحنى.

$C = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2\varepsilon^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{\varepsilon^4\over 3} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{\varepsilon^6\over5} - \dots}\right]$

وبطريقة أشمل

$C = 2\pi a \sum_{n=0}^\infty {\left\lbrace - \left[\prod_{m=1}^n \left({ 2m-1 \over 2m}\right)\right]^2 {\varepsilon^{2n}\over 2n - 1}\right\rbrace};\,\!$

كما تعطي طريقة رامانجن تقريبا أفضل:

$C \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]$

وبتقريب آخر:

$C\approx\pi\left(a+b\right)\left(1+\frac{3\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2}{10+\sqrt{4-3\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2}}\right);\!\,$

كحالة خاصة عندما يكون القطر الأصغر نصف الأكبر:

$C \approx \frac{\pi a (9 - \sqrt{35})}{2}$

وبتقريب أفضل

$C \approx \frac{a}{2} \sqrt{93 + \frac{1}{2} \sqrt{3}}$

انظر أيضا

• لا مركزية (رياضيات)
• دائرة
• قطع مخروطي
• مخروط
• إسطوانة
• سطح ناقص
• نصف المحور الرئيسي