قطع ناقص

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث


القطع الناقص أو الإهليلج هو المنحني الجبري المستوي الذي يحقق أن" مجموع بُعد أي نقطة على هذا المنحنى عن نقطتين ثابتين داخله (تسميان البؤرتين ) يبقى ثابتا."

البؤرتان هما النقطتان F1 و F2 في الشكل .
القطع الناقص وبعض خصائصه

القطع الناقص هو أيضا أحد أنواع القطوع المخروطية, فعند قطع مخروط بمستوى يقطع جميع رواسمه(generatrix) نحصل على قطع ناقص.

نهتم بالقطع الناقص بصفة خاصة بسبب أن الأجرام السماوية تسير في أفلاك حول الشمس في مدارات في شكل القطع الناقص ، وتحتل الشمس أحد بؤرتيه. هذا ما توصلت إليه قوانين كيبلر. فعند مشاهدة مذنب يأتي من الجزء الخارجي للمجموعة الشمسية منجذبا إلى الشمس تزداد سرعته تدريجيا ثم يُجري منحنيا خلفها ثم يعود من حيث أتي وتنخفض سرعته ثانيا إثناء ابتعاده عن الشمس . هذا المسار يكون في شكل قطع ناقص.

خواص مماسية[عدل]

مقطع في مخروط يمثل قطع ناقص.

أنظر الشكل 1: النقطة P هي إحدى النقط على القطع الناقص . والنقطتان F1 و F2 هما بؤرتي القطع الناقص . إذا وصـّلنا خيطا طويلا شيئا ما بين البؤرتين وقمنا من النقطة P برسم محيط حولهما نحصل على شكل القطع الناقص .

إذا أقمنا العمودي على خط المماس عند النقطة P فإن العمودي يقسم الزاوية بين PF2 و 1 PF إلى زاويتين متساويتين (انظر الشكل المرفق).

شكل 1 :العمودي على المماس عند أي نقطة P ينصف الزاوية التي يمر ضلعيها ببؤرتي القطع الناقص.

دعونا نرى بعض النتائج المترتبة على هذا البيان.

في طاولة بلياردو على شكل اهليج, إذا القينا كرة على حفتها من إحدى بؤرتيها ستنعكس بالضرورة على البؤرة الأخرى. والشيء نفسه يحدث في مرآة مقعرة على شكل اهليج فيه جميع أشعة الضوء المنبعثة من بؤرة تمر بالضرورة بالبؤرة الأخرى بغض النظر عن اتجاه كل شعاع. وبالمثل ، في غرفة على شكل قطع ناقص الموجات الصوتية التي تبدأ في بؤرة تصل إلى البؤرة الأخرى من كل الاتجاهات وبما أن مسافة المسار للوصول من بؤرة إلى أخرى متساوية فان موجات تصل بشكل متزامنة تماما : هذا ما يفسر أيضا سهولة التواصل السمعي بين شخصين موضوعين في البؤرتين حتى إذا ما كانا متباعدين. وعلى هذا المبدأ يمكن ان يستند بناء بعض قاعات المسارح.

المعادلات الجبرية والتباعد المركزي[عدل]

شكل2:القطع الناقص وبعض خواصه:
المحور الأكبر هي المسافة بين a , -a
المحور الأصغر هي المسافة b , -b
PF1+ PF2 =2a
e=PF2/PD
e= معامل التباعد المركزي.

جبريا, القطع الناقص هو منحنى في المستوى الكارتيزي معرف بالمعادلة:

A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0\,

بحيث ان جميع المعاملات حقيقية وبحيث  B^2 < 4 AC . وجود أكثر من حل لقيم معينة لx, يعرف زوجا من النقاط (x, y_1)\, و(x, y_2)\, تقع على القطع الناقص.


نستمد من الشكل 2 بعض خواص القطع الناقص. ولإيجاد القانون العام للقطع الناقص , نستعمل التعريف التالي:

 PF2 = e. PD

حيث:

P, هي نقطة (x,y)\, تقع على القطع
F2\, إحدى البؤرتين , (F1 هي البؤرة الثانية للقطع الناقص)
PF2 المسافة بين P , F2،
e\, معامل التباعد المركزي (1>e>0)\,
وD/, هي مسقط العمودي من النقطة P على الدليل D d.

و يعبر القانون (أو المعادلة) على كون نسبة المسافة بين النقطة والبؤرة والمسافة بين النقطة والدليل ثابتة وتساوي معامل التباعد المركزي e\,.

يمكن تبسيط معادلة القطع الناقص أكثر بدلالة القطرين a وb بالصورة:

 \frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1\,

لاحظ العلاقة الخاصة عندما يكون a مساويا لـ b يمكن الحصول على معادلة الدائرة (بوضع a=b=R\,)

 \frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = \frac{x^2}{R^2} +\frac{y^2}{R^2} = 1\,
 x^2 +y^2 = R^2\,

يعطى معامل التباعد المركزي أيضا بالعلاقة:

e=\varepsilon=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}} =\sqrt{1-\left(\frac{b}{a}\right)^2}

كما أن المسافة من أي من البؤرتين إلى المركز هي ae\,, وهي أيضا \sqrt{a^2-b^2}

يمكن إعادة تعريف القطع الناقص عندما تنزاح محاوره عن نقطة الأصل إلى نقطة (x_0,y_0)\, على الصورة:

 \frac{(x-x_0)^2}{a^2} +\frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1\,

طرق عملية لرسم القطع الناقص[عدل]

هناك العديد من الطرق منها مايلي.

طريقة الخيط والمسمارين[عدل]

تعتبر هذه الطريقة من أدق الطرق المستعملة في رسم القطاعات الناقصة كما تتميز بسهولة استخدامها إذ تعتمد فقط على تحريك خيط مثبت بين مسمارين. لرسم قطع ناقص يمكن اتباع التعريف والستعانة بخيط قوي مقاوم للمرونة واللدونة (مثل خيط إبرة الخياط) وعمل الاتي:

  • من تعريف القطع الناقص فإن مجموع أي ضلعين ممتدين من البؤرة وملتقيان في الطرف الاخر يكون ثابتا وهذا في الحقيقة يمثل طول الخيط الإجمالي (يمكن زيادة طول الخيط احتياطيا والتحكم بالطول المراد بواسطة تحديد البؤرتين كما سيلي) L.
  • لتحديد طول الخيط L بدلالة القطر الطولي 2a نعلم أن الحالة الخاصة للخيط هي عندما يكون مشدودا بين البؤرتين وعلى محورهما وبالتالي يصبح طوله مساويا للبعد بين البؤرتين مضافا إليه بعد البؤرتين عن المنحنى (على نفس المحور) وهو نفس القطر الطوري للقطع الناقص أي L = 2a\,.
  • لتحديد البعد بين البؤرتين المراد تثبيت طرفي الخيط عليهما نعلم أن الحالة الخاصة الثانية هي عندما يتم شد الخيط من وسطه ليصبح عموديا على المحور أو القطر الطولي وهنا باستعمال متطابقة فيثاغورث, نجد أن البعد بين البؤرتين بدلالة طل من القطر الطولي 2a والقطر العرضي 2b هي:
2ea=2\sqrt{a^2-b^2}=2\sqrt{(L/2)^2-b^2}=\sqrt{L^2-4b^2}
  • الآن وبعد تجهيز الخيط ومعرفة البعد بين البؤرتين يمكن تثبيت الخيط بمسمارين البعد بينهما يساوي 2ea والبدء بتحريك قلم أو أداة الرسم لتنزلق حول الخيط المشدود وتكمل مسارا مغلقا.

طريقة المسطرة والإطار[عدل]

طريقة المسطرة والإطار

في هذه الطريقة تثقب المسطرة من نقطة غير الوسط (لغير الدائرة) وتنزلق بين ضلعي إطار متعامدين. إذا وضع قلم الرسم مثلا داخل الثقب سيتم رسم ربع قطع الناقص في كل انزلاق مكتمل.

طريقة الاسطوانة المقطوعة[عدل]

تتمثل هه الطريقة في عمل اسطوانة دائرية قطرها يساوي القطر الأصغر للقطع المطلوب ثم يتم قطعها (بالمنشار مثلا) بشكل مائل بحيث يكون امتداد طوله مساوي طول القطر الأكبر في القطع الناقص. يصبح السطح المقطوع صورة مثالية للقطع الناقص ويمكن رسم القطع حوله عند تثبيته على ورقة الرسم.

الطرق العددية[عدل]

يمكن الاستعانة بالتعريف الرياضي للقطع الناقص ورسم نقاط معينة لـ x و y بدلالة a وb. حيث يمكن تبسيط التعريف الأصلي إلى:

 y = \pm b \sqrt{1-x^2/a^2}

عند وجود عدد كاف من النقاط لكل زوج (x,y) يمكن بوصل النقاط واحدة تلو الأخرى الحصول على صورة تقريبية للقطع الناقص. توجد طرق تقريبية أخرى مثل الدائرتين والشعاع والمماس.

الصورة البارامترية[عدل]

تعطى الصورة البارامترية للقطع الناقص على المحور السيني بالصيغتين:

X(t)=a\,\cos t
Y(t)=b\,\sin t

حيث:

t متغير بارامتري (ليس زاوية حقيقية)

مساحة القطع الناقص[عدل]

يمكن باستخدام التكامل المحدود إثبات أن مساحة القطع الناقص بدلالة a و b هي:

A=\pi ab\,

محيط القطع الناقص[عدل]

قد يظن البعض أن محيط القطع الناقص قانون سهل, وفي الحقيقة لايمكن إيجاد صيغة أساسية لمحيط القطع الناقص ولكن يمكن إيجاد صيغ تكرارية أشهرها الصيغ المستنتجة من قوانين تكامل طول المنحنى.

C = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2\varepsilon^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{\varepsilon^4\over 3} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{\varepsilon^6\over5} - \dots}\right]

وبطريقة أشمل

C = 2\pi a \sum_{n=0}^\infty {\left\lbrace - \left[\prod_{m=1}^n \left({ 2m-1 \over 2m}\right)\right]^2 {\varepsilon^{2n}\over 2n - 1}\right\rbrace};\,\!

كما تعطي طريقة رامانجن تقريبا أفضل:

C \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]

وبتقريب آخر:

C\approx\pi\left(a+b\right)\left(1+\frac{3\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2}{10+\sqrt{4-3\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2}}\right);\!\,

كحالة خاصة عندما يكون القطر الأصغر نصف الأكبر:

C \approx \frac{\pi a (9 - \sqrt{35})}{2}

وبتقريب أفضل

C \approx \frac{a}{2} \sqrt{93 + \frac{1}{2} \sqrt{3}}

انظر أيضا[عدل]