مبرهنة فيرما الصغرى

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

تنص مبرهنة فيرما الصغرى على أنه إذا كان p عددا أوليا, فإنه ولأي عدد صحيح a ،تكون ap - a قابلة للقسمة على p،ويمكن كتابتها رياضياتيا بالعلاقة:

a^p \equiv a \pmod{p} \,

سميت المبرهنة بهذا الاسم لتمييزها عن مبرهنة فيرما الأخيرة. بعبارة أخرى, إذا أخذ عدد a وضرب في نفسه p مرة ثم طرح منه a فالعدد الناتج من هذه العمليات يقبل القسمة على p.

يمكن أيضاً كتابة العلاقة السابقة بالصورة:

a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}.\,\!

مبرهنة فيرما الصغرى[عدل]

ليكن p عددا اوليا موجبا

(\forall n\in \mathbb{N}):{{n}^{p}}\equiv n\left[ p \right]

          ملاحظة :مبرهنة فيرما الصغرى تضل صالحة في \mathbb{Z}

نتيجة مبرهنة فيرما الصغرى[عدل]

ليكن p عددا اوليا موجبا

اذا كان n\wedge p=1 فإن (\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}):{{n}^{p-1}}\equiv 1\left[ p \right]

البرهنة[عدل]

سنثبت النظرية باستخدام الاستقراء الرياضي لكل الأعداد الصحيحة الموجبة a ≥ 0. خطوة الأساس هي حينما 0 p ≡ 0 (mod p) صحيحة لأنها صحيحة للأعداد الصحيحة. ثم نثبتها لـa = k ومنها ننطلق لـa = k+1. ولهذه الخطوة سنحتاج إلى الاستدلال:

استدلال:[عدل]

لأي عدد أولي p فإن

(x+y)^p \equiv x^p+y^p \pmod{p}.\,


لبرهنة الاستدلال سنحتاج إلى تقديم نظرية ذات الحدين والتي تنص على أنه لأي عدد صحيح n

(x+y)^n=\sum_{i=0}^n{n \choose i}x^{n-i}y^i,

حيث المعاملات معاملات ذات الحدين
{n \choose i}=\frac{n!}{i!(n-i)!},

والتي يمكن كتابتها بصيغة المضروب

{n \choose i}=\frac{n!}{i!(n-i)!},

و حيث أن جميع المعاملات أعداد صحيحة وحين 0 < p > i فإنه لايوجد قاسم لـp في المقام ، وبالتالي فإن المعامل يحتوي على قاسم p في البسط وبالتالي

{p \choose i} \equiv 0 \pmod{p},\qquad 0 < i < p.
وهذا يقصي جميع الحدود ماعدا الحدين الأول والأخير .

البرهان بالاستقراء[عدل]


لنفرض أن (kpk (mod p و لننظر لـk+1)p) من الاستدلال لدينا

(k+1)^p \equiv k^p + 1^p \pmod{p}.\,

وباستخدام نظرية الاستقراء لدينا (kpk (mod p; وببساطة 1p = 1

وبالتالي نحصل على (k+1)^p \equiv k + 1 \pmod{p}\,

وهو مانريد إثباته a = k+1. ∎

عموميات[عدل]

إذا كان p' عددا أوليا وكان m وn عددين صحيحين طبيعيين حيث m يوافق n بترديد p-1, فإن لكل عدد صحيح ؟ لدينا: aman (بترديد p). (≡ يوافق بترديد)

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]