عاملي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الرياضيات، المضروب أو العاملي لعدد صحيح طبيعي n، والذي يكتب n!، والذي يقرأ "عاملي n"، هو جداء الأعداد الصحيحة الموجبة قطعا والأصغر أو تساوي n.

فيما يلي مثال 5 عاملي :

5 ! = 5  \times  4  \times  3  \times  2  \times  1 = 120  \

و تعريف العاملي على شكل جداء يترتب عنه كون 0! = 1 ذلك أن 0! جداء مفرغ، وبمعنى آخر مقتصر على العنصر المحايد في عملية الضرب.

تظهر دالة العاملي في مجالات مختلفة من الرياضيات، وخصوصا في التوافقيات والجبر والتحليل الرياضي. أبسط مثال على ذلك، وجود !n طريقة مختلفة لترتيب عناصر مجموعة عددهم مساو ل n (أي عدد التبديلات لعناصر هاته المجموعة). عرفت هذه الحقيقة على الأقل منذ القرن الثاني عشر الميلادي، من طرف علماء الرياضيات الهنديين. و يظهر العاملي في عدة معادلات رياضية، مثل صيغة الثنائي لنيوتن وصيغة تايلور. استعمل رمز علامة التعجب (!) للتعبير عن دالة عاملي لأول مرة من طرف عالم الرياضيات كريستيان كرامب وكان ذلك عام 1808.

يمكن لتعريف دالة عاملي أن يمدد إلى أعداد غير صحيحة بدون المساس بخصائص هاته الدالة. هذا العملية تستلزم تقنيات متطورة في الرياضيات وخصوصا تلك المستقاة من التحليل الرياضي.

تعريف[عدل]

تعرف دالة عاملي بالصيغة التالية:

n! = \prod_{i=1}^n i = 1\times 2\times 3\times \cdots \times (n-1) \times n

أو عن طريق الاستدعاء الذاتي كما يلي

 n! = \begin{cases}
1 & \text{if } n = 0, \\
(n-1)!\times n & \text{if } n> 0.
\end{cases}

وكلا التعريفين يضم المتساوية التالية :

0! = 1, \

تطبيقات[عدل]

\binom nk=\frac{n^{\underline k}}{k!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{n^{\underline{n-k}}}{(n-k)!}=\binom n{n-k}.

نظرية الأعداد[عدل]

لدالة عاملي عدة تطبيقات في مجال نظرية الأعداد. وبشكل خاص، عاملي n قابل للقسمة على جميع الأعداد الأولية الأصغر من أو تساوي n. ونتيجة لذلك، فإن n> 5، عدد مؤلف، إذا وفقط إذا توفر ما يلي :

(n-1)!\ \equiv\ 0 \pmod n

وهنالك نتيجة أقوى من ذلك تتمثل في مبرهنة ويلسون. تنص هاته المبرهنة على ما يلي:

(p-1)!\ \equiv\ -1 \pmod p

إذا وفقط إذا كان p أوليا.

سرعة النمو و تقريبات عندما يصير n كبيرا[عدل]

تبيان للوغاريتم الطبيعي مطبق على دالة عاملي

عندما يصير n كبيرا، تصير دالة عاملي أكبر من أي متعددة حدود ومن أي دالة أسية ل n.(ولكنها تبقى أبطأ من دالة الأس المزدوج).

أغلب التقريبات لعاملي n تعتمد أساسا على تقريب لوغارتمها الطبيعي كما تبين الصيغة :

\log n! = \sum_{x=1}^n \log x..

تبيان الدالة (!f(n) = log(n مبين في يسار هاته الفقرة، حيث يبدو أنها خطية مع n (أي أنها متناسبة معه) إلا أن هذا الحدس خاطئ.

تعطينا صيغة ستيرلينغ مقاربا ل n! عندما تكون n كبيرة :

\lim_{n\to+\infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi n} (n/e)^n}=1.

الحساب و البرمجة[عدل]

يمكن حساب عاملي عدد ما باستعمال خوارزميات الاستقراء. فلنكتب باستعمال لغة Scheme، القريبة من لغة Lisp، برنامجا استقرائيا يعطينا عاملي عدد صحيح :

(define fact
  (lambda (x)
    (if (= x 0) 1
      (* x (fact (- x 1))))))

و هذا البرنامج السابق غير مفيد في حالة الاعداد الكبيرة.

و بنفس الطريقة في Caml :

let rec fact n = 
  match n with
    | 0 -> 1
    | _ -> n * fact(n-1)
;;

و بطريقة أخرى:

let fact n =
  let rec aux n r =
    match n with
      | 0 -> r
      | _ -> aux (n-1) (n*r)
  in
  aux n 1
;;

و في لغة سي:

 int factorielle_recursive(int n)
 {
   if (n == 0)
     return 1;
     return n * factorielle_recursive(n-1);
 }
و بطريقة أخرى:

و بطريقة أخرى:

 int factorielle_iterative(int n)
 {
   int res;
    
   for (res = 1; n> 1; n--)
     res *= n;
    
   return res;
 }

و في لغة Python:

 fact = lambda x : x>0 and x*fact(x-1) or 1
 
 ------------
 
 الاستعمال :
 for i in range(10):
     print "fact %d = %d" %(i, fact(i))
 
 ويظهر على الشاشة :
 fact 0 = 1
 fact 1 = 1
 fact 2 = 2
 fact 3 = 6
 fact 4 = 24
 fact 5 = 120
 fact 6 = 720
 fact 7 = 5040
 fact 8 = 40320
 fact 9 = 362880

هذه الدوال (البرامج) لا تمكننا من حساب عملي أعداد أكبر من 12 إذا كانت الاعداد الصحيحة محدودة بـ 32 بت، لأن النتيجة تتعدى المساحة المتوفرة.

تمديد دالة عاملي للأعداد غير الصحيحة[عدل]

دالتا غاما و π[عدل]

لكل عدد صحيح n، لدينا \Gamma(n+1) = n! حيث Γ هي دالة أويلر(دالة غاما) وضعها ليونهارد أويلر. وتمكننا هاته الدالة من تعميم العاملي على مجموعة الأعداد المركّبة باستثناء الأعداد السالبة قطعا. وفي النهاية نجد :

\Gamma(z+1)=\int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, \mathrm{d}t=z! \ \forall z>-1

تطبيقات دالة غاما[عدل]

دالة عاملي والمستوى العقدي[عدل]

تقريبات لدالة عاملي[عدل]

دوال وجداءات تشبه دالة عاملي[عدل]

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]