قائمة أعداد ميرسين الأولية والأعداد المثالية
![تصور العدد 6 كعدد مثالي، عن طريق المقسومات الصحيحة للعدد 6 وهم (1، 2، 3) ومجموعها يصل إلى 6.](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/db/Perfect_number_Cuisenaire_rods_6_exact.svg/220px-Perfect_number_Cuisenaire_rods_6_exact.svg.png)
أعداد ميرسين الأولية والأعداد المثالية هما نوعان من الأعداد الطبيعية، المرتبطة بشكلٍ وثيق بنظرية الأعداد. أعداد ميرسين الأولية، التي سُمِّيت باسم الراهب مارين ميرسين، هي أعداد أولية يمكن التعبير عنها على شكل 2p − 1، حيث p هو عدد صحيح موجب. على سبيل المثال، العدد 3 هو من أعداد ميرسين الأولية، لأنَّهُ عدد أولي يمكن التعبير عنه على شكل 22 − 1.[1][2][ع 1] يجدر بالذكر، أن العدد p المقابل لأعداد ميرسين الأولية، يجب أن يكون عدد أوليًا أيضًا، إلاَّ أن هذا لا يعني أن كُل عدد p أولي يؤدِّي بالضرورة إلى عدد ميرسين أولي، على سبيل المثال، العدد الأولي 11 إذا عوضنا به يكون الناتج 211 − 1 = 2047، وهو ليس من أعداد ميرسين لأنَّهُ حاصل ضرب 23 × 89.[3] بعبارةٍ أخرى، كُل أعداد ميرسين الأولية هي أعداد أولية، ولكن ليس كُل الأعداد الأولية تعتبر من أعداد ميرسين الأولية. من ناحية أخرى، الأعداد المثالية هي أعداد طبيعية تساوي مجموع قواسمها الموجبة الصحيحة باستثناء العدد نفسه. فعلى سبيل المثال، العدد 6 يُعد عددًا مثاليًا لأنَّ قواسمه الموجبة الصحيحة هي 1 و2 و3، وعند جمعها: 1 + 2 + 3 = 6.[2][4][ع 2]
هناك تقابل تام بين أعداد ميرسين الأولية والأعداد المثالية الزوجية، ولكن لا يزال من غير المعروف ما إذا كانت هناك أعداد مثالية فردية أم لا. يعود ذلك إلى مبرهنة إقليدس وأويلر، التي تمَّ إثباتها جزئيًا بواسطة إقليدس وأكملها ليونهارت أويلر: الأعداد الزوجية تكون مثالية إذا وفقط إذا كانت على شكل 2p − 1 × (2p − 1)، حيث 2p − 1 هو من أعداد ميرسين الأولية. بعبارةٍ أخرى، جميع الأعداد التي يمكن كتابتها بهذه الصيغة هي أعداد مثالية، وجميع الأعداد المثالية الزوجية تنطبق عليها هذه الصيغة. على سبيل المثال، في حالة p = 2 وهو عدد أولي، يكون الناتج من هذه العبارة 22 − 1 = 3 وهو من أعداد ميرسين الأولية، وعند ضربه في 22 − 1، يكون الناتج 22 − 1 × (22 − 1) = 2 × 3 = 6 هو عدد مثالي.[1][5][6][ع 2]
يُعتبر تحديد ما إذا كان هناك أعدد لا نهائي من أعداد ميرسين الأولية والأعداد المثالية الزوجية من المسائل الغير المحلولة في الرياضيات.[2][6] يتمحور موضوع تكرار أعداد ميرسين الأولية حول حدسيات ميرسين، التي تنص على أن العدد المتوقع من أعداد ميرسين التي تكون أقل من عدد معيَّن x هو (eγ / log 2) × log log x، حيث e هو عدد أويلر، وγ هو ثابت أويلر، وlog هو اللوغاريتم الطبيعي.[7][8][9] كما أنَّهُ لا يزال غير معروف ما إذا كانت هناك أعداد مثالية فردية أم لا، على الرغم من إثبات بعض الشروط المتعلقة بها، من بين هذه الشروط هو أنَّهُ إذا وُجد عدد مثالي فردي، فيجب أن يكون أكبر من 101500. هذه النتيجة تعني أن أي عدد مثالي فردي يجب أن يكون هائل الحجم، لكن حتَّى الآن، لم يتم العثور على أيِّ عدد مثالي فردي.[10]
فيما يلي قائمة بجميع أعداد ميرسين الأولية والأعداد المثالية المعروفة حاليًا، مع توضيح الأسس p المقابلة لكل عدد. حتَّى عام 2023م، تمَّ اكتشاف 51 عددًا أوليًا من أعداد ميرسين (وبالتالي 51 عددًا مثاليًا)، وقد تمَّ اكتشاف أكبر 17 عددًا منها من خلال مشروع الحوسبة الموزعة المعروف باسم «البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت» (بالإنجليزية: Great Internet Mersenne Prime Search) اختصارًا (GIMPS).[2][ع 2][ع 3] يتم اكتشاف أعداد ميرسين الأولية الجديدة باستخدام اختبار لوكاس ليهمر لأولية عدد ما (بالإنجليزية: Lucas–Lehmer test) اختصارًا (LLT)، وهو اختبار يستخدم لتحديد ما إذا كان عدد ميرسين معيَّن أوليًا أم لا، ويتميَّز بالكفاءة عند استخدامه في الحواسيب التي تعتمد على النظام الثنائي (أي نظام العد القائم على الرقمين 0 و1).[2][ع 4]
الترتيب الحالي لأعداد ميرسين الأولية يعتمد على المؤشِّرات التي كانت معروفة حتَّى عام 2022م. ومع أن احتمال اكتشاف أعداد أصغر من تلك المكتشفة حاليًا ضعيف، إلاَّ أنَّهُ في حالة حدوث ذلك، قد يتغير ترتيب الأعداد المعروف. وفقًا لمشروع GIMPS، تمَّ فحص جميع الأسس المحتملة التي تقل عن p = 57,885,161 (وهو الأس الذي يمثل العدد 48 من أعداد ميرسين الأولية) حتى يناير 2024.[11] هذا يعني أن جميع الأعداد ميرسين التي يكون أسها أقل من هذا الرقم قد تمَّ التحقق منها بالفعل، وبالتالي، من غير المحتمل أن يتم العثور على عدد جديد له أس أصغر من 57,885,161.
سنة الاكتشاف واسم المكتشف المشار إليهما في القائمة تتعلَّقان بعدد ميرسين الأولي المكتشف. وبما أن الأعداد المثالية الزوجية تتولَّد مباشرةً من أعداد ميرسين الأولية استنادًا إلى مبرهنة إقليدس وأويلر، فلا يتم ذكر اسم منفصل لمكتشف العدد المثالي؛ لأنَّ اكتشاف عدد ميرسين أولي يؤدِّي مباشرةً إلى اكتشاف العدد المثالي المقابل له. عندما يشار إلى المكتشف باسم «GIMPS / الاسم»، فهذا يعني أن الاكتشاف تمَّ عبر مشروع GIMPS، باستخدام عتاد حاسوب مملوكة لهذا الشخص. بالنسبة للأرقام الطويلة جدًا، يتم عرض أوَّل وآخر ستة أرقام منها فقط.
الترتيب | p | عدد ميرسين Mp |
عدد أرقام عدد ميرسين | العدد المثالي | عدد أرقام العدد المثالي | تاريخ الاكتشاف | المكتشف | طريقة الاكتشاف | المراجع[12] |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 3 | 1 | 6 | 1 | [ا] | عصور قديمةمعروف لدى علماء الرياضيات اليونانيِّين القدماء | غير مسجَّلة | [13][14][15] |
2 | 3 | 7 | 1 | 28 | 2 | [13][14][15] | |||
3 | 5 | 31 | 2 | 496 | 3 | [13][14][15] | |||
4 | 7 | 127 | 3 | 8128 | 4 | [13][14][15] | |||
5 | 13 | 8191 | 4 | 33550336 | 8 | [ب] | 1200sم / حوالي 1456مشخصان[ج] | القسمة المتكررة | [14][15] |
6 | 17 | 131071 | 6 | 8589869056 | 10 | 1588م[ب] | بييترو كاتالدي | [2][18] | |
7 | 19 | 524287 | 6 | 137438691328 | 12 | [2][18] | |||
8 | 31 | 2147483647 | 10 | 952128...230584 | 19 | 1772م | ليونهارت أويلر | القسمة المتكررة مع قيود معيارية | [19][20] |
9 | 61 | 693951...230584 | 19 | 842176...265845 | 37 | نوفمبر 1883 | إيفان ميخيفيتش بيرفوشين | متتالية لوكاس | [21] |
10 | 89 | 562111...618970 | 27 | 169216...191561 | 54 | يونيو 1911 | رالف إرنست باورز | [22] | |
11 | 107 | 288127...162259 | 33 | 728128...131640 | 65 | 1 يونيو 1914 | [23] | ||
12 | 127 | 105727...170141 | 39 | 152128...144740 | 77 | 10 يناير 1876 | إدوارد لوكا | [24] | |
13 | 521 | 057151...686479 | 157 | 646976...235627 | 314 | 30 يناير 1952 | رافائيل إم. روبنسون | اختبار لوكاس ليهمر (LLT) على حاسوب (SWAC) | [25] |
14 | 607 | 728127...531137 | 183 | 328128...141053 | 366 | [25] | |||
15 | 1,279 | 729087...104079 | 386 | 291328...541625 | 770 | 25 يونيو 1952 | [26] | ||
16 | 2,203 | 771007...147597 | 664 | 782528...108925 | 1,327 | 7 أكتوبر 1952 | [27] | ||
17 | 2,281 | 836351...446087 | 687 | 915776...994970 | 1,373 | 9 أكتوبر 1952 | [27] | ||
18 | 3,217 | 315071...259117 | 969 | 525056...335708 | 1,937 | 8 سبتمبر 1957 | هانز ريزل | اختبار (LLT) على حاسوب (BESK) | [28] |
19 | 4,253 | 484991...190797 | 1,281 | 377536...182017 | 2,561 | 3 نوفمبر 1961 | ألكسندر هورويتز | اختبار (LLT) على حاسوب (IBM 7090) | [29] |
20 | 4,423 | 580607...285542 | 1,332 | 534528...407672 | 2,663 | [29] | |||
21 | 9,689 | 754111...478220 | 2,917 | 577216...114347 | 5,834 | 11 مايو 1963 | دونالد بي. غيليز | اختبار (LLT) على حاسوب (ILLIAC II) | [30] |
22 | 9,941 | 463551...346088 | 2,993 | 496576...598885 | 5,985 | 16 مايو 1963 | [30] | ||
23 | 11,213 | 392191...281411 | 3,376 | 086336...395961 | 6,751 | 2 يونيو 1963 | [30] | ||
24 | 19,937 | 041471...431542 | 6,002 | 942656...931144 | 12,003 | 4 مارس 1971 | بريانت توكيرمان | اختبار (LLT) على حاسوب (IBM 360/91) | [31] |
25 | 21,701 | 882751...448679 | 6,533 | 605376...100656 | 13,066 | 30 أكتوبر 1978 | لاندون كيرت نول ولورا نيكل | اختبار (LLT) على حاسوب (CDC Cyber 174) | [32] |
26 | 23,209 | 264511...402874 | 6,987 | 666816...811537 | 13,973 | 9 فبراير 1979 | لاندون كيرت نول | [32] | |
27 | 44,497 | 228671...854509 | 13,395 | 827456...365093 | 26,790 | 8 أبريل 1979 | هاري إل نيلسون وديفيد سلوينسكي | اختبار (LLT) على حاسوب (كراي-1) | [33][34] |
28 | 86,243 | 438207...536927 | 25,962 | 406528...144145 | 51,924 | 25 سبتمبر 1982 | ديفيد سلوينسكي | [35] | |
29 | 110,503 | 515007...521928 | 33,265 | 862528...136204 | 66,530 | 29 يناير 1988 | والتر كولكيت ولوك ويلش | اختبار (LLT) على حاسوب (NEC SX-2) | [36][37] |
30 | 132,049 | 061311...512740 | 39,751 | 550016...131451 | 79,502 | 19 سبتمبر 1983 | ديفيد سلوينسكي وآخرين. باستخدام أجهزة من شركة كراي | اختبار (LLT) على حاسوب (Cray X-MP) | [38] |
31 | 216,091 | 528447...746093 | 65,050 | 880128...278327 | 130,100 | 1 سبتمبر 1985 | اختبار (LLT) على حاسوب (Cray X-MP/24) | [39][40] | |
32 | 756,839 | 677887...174135 | 227,832 | 731328...151616 | 455,663 | 17 فبراير 1992 | اختبار (LLT) على حاسوب (Cray-2) الخاص بمختبر هارويل | [41] | |
33 | 859,433 | 142591...129498 | 258,716 | 167936...838488 | 517,430 | 4 يناير 1994 | اختبار (LLT) على حاسوب (Cray C90) | [42] | |
34 | 1,257,787 | 366527...412245 | 378,632 | 704128...849732 | 757,263 | 3 سبتمبر 1996 | اختبار (LLT) على حاسوب (Cray T94) | [43][44] | |
35 | 1,398,269 | 315711...814717 | 420,921 | 375616...331882 | 841,842 | 13 نوفمبر 1996 | GIMPS / جويل ارمنغود | اختبار (LLT) / برنامج Prime95 على حاسوب بنتيوم 90 MHz | [45] |
36 | 2,976,221 | 201151...623340 | 895,932 | 462976...194276 | 1,791,864 | 24 أغسطس 1997 | GIMPS / جوردون سبنس | اختبار (LLT) / برنامج Prime95 على حاسوب بنتيوم 100 MHz | [46] |
37 | 3,021,377 | 694271...127411 | 909,526 | 457856...811686 | 1,819,050 | 27 يناير 1998 | GIMPS / رولاند كلاركسون | اختبار (LLT) / برنامج Prime95 على حاسوب بنتيوم 200 MHz | [47] |
38 | 6,972,593 | 193791...437075 | 2,098,960 | 572736...955176 | 4,197,919 | 1 يونيو 1999 | GIMPS / نيان هاجراتوالا | اختبار (LLT) / برنامج Prime95 على حاسوب آي بي إم أبتيفيا بمعالج بنتيوم 2 350 MHz | [48] |
39 | 13,466,917 | 259071...924947 | 4,053,946 | 021056...427764 | 8,107,892 | 14 نوفمبر 2001 | GIMPS / مايكل كاميرون | اختبار (LLT) / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج Athlon T-Bird 800 MHz | [49] |
40 | 20,996,011 | 682047...125976 | 6,320,430 | 896128...793508 | 12,640,858 | 17 نوفمبر 2003 | GIMPS / مايكل شيفر | اختبار (LLT) / برنامج Prime95 على حاسوب Dell Dimension بمعالج بنتيوم 4 2 GHz | [50] |
41 | 24,036,583 | 969407...299410 | 7,235,733 | 950528...448233 | 14,471,465 | 15 مايو 2004 | GIMPS / جوش فيندلي | اختبار (LLT) / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج بنتيوم 4 2.4 GHz | [51] |
42 | 25,964,951 | 077247...122164 | 7,816,230 | 088128...746209 | 15,632,458 | 18 فبراير 2005 | GIMPS / مارتن نواك | [52] | |
43 | 30,402,457 | 943871...315416 | 9,152,052 | 704256...497437 | 18,304,103 | 15 ديسمبر 2005 | GIMPS / كيرتس كوبر وستيفن بون | اختبار (LLT) / برنامج Prime95 على حاسوب في جامعة ميزوري الوسطى | [53] |
44 | 32,582,657 | 967871...124575 | 9,808,358 | 120256...775946 | 19,616,714 | 4 سبتمبر 2006 | [54] | ||
45 | 37,156,667 | 220927...202254 | 11,185,272 | 480128...204534 | 22,370,543 | 6 سبتمبر 2008 | GIMPS / هانز مايكل إلفينيتش | اختبار (LLT) / برنامج Prime95 على حاسوب | [55] |
46 | 42,643,801 | 314751...169873 | 12,837,064 | 253376...144285 | 25,674,127 | 4 يونيو 2009[د] | GIMPS / أود ماجنار ستريندمو | اختبار (LLT) / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج إنتل كور 2 3 GHz | [56] |
47 | 43,112,609 | 152511...316470 | 12,978,189 | 378816...500767 | 25,956,377 | 23 أغسطس 2008 | GIMPS / إدسون سميث | اختبار (LLT) / برنامج Prime95 على حاسوب Dell OptiPlex بمعالج إنتل كور 2 ديو E6600 | [55][57][58] |
48 | 57,885,161 | 285951...581887 | 17,425,170 | 130176...169296 | 34,850,340 | 25 يناير 2013 | GIMPS / كورتيس كوبر | اختبار (LLT) / برنامج Prime95 على حاسوب في جامعة ميزوري الوسطى | [59][60][ع 5] |
* | 68,928,661 | أدنى نقطة لم يتم التحقُّق منها[ه] | |||||||
49[و] | 74,207,281 | 436351...300376 | 22,338,618 | 315776...451129 | 44,677,235 | 7 يناير 2016[ز] | GIMPS / كورتيس كوبر | اختبار (LLT) / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج إنتل كور i7-4790 | [61][62][ع 6] |
50[و] | 77,232,917 | 179071...467333 | 23,249,425 | 301056...109200 | 46,498,850 | 26 ديسمبر 2017 | GIMPS / جوناثان بيس | اختبار (LLT) / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج إنتل كور i5-6600 | [63][64][ع 7] |
51[و] | 82,589,933 | 902591...148894 | 24,862,048 | 207936...110847 | 49,724,095 | 7 ديسمبر 2018 | GIMPS / باتريك لاروش | اختبار (LLT) / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج إنتل كور i5-4590T | [65][66][ع 8] |
* | 118,167,559 | أدنى نقطة لم يتم اختبارها[ه] |
انظر أيضًا
[عدل]الملاحظات
[عدل]- ^ تمَّ توثيق أوَّل أربعة أعداد مثالية من قبل «نيقوماخس الجرشي» حوالي عام 100م، وكان المفهوم معروفًا لدى إقليدس في زمن كتابه «الأصول»، بما في ذلك أعداد ميرسين الأولية. ومع ذلك، لا توجد سجلات تشير إلى متى تمَّ اكتشاف هذه الأعداد لأوَّل مرَّة.
- ^ ا ب قد يكون علماء الرياضيات في عصر الحضارة الإسلامية، مثل إسماعيل بن فلوس (1194 - 1239م)، قد عرفوا الأعداد المثالية من الخامس إلى السابع قبل أن تُسجَّل في المصادر الأوروبِّية.[16]
- ^ تمَّ العثور على معلومات في مخطوطة مجهولة الهوية تحمل الرقم «Clm 14908»، والتي تعود إلى الفترة بين عامي 1456 و1461م، وكذلك في عمل ابن فلوس السابق، الذي لم يتم توزيعه على نطاق واسع.[14][17]
- ^ M42,643,801 تمَّ الإبلاغ عنه لأوَّل مرَّة بمشروع GIMPS في 12 أبريل 2009، ولكن لم يلاحظه أحد حتَّى 4 يونيو 2009 بسبب خطأ في الخادم.
- ^ ا ب اعتبارًا من 2 أغسطس 2024[تحديث].[11]
- ^ ا ب ج لم يتم التحقُّق بعد ممَّا إذا كانت هناك أيّ من أعداد ميرسين الأولية غير مكتشفة تقع بين العدد ال 48 (M57,885,161) والعدد ال 51 (M82,589,933) في هذا الجدول، لذا فإنّ الترتيب الحالي مؤقت.
- ^ M74,207,281 تمَّ الإبلاغ عنه لأوَّل مرَّة بمشروع GIMPS في 17 سبتمبر 2015، ولكن لم يلاحظه أحد حتَّى 7 يناير 2016 بسبب خطأ في الخادم.
المراجع
[عدل]باللغة العربية
[عدل]- ^ بيتر إم هيجنز (26 يناير 2017) [1998]. الرياضيات للفضوليين [Mathematics for the Curious]. ترجمة: انتصارات محمد حسن الشبكي. مؤسسة هنداوي. ص. 93-96. ISBN:978-1-5273-0016-3. مؤرشف من الأصل في 2023-05-13.
- ^ ا ب ج بيتر إم هيجنز (26 يناير 2017) [2011]. الأعداد: مقدمة قصيرة جدًّا [Numbers: A Very Short Introduction]. ترجمة: أحمد شكل. مؤسسة هنداوي. ص. 33-35. ISBN:978-15273-1289-0. مؤرشف من الأصل في 2024-05-21.
- ^ "البحث عن الأعداد الأولية.. من يبحث؟ ولماذا؟". الباحثون السوريون. مؤرشف من الأصل في 2020-10-20. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-23.
- ^ حمزة عبد وناس، حامد (2018-2019). خوارزميات إيجاد الأعداد الأولية (PDF) (Report). مؤرشف من الأصل (PDF) في 2024-08-19. اطلع عليه بتاريخ 23 أغسطوس 2024.
{{استشهاد بتقرير}}
: تحقق من التاريخ في:|تاريخ الوصول=
(مساعدة) - ^ "ما هو أكبر عدد أولي؟". الباحثون المصريون. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-23.
- ^ "اكتشاف أكبر عددٍ أوّلي حتى الآن من 22 مليون رقم". ناسا بالعربي. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-23.
- ^ "العدد الوحش: أكبر عدد أولي مكتشف حتى الآن!". الباحثون الجزائريون. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-23.
- ^ راغب بكريش. "اكتشاف أكبر عدد أوّلي يتكوّن من 25 مليون خانة مع حفنة من الميزات النادرة". المحطة. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-23.
بلغات أجنبية
[عدل]- ^ ا ب John Stillwell (2010). Mathematics and Its History. شبرينغر. ص. 40. ISBN:978-1-4419-6052-8. مؤرشف من الأصل في 2024-08-19.
- ^ ا ب ج د ه و ز Chris K. Caldwell. "Mersenne Primes: History, Theorems and Lists". PrimePages. مؤرشف من الأصل في 2023-03-11. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-19.
- ^ Chris K. Caldwell. "If 2n-1 is prime, then so is n". PrimePages. مؤرشف من الأصل في 2023-07-30. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-19.
- ^ Prielipp، Robert W. (1970). "Perfect Numbers, Abundant Numbers, and Deficient Numbers". The Mathematics Teacher. ج. 63 ع. 8: 692–96. DOI:10.5951/MT.63.8.0692. JSTOR:27958492. مؤرشف من الأصل في 2023-03-01. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-19.
- ^ Chris K. Caldwell. "Characterizing all even perfect numbers". PrimePages. مؤرشف من الأصل في 2023-02-18. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-19.
- ^ ا ب Tony Crilly (2007). 50 mathematical ideas you really need to know. Quercus Publishing. ISBN:978-1-84724-008-8. مؤرشف من الأصل في 2023-04-10.
- ^ Chris K. Caldwell. "Heuristics Model for the Distribution of Mersennes". PrimePages. مؤرشف من الأصل في 2023-08-20. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-19.
- ^ Wagstaff، Samuel S. (يناير 1983). "Divisors of Mersenne numbers". Mathematics of Computation. ج. 40 ع. 161: 385–397. DOI:10.1090/S0025-5718-1983-0679454-X. ISSN:0025-5718. مؤرشف من الأصل في 2023-03-01. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-19.
- ^ Pomerance، Carl (سبتمبر 1981). "Recent developments in primality testing" (PDF). The Mathematical Intelligencer. ج. 3 ع. 3: 97–105. DOI:10.1007/BF03022861. ISSN:0343-6993. S2CID:121750836. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2024-03-16. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-19.
- ^ Ochem، Pascal؛ Rao، Michaël (30 يناير 2012). "Odd perfect numbers are greater than 101500". Mathematics of Computation. ج. 81 ع. 279: 1869–1877. DOI:10.1090/S0025-5718-2012-02563-4. ISSN:0025-5718. مؤرشف من الأصل في 2024-06-21. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-19.
- ^ ا ب "GIMPS Milestones Report". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. مؤرشف من الأصل في 2024-03-08. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-19.
- ^ مراجع تنطبق على جيمع الأعداد تقريبًا:
- "List of Known Mersenne Prime Numbers". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. مؤرشف من الأصل في 2024-03-11. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-20.
- Chris K. Caldwell. "Mersenne Primes: History, Theorems and Lists". PrimePages. مؤرشف من الأصل في 2023-06-29. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-20.
- Chris K. Caldwell. "The Largest Known prime by Year: A Brief History". PrimePages. مؤرشف من الأصل في 2024-04-29. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-20.
- Haworth، Guy M. (1987). Mersenne numbers (PDF) (Report). مؤرشف من الأصل (PDF) في 2024-06-13. اطلع عليه بتاريخ 20 أغسطوس 2024.
{{استشهاد بتقرير}}
: تحقق من التاريخ في:|تاريخ الوصول=
(مساعدة)
- Landon Curt Noll. "Known Mersenne Primes". مؤرشف من الأصل في 2023-06-29. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-20.
- James J. Tattersall (1999). Elementary Number Theory in Nine Chapters. Cambridge University Press. ص. 131–134. ISBN:978-0-521-58531-6. مؤرشف من الأصل في 2024-08-20.
- ^ ا ب ج د David E. Joyce. "Euclid's Elements, Book IX, Proposition 36". mathcs.clarku.edu. مؤرشف من الأصل في 2023-04-05. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-20.
- ^ ا ب ج د ه و Leonard Eugene Dickson (1919). History of the Theory of Numbers, Vol. I. Carnegie Institution of Washington. مؤرشف من الأصل في 2024-08-20.
- ^ ا ب ج د ه David Eugene Smith. History of Mathematics: Volume II. Dover. ص. 21. ISBN:978-0-486-20430-7.
- ^ John J. O'Connor؛ إدموند روبرتسون. "Perfect numbers". تاريخ ماكتوتور لأرشيف الرياضيات. مؤرشف من الأصل في 2021-11-16. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-20.
- ^ "Calendarium ecclesiasticum - BSB Clm 14908". المكتبة البافارية الحكومية. مؤرشف من الأصل في 2023-04-05. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-20.
- ^ ا ب بييترو كاتالدي (1603). Trattato de' numeri perfetti di Pietro Antonio Cataldo (بالإيطالية). Presso di Heredi di Giouanni Rossi. Archived from the original on 2024-08-20.
- ^ Chris K. Caldwell. "Modular restrictions on Mersenne divisors". PrimePages. مؤرشف من الأصل في 2023-02-18. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-20.
- ^ أويلر, ليونهارت (1772). "Extrait d'un lettre de M. Euler le pere à M. Bernoulli concernant le Mémoire imprimé parmi ceux de 1771, p 318" [مقتطف من رسالة من السيد أويلر إلى السيد برنولي، بخصوص المذكرات المنشورة ضمن مذكرات عام 1771]. Nouveaux Mémoires de l'académie royale des sciences de Berlin (بالفرنسية). 1772: 35–36. Archived from the original on 2024-07-26. Retrieved 2024-08-20.
- ^ "Sur un nouveau nombre premier, annoncé par le père Pervouchine" [رقم أولي جديد أعلنه بيرفوشين]. Bulletin de l'Académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg (بالفرنسية). 31: 532–533. 27 Jan 1887. Archived from the original on 2023-04-05. Retrieved 2024-08-20.
- ^ Powers، R. E. (نوفمبر 1911). "The Tenth Perfect Number". The American Mathematical Monthly. ج. 18 ع. 11: 195–197. DOI:10.2307/2972574. JSTOR:2972574.
- ^ "Records of Proceedings at Meetings". Proceedings of the London Mathematical Society. s2-13 ع. 1: iv–xl. 1914. DOI:10.1112/plms/s2-13.1.1-s.
- ^ لوكا, إدوارد (1876). "Note sur l'application des séries récurrentes à la recherche de la loi de distribution des nombres premiers" [ملاحظة حول تطبيق المتسلسلات المتكررة في دراسة قانون توزيع الأعداد الأولية]. Comptes rendus de l'Académie des Sciences (بالفرنسية). 82: 165–167. Archived from the original on 2023-04-05. Retrieved 2024-08-20.
- ^ ا ب "Notes". Mathematics of Computation. ج. 6 ع. 37: 58–61. يناير 1952. DOI:10.1090/S0025-5718-52-99405-2. ISSN:0025-5718. مؤرشف من الأصل في 2024-06-03. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-21.
- ^ "Notes". Mathematics of Computation. ج. 6 ع. 39: 204–205. يوليو 1952. DOI:10.1090/S0025-5718-52-99389-7. ISSN:0025-5718. مؤرشف من الأصل في 2023-04-05. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-21.
- ^ ا ب "Notes". Mathematics of Computation. ج. 7 ع. 41: 67–72. يناير 1953. DOI:10.1090/S0025-5718-53-99372-7. ISSN:0025-5718. مؤرشف من الأصل في 2024-06-06. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-21.
- ^ Riesel، Hans (January 1958). "A New Mersenne Prime". Mathematics of Computation. ج. 12 ع. 61: 60. DOI:10.1090/S0025-5718-58-99282-2. مؤرشف من الأصل في 2024-06-05. اطلع عليه بتاريخ 2024 أغسطس 21.
{{استشهاد بدورية محكمة}}
: تحقق من التاريخ في:|تاريخ الوصول=
(مساعدة) - ^ ا ب Hurwitz، Alexander (أبريل 1962). "New Mersenne primes". Mathematics of Computation. ج. 16 ع. 78: 249–251. DOI:10.1090/S0025-5718-1962-0146162-X. ISSN:0025-5718. مؤرشف من الأصل في 2023-04-05.
- ^ ا ب ج غيليز، دونالد بي. (يناير 1964). "Three new Mersenne primes and a statistical theory". Mathematics of Computation. ج. 18 ع. 85: 93–97. DOI:10.1090/S0025-5718-1964-0159774-6. JSTOR:2003409.
- ^ Tuckerman، Bryant (أكتوبر 1971). "The 24th Mersenne Prime". Proceedings of the National Academy of Sciences. ج. 68 ع. 10: 2319–2320. Bibcode:1971PNAS...68.2319T. DOI:10.1073/pnas.68.10.2319. PMC:389411. PMID:16591945.
- ^ ا ب Noll، Landon Curt؛ Nickel، Laura (أكتوبر 1980). "The 25th and 26th Mersenne primes". Mathematics of Computation. ج. 35 ع. 152: 1387. DOI:10.1090/S0025-5718-1980-0583517-4. JSTOR:2006405.
- ^ Slowinski، David (1978). "Searching for the 27th Mersenne prime". Journal of Recreational Mathematics. ج. 11 ع. 4: 258–261.
- ^ "Science Watch: A New Prime Number". نيويورك تايمز. 5 يونيو 1979. مؤرشف من الأصل في 2024-08-22. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-21.
- ^ "Announcements". The Mathematical Intelligencer. ج. 5 ع. 1: 60. مارس 1983. DOI:10.1007/BF03023507. ISSN:0343-6993. مؤرشف من الأصل في 2024-06-03.
- ^ Peterson، I. (6 فبراير 1988). "Priming for a Lucky Strike". Science News. ج. 133 ع. 6: 85. DOI:10.2307/3972461. JSTOR:3972461.
- ^ Colquitt، W. N.؛ Welsh، L. (أبريل 1991). "A new Mersenne prime". Mathematics of Computation. ج. 56 ع. 194: 867. Bibcode:1991MaCom..56..867C. DOI:10.1090/S0025-5718-1991-1068823-9. JSTOR:2008415.
- ^ "Number is largest prime found yet". The Globe and Mail. 24 سبتمبر 1983. مؤرشف من الأصل في 2024-08-22. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-21.
- ^ Peterson، I. (28 سبتمبر 1985). "Prime Time for Supercomputers". Science News. ج. 128 ع. 13: 199. DOI:10.2307/3970245. JSTOR:3970245.
- ^ Dembart، Lee (17 سبتمبر 1985). "Supercomputer Comes Up With Whopping Prime Number". لوس أنجلوس تايمز. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-21.
{{استشهاد بخبر}}
: صيانة الاستشهاد: url-status (link) - ^ Maddox، John (26 مارس 1992). "The endless search for primality". Nature. ج. 356 ع. 6367: 283. Bibcode:1992Natur.356..283M. DOI:10.1038/356283a0. ISSN:1476-4687. S2CID:4327045.
- ^ "Largest Known Prime Number Discovered on Cray Research Supercomputer". PR Newswire. 10 يناير 1994. مؤرشف من الأصل في 2024-08-23. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-21.
- ^ Caldwell، Chris K. "A Prime of Record Size! 21257787-1". PrimePages. مؤرشف من الأصل في 2024-08-22. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-21.
- ^ Gillmor، Dan (3 سبتمبر 1996). "Crunching numbers: Researchers come up with prime math discovery". Knight Ridder. مؤرشف من الأصل في 2024-08-23.
- ^ "GIMPS Discovers 35th Mersenne Prime, 21,398,269-1 is now the Largest Known Prime". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. 12 نوفمبر 1996. مؤرشف من الأصل في 2024-08-25. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.
- ^ "GIMPS Discovers 36th Mersenne Prime, 22,976,221-1 is now the Largest Known Prime". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. 1 سبتمبر 1997. مؤرشف من الأصل في 2024-08-23. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.
- ^ "GIMPS Discovers 37th Mersenne Prime, 23,021,377-1 is now the Largest Known Prime". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. 2 فبراير 1998. مؤرشف من الأصل في 2024-08-23. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.
- ^ "GIMPS Discovers 38th Mersenne Prime 26,972,593-1 is now the Largest Known Prime". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. 30 يونيو 1999. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.
{{استشهاد بخبر}}
: صيانة الاستشهاد: url-status (link) - ^ "GIMPS Discovers 39th Mersenne Prime, 213,466,917-1 is now the Largest Known Prime". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. 6 ديسمبر 2001. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.
{{استشهاد بخبر}}
: صيانة الاستشهاد: url-status (link) - ^ "GIMPS Discovers 40th Mersenne Prime, 220,996,011-1 is now the Largest Known Prime". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. 2 فبراير 2003. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.
{{استشهاد بخبر}}
: صيانة الاستشهاد: url-status (link) - ^ "GIMPS Discovers 41st Mersenne Prime, 224,036,583-1 is now the Largest Known Prime". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. 28 مايو 2004. مؤرشف من الأصل في 2024-08-24. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.
- ^ "GIMPS Discovers 42nd Mersenne Prime, 225,964,951-1 is now the Largest Known Prime". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. 27 فبراير 2005. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.
{{استشهاد بخبر}}
: صيانة الاستشهاد: url-status (link) - ^ "GIMPS Discovers 43rd Mersenne Prime, 230,402,457-1 is now the Largest Known Prime". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. 24 ديسمبر 2005. مؤرشف من الأصل في 2024-08-23. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.
- ^ "GIMPS Discovers 44th Mersenne Prime, 232,582,657-1 is now the Largest Known Prime". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. 11 سبتمبر 2006. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.
{{استشهاد بخبر}}
: صيانة الاستشهاد: url-status (link) - ^ ا ب "GIMPS Discovers 45th and 46th Mersenne Primes, 243,112,609-1 is now the Largest Known Prime". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. 15 سبتمبر 2008. مؤرشف من الأصل في 2024-08-23. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.
- ^ "GIMPS Discovers 47th Mersenne Prime". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. 12 أبريل 2009. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.
{{استشهاد بخبر}}
: صيانة الاستشهاد: url-status (link) - ^ Maugh، Thomas H. (27 سبتمبر 2008). "Rare prime number found". لوس أنجلوس تايمز. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.
{{استشهاد بخبر}}
: صيانة الاستشهاد: url-status (link) - ^ Smith، Edson. "The UCLA Mersenne Prime". UCLA Mathematics. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.
{{استشهاد ويب}}
: صيانة الاستشهاد: url-status (link) - ^ "GIMPS Discovers 48th Mersenne Prime, 257,885,161-1 is now the Largest Known Prime". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. 5 فبراير 2013. مؤرشف من الأصل في 2024-08-24. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.
- ^ Yirka، Bob (6 فبراير 2013). "University professor discovers largest prime number to date". فيز. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.
{{استشهاد ويب}}
: صيانة الاستشهاد: url-status (link) - ^ "GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 274,207,281-1". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. 19 يناير 2016. مؤرشف من الأصل في 2024-08-25. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-23.
- ^ "Largest known prime number discovered in Missouri". بي بي سي نيوز. 20 يناير 2016. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-23.
{{استشهاد بخبر}}
: صيانة الاستشهاد: url-status (link) - ^ "GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 277,232,917-1". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. 3 يناير 2018. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-23.
{{استشهاد بخبر}}
: صيانة الاستشهاد: url-status (link) - ^ Lamb، Evelyn (4 يناير 2018). "Why You Should Care About a Prime Number That's 23,249,425 Digits Long". سلايت. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-23.
{{استشهاد ويب}}
: صيانة الاستشهاد: url-status (link) - ^ "GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 282,589,933-1". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. 21 ديسمبر 2018. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-23.
{{استشهاد بخبر}}
: صيانة الاستشهاد: url-status (link) - ^ Palca، Joe (21 ديسمبر 2018). "The World Has A New Largest-Known Prime Number". الإذاعة الوطنية العامة. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-23.
{{استشهاد بخبر}}
: صيانة الاستشهاد: url-status (link)