جداء (رياضيات)

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الرياضيات، الجداء (بالإنكليزية: Product) هو نتيجة عملية ضرب كميتين اثنتين. الترتيب الذي تأتي فيه الأعداد الحقيقية أو العقدية في عملية الضرب ليس له تأثير على قيمة الجداء. هذه الخاصية تعني أن عملية الضرب هي عملية تبديلية.

جداء عددين[عدل]

جداء عددين طبيعيين[عدل]

3 في 4 تساوي 12

وضع عدد من الكرات على شكل مستطيل عدد أسطره r وعدد أعمدته s يعطي :

 r \cdot s = \sum_{i=1}^s r = \sum_{j=1}^r s

كرة.

جداء عددين صحيحين[عدل]

\begin{array}{|c|c  c|}\hline
\cdot & - & + \\ \hline
  -   & + & - \\ 
  +   & - & + \\ \hline
\end{array}

وبتعبير آخر:

  • جداء عددين سالبين يساوي عددا موجبا.
  • جداء عدد سالب وعدد موجب يساوي عددا سالبا.
  • جداء عدد موجب وعدد سالب يساوي عدد سالبا.
  • جداء عددين موجبين يساوي عددا موجبا.

جداء كسرين[عدل]

جداء كسرين هو كسر بسطه يساوي جداء بسط الكسرين ومقامه يساوي جداء مقام الكسرين، كما تبين ذلك الصيغة التالية:

 \frac{z}{n} \cdot \frac{z'}{n'} = \frac{z\cdot z'}{n\cdot n'}

جداء عددين حقيقيين[عدل]

جداء عددين عقديين[عدل]

يحسب جداء عددين عقديين باستعمال قانون التوزيعية وبعلم كون \mathrm i^2=-1 كما تبين ذلك الصيغة التالية:

\begin{align}
(a + b\,\mathrm i)\cdot (c+d\,\mathrm i) 
 & = a\cdot c + a \cdot d\,\mathrm i + b\cdot c \,\mathrm i + b\cdot d \cdot \mathrm i^2\\
 & = (a \cdot c - b\cdot d) + (a\cdot d + b\cdot c) \,\mathrm i
 \end{align}

المعنى الهندسي لجداء عددين عقديين[عدل]

عدد عقدي في تمثيله القطبي.

يمكن أن تكتب الأعداد العقدية في النظام الإحداثي القطبي كما يلي:

 a + b\,\mathrm i = r \cdot ( \cos(\varphi) + \mathrm i \sin(\varphi) ) = r \cdot \mathrm e ^{\mathrm i \varphi}

وبالإضافة إلى ذلك،

 c + d\,\mathrm i = s \cdot ( \cos(\psi) + \mathrm i \sin(\psi) ) = s \cdot \mathrm e ^{\mathrm i \psi} , ومن ذلك يحصل على ما يلي:
 (a \cdot c - b\cdot d) + (a\cdot d + b\cdot c) \,\mathrm i = r\cdot s \cdot ( \cos(\varphi+\psi) + \mathrm i \sin(\varphi+\psi) ) = r\cdot s \cdot \mathrm e ^{\mathrm i (\varphi+\psi)}

المعنى الهندسي لجداء عددين عقديين هو جداء معياريهما وجمع عمدتيهما.

جداء متتاليتين[عدل]

الجداءات في الجبر الخطي[عدل]

الجداء القياسي[عدل]

جداء قياسي هو تطبيق ثنائي الخطية:

 \cdot : V \times V \rightarrow \R

with the following conditions, that  v\cdot v > 0 for all  0 \not= v \in V .

From the scalar product, one can define a معيار by letting \|v\| := \sqrt{v\cdot v} .

الجداء القياسي يمكن أيضا من تعريف الزاوية المحصورة بين متجهتين كما يلي:

 \cos \angle (v,w) = \frac{v\cdot w}{\|v\| \cdot \|w\|}

في فضاء إقليدي بُعده n، الجداء القياسي الاعتيادي (يسمى ببساطة جداءا قياسيا) يعطى بالصيغة التالية:

 \left(\sum_{i=1}^n \alpha_i e_i \right) \cdot \left(\sum_{i=1}^n \beta_i e_i \right) = \sum_{i=1}^n \alpha_i\,\beta_i

الجداء الاتجاهي في الفضاء ثلاثي الأبعاد[عدل]

الجداء الاتجاهي

جداء مصفوفتين[عدل]

لتكن المصفوفتين

 A = (a_{i,j})_{i=1\ldots s;j=1\ldots r} \in \R^{s\times r} و  B = (b_{j,k})_{j=1\ldots r;k=1\ldots t}\in \R^{r\times t}

جداؤهما هو:

 B \cdot A = \left( \sum_{j=1}^r a_{i,j} \cdot b_{j,k} \right)_{i=1\ldots s;k=1\ldots t} \;\in\R^{s\times t}

تركيب دالتين خطيتين ممثلا بجداء مصفوفتين[عدل]

جداءات أخرى[عدل]

هناك العديد من أنواع الجداءات الأخرى اللائي يدرسن في الرياضيات:

انظر أيضا[عدل]

وصلات خارجية[عدل]