ه (رياضيات)

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
صورة منحنى العدد النيبيري

e (عربي: ه‍) يسمى عدد أويلر نسبة إلى العالم ليونهارد أويلر، ويقال عنه العدد النيبيري نسبة إلى عالم الرياضيات الإسكتلندي جون نيبير. هو عدد حقيقي غير نسبي يساوي تقريبا 2.718281828، ويوجد للعدد النيبيري أهمية كبيرة في الرياضيات والعلوم، وقد فتح الباب لحل المعادلات التفاضلية وخصوصا الخطية والحقيقة أنه بالتالي قد قدم إجابات عن عدد من المسائل الفيزيائية والهندسية لا حدود لها و خصوصاً عند تعميم مجال استخدام الدالة في حقل الأعداد المركبة (الأعداد العقدية) فيكون هكذا حل الكثير من المسائل حلولاً ينتج عنها الدالة الجيبية أو التجيبية على حد سواء.

التاريخ[عدل]

نشرت أول إشارة لهذه الثابتة عام 1618 في عمل لجون نابير حول اللوغاريتمات. و لكن اكتشاف الثابة الفعلي يُنسب إلى ياكوب بيرنولي الذي حاول ايجاد نهاية للمتتالية التالية:

\lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n

تطبيقات[عدل]

الفائدة المركبة[عدل]

أثر ربح عشرين في المائة من الفائدة السنوية من استثمار أول مساو للألف دولار بترددات مختلفة لتركيب الفائدة

اكتشف ياكوب بيرنولي الثابتة خلال دراسته للفائدة المركبة.

في الحساب[عدل]

الثابت الرياضي e هو عدد حقيقي فريد من نوعه فمشتق دالته \operatorname{f}(x) = e^x عند النقطة x = 0 تساوي الواحد تماما ً. يطلق على هذه الدالة اسم دالة الأس الطبيعي ، وعلى معكوسها دالة اللوغاريتم الطبيعي. يمكن حساب قيمته من خلال السلسة الآتية

\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n

أو \lim_{{n \to 0}}\left( 1+n \right)^\frac{1}{n}

خصائص[عدل]

نظرية الأعداد[عدل]

العدد e عدد غير جذري. برهن على ذلك أويلر بالبرهان على كون الكسر المستمر البسيط الممثل ل e غير منته (انظر أيضا إلى البرهان على أن e عدد غير جذري من طرف فورييه).

الأعداد العقدية[عدل]

يمكن أن تكتب دالة الأس على شكل متسلسلة تايلور كما يلي:

 e^{x} = 1 + {x \over 1!} + {x^{2} \over 2!} + {x^{3} \over 3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}

صيغة أويلر:

e^{ix} = \cos x + i\sin x,\,\!

المعادلات التفاضلية[عدل]

الدالة العامة:

y(x) = Ce^x\,

هي الحل للمعادلة التفاضلية التالية:

y' = y.\,

منحنى الاقتران النيبيري[عدل]

يرسم منحنى الاقتران النيبيري بعدة اشكال، وهذا هو الشكل الأساسي:

\frac{d}{dx}e^x=\lim_{h\to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{e^{x}e^{h}-e^x}{h}=e^x\left(\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}\right).

مثال[عدل]

\frac{d}{dx}e^x=e^x.
\frac{d}{dx}(3e^x+x^2)=3e^x+2x.
\frac{d}{dx}(sin(e^x))=cos(e^x)(e^x).
\frac{d}{dx}(e^sinx)=(e^sinx)(cosx).
\frac{d}{dx}(x^2e^xsinx)=2xe^xsinx+(x^2)(e^xsinx)(1*sinx+x*cosx).

لاحظ: :\frac{d}{dx}e^u=e^u \frac{du}{dx}.

انظر أيضا[عدل]

وصلات خارجية[عدل]

Nuvola apps edu mathematics-ar.svg هذه بذرة مقالة عن الرياضيات بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.