مبرهنة ليندمان-فايرشتراس

  هذه المقالة عن مبرهنة ليندمان فايرستراس. لمعانٍ أخرى، طالع مبرهنة فايرستراس (توضيح).

في الرياضيات، مبرهنة ليندمان-فايرشتراس (بالإنجليزية: Lindemann–Weierstrass theorem)‏ هي نتيجة كثيرة النفع في إثبات تسامي عدد ما من عدمه.

سميت هذه المبرهنة هكذا نسبة إلى عالمي الرياضيات فيردينوند فون ليندمان و كارل فايرشتراس.

البرهان

ظهر أول برهان على تسامي العدد e سنة 1873. سنتبع هنا طريقة ديفيد هيلبرت (1862 - 1943) والذي بسط البرهان الأصلي لتشارلز هيرمت. الفكرة هي كالتالي:

نفترض أن العدد E هو عدد جبري، وذلك للحصول على تناقض في النهاية. إذن توجد مجموعة منتهية من المعاملات الصحيحة $c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}\,$ التي تحقق المعادلة:

$c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0\,$

بحيث يكون كلا العددان $c_{0}$ و$c_{n}$ مخالفين للصفر.

نختار عددا كبيرا k بما يكفي وذلك حسب قيمة n.

نضرب طرفي المعادلة بـ $\int _{0}^{\infty }\,$، في حين سنستعمل الترميز التالي $\int _{a}^{b}\,$ كاختصار للتكامل:

$\int _{a}^{b}=\int _{a}^{b}x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}\,dx\,$.

سنصل إلى المعادلة:

$c_{0}\int _{0}^{\infty }+c_{1}e\int _{0}^{\infty }+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{0}^{\infty }=0\,$

والتي يمكن الآن كتابتها على الشكل:

$P_{1}+P_{2}=0\,$

حيث

$P_{1}=c_{0}\int _{0}^{\infty }+c_{1}e\int _{1}^{\infty }+c_{2}e^{2}\int _{2}^{\infty }+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{n}^{\infty }\,$

$P_{2}=c_{1}e\int _{0}^{1}+c_{2}e^{2}\int _{0}^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{0}^{n}\,$

الهدف الآن هو أن نبين من أجل k كبير بما يكفي، يستحيل تحقيق المتساويات أعلاه لأن :${\frac {P_{1}}{k!}}\,$ هو عدد صحيح يخالف الصفر، في حين العدد ${\frac {P_{2}}{k!}}\,$ ليس كذلك.

والسبب في أن ${\frac {P_{1}}{k!}}\,$ عدد صحيح يخالف الصفر يأتي من العلاقة:

$\int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx=j!\,$

وهي صحيحة لكل عدد صحيح موجب j ويمكننا البرهنة عليها بالترجع عن طريق مكاملة بالأجزاء.

ولكي نبرهن على أن:

$\left|{\frac {P_{2}}{k!}}\right|<1\,$ من أجل k كبير بما يكفي

نشير أولا إلى أن $x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}\,$ هو جداء الدوال $[x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k}\,$ و$(x-1)(x-2)\cdots (x-n)e^{-x}\,$. وباستعمال المحد العلوي لـ $|x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)|\,$ و$|(x-1)(x-2)\cdots (x-n)e^{-x}|\,$ على المجال $[n,0]$ وبما أن:

$\lim _{k\to \infty }{\frac {G^{k}}{k!}}=0\,$ لكل عدد حقيقي G.

وهذا كاف لإكمال البرهان.

يمكن استعمال طريقة ممثالة، مختلفة عن عن المقاربة الأصلية لـ (لندمان)، للبرهنة على أن e عدد متسام. زيادة على ذلك، تلعب بعض التقديرات وبعض خصائص الحدوديات المتماثلة دورا حيويا في البرهان.