انتقل إلى المحتوى

قائمة أعداد ميرسين الأولية والأعداد المثالية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
شعار مراجعة الزملاء
شعار مراجعة الزملاء
 هذه المقالة تخضع حاليًّا لمرحلة مراجعة الزملاء لفحصها وتقييمها، تحضيرًا لترشيحها لتكون ضمن المحتوى المتميز في ويكيبيديا العربية.
تاريخ بداية المراجعة 25 أغسطس 2024
تصور العدد 6 كعدد مثالي، عن طريق المقسومات الصحيحة للعدد 6 وهم (1، 2، 3) ومجموعها يصل إلى 6.
تصور العدد 6 كعدد مثالي.

أعداد ميرسين الأولية والأعداد المثالية هما نوعان من الأعداد الطبيعية، المرتبطة بشكلٍ وثيق بنظرية الأعداد. أعداد ميرسين الأولية، التي سُمِّيت باسم الراهب مارين ميرسين، هي أعداد أولية يمكن التعبير عنها على شكل 2p − 1، حيث p هو عدد صحيح موجب. على سبيل المثال، العدد 3 هو من أعداد ميرسين الأولية، لأنَّهُ عدد أولي يمكن التعبير عنه على شكل 22 − 1.[1][2][ع 1] يجدر بالذكر، أن العدد p المقابل لأعداد ميرسين الأولية، يجب أن يكون عدد أوليًا أيضًا، إلاَّ أن هذا لا يعني أن كُل عدد p أولي يؤدِّي بالضرورة إلى عدد ميرسين أولي، على سبيل المثال، العدد الأولي 11 إذا عوضنا به يكون الناتج 211 − 1 = 2047، وهو ليس من أعداد ميرسين لأنَّهُ حاصل ضرب 23 × 89.[3] بعبارةٍ أخرى، كُل أعداد ميرسين الأولية هي أعداد أولية، ولكن ليس كُل الأعداد الأولية تعتبر من أعداد ميرسين الأولية. من ناحية أخرى، الأعداد المثالية هي أعداد طبيعية تساوي مجموع قواسمها الموجبة الصحيحة باستثناء العدد نفسه. فعلى سبيل المثال، العدد 6 يُعد عددًا مثاليًا لأنَّ قواسمه الموجبة الصحيحة هي 1 و2 و3، وعند جمعها: 1 + 2 + 3 = 6.[2][4][ع 2]

هناك تقابل تام بين أعداد ميرسين الأولية والأعداد المثالية الزوجية، ولكن لا يزال من غير المعروف ما إذا كانت هناك أعداد مثالية فردية أم لا. يعود ذلك إلى مبرهنة إقليدس وأويلر، التي تمَّ إثباتها جزئيًا بواسطة إقليدس وأكملها ليونهارت أويلر: الأعداد الزوجية تكون مثالية إذا وفقط إذا كانت على شكل 2p − 1 × (2p − 1)، حيث 2p − 1 هو من أعداد ميرسين الأولية. بعبارةٍ أخرى، جميع الأعداد التي يمكن كتابتها بهذه الصيغة هي أعداد مثالية، وجميع الأعداد المثالية الزوجية تنطبق عليها هذه الصيغة. على سبيل المثال، في حالة p = 2 وهو عدد أولي، يكون الناتج من هذه العبارة 22 − 1 = 3 وهو من أعداد ميرسين الأولية، وعند ضربه في 22 − 1، يكون الناتج 22 − 1 × (22 − 1) = 2 × 3 = 6 هو عدد مثالي.[1][5][6][ع 2]

يُعتبر تحديد ما إذا كان هناك أعدد لا نهائي من أعداد ميرسين الأولية والأعداد المثالية الزوجية من المسائل الغير المحلولة في الرياضيات.[2][6] يتمحور موضوع تكرار أعداد ميرسين الأولية حول حدسيات ميرسين، التي تنص على أن العدد المتوقع من أعداد ميرسين التي تكون أقل من عدد معيَّن x هو (eγ / log 2) × log log x، حيث e هو عدد أويلر، وγ هو ثابت أويلر، وlog هو اللوغاريتم الطبيعي.[7][8][9] كما أنَّهُ لا يزال غير معروف ما إذا كانت هناك أعداد مثالية فردية أم لا، على الرغم من إثبات بعض الشروط المتعلقة بها، من بين هذه الشروط هو أنَّهُ إذا وُجد عدد مثالي فردي، فيجب أن يكون أكبر من 101500. هذه النتيجة تعني أن أي عدد مثالي فردي يجب أن يكون هائل الحجم، لكن حتَّى الآن، لم يتم العثور على أيِّ عدد مثالي فردي.[10]

فيما يلي قائمة بجميع أعداد ميرسين الأولية والأعداد المثالية المعروفة حاليًا، مع توضيح الأسس p المقابلة لكل عدد. حتَّى عام 2023م، تمَّ اكتشاف 51 عددًا أوليًا من أعداد ميرسين (وبالتالي 51 عددًا مثاليًا)، وقد تمَّ اكتشاف أكبر 17 عددًا منها من خلال مشروع الحوسبة الموزعة المعروف باسم «البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت» (بالإنجليزية: Great Internet Mersenne Prime Search)‏ اختصارًا (GIMPS).[2][ع 2][ع 3] يتم اكتشاف أعداد ميرسين الأولية الجديدة باستخدام اختبار لوكاس ليهمر لأولية عدد ما (بالإنجليزية: Lucas–Lehmer test)‏ اختصارًا (LLT)، وهو اختبار يستخدم لتحديد ما إذا كان عدد ميرسين معيَّن أوليًا أم لا، ويتميَّز بالكفاءة عند استخدامه في الحواسيب التي تعتمد على النظام الثنائي (أي نظام العد القائم على الرقمين 0 و1).[2][ع 4]

الترتيب الحالي لأعداد ميرسين الأولية يعتمد على المؤشِّرات التي كانت معروفة حتَّى عام 2022م. ومع أن احتمال اكتشاف أعداد أصغر من تلك المكتشفة حاليًا ضعيف، إلاَّ أنَّهُ في حالة حدوث ذلك، قد يتغير ترتيب الأعداد المعروف. وفقًا لمشروع GIMPS، تمَّ فحص جميع الأسس المحتملة التي تقل عن p = 57,885,161 (وهو الأس الذي يمثل العدد 48 من أعداد ميرسين الأولية) حتى يناير 2024.[11] هذا يعني أن جميع الأعداد ميرسين التي يكون أسها أقل من هذا الرقم قد تمَّ التحقق منها بالفعل، وبالتالي، من غير المحتمل أن يتم العثور على عدد جديد له أس أصغر من 57,885,161.

سنة الاكتشاف واسم المكتشف المشار إليهما في القائمة تتعلَّقان بعدد ميرسين الأولي المكتشف. وبما أن الأعداد المثالية الزوجية تتولَّد مباشرةً من أعداد ميرسين الأولية استنادًا إلى مبرهنة إقليدس وأويلر، فلا يتم ذكر اسم منفصل لمكتشف العدد المثالي؛ لأنَّ اكتشاف عدد ميرسين أولي يؤدِّي مباشرةً إلى اكتشاف العدد المثالي المقابل له. عندما يشار إلى المكتشف باسم «GIMPS / الاسم»، فهذا يعني أن الاكتشاف تمَّ عبر مشروع GIMPS، باستخدام عتاد حاسوب مملوكة لهذا الشخص. بالنسبة للأرقام الطويلة جدًا، يتم عرض أوَّل وآخر ستة أرقام منها فقط.

جدول يحتوي على جميع أعداد ميرسين الأولية المعروفة حاليًا والأعداد المثالية المقابلة لها وعددهم 51
الترتيب p عدد ميرسين
Mp 		عدد أرقام عدد ميرسين العدد المثالي عدد أرقام العدد المثالي تاريخ الاكتشاف المكتشف طريقة الاكتشاف المراجع[12]
1 2 3 1 6 1 عصور قديمة[ا] معروف لدى علماء الرياضيات اليونانيِّين القدماء غير مسجَّلة [13][14][15]
2 3 7 1 28 2 [13][14][15]
3 5 31 2 496 3 [13][14][15]
4 7 127 3 8128 4 [13][14][15]
5 13 8191 4 33550336 8 1200sم / حوالي 1456م[ب] شخصان[ج] القسمة المتكررة [14][15]
6 17 131071 6 8589869056 10 1588م[ب] بييترو كاتالدي [2][18]
7 19 524287 6 137438691328 12 [2][18]
8 31 2147483647 10 952128...230584 19 1772م ليونهارت أويلر القسمة المتكررة مع قيود معيارية [19][20]
9 61 693951...230584 19 842176...265845 37 نوفمبر 1883 إيفان ميخيفيتش بيرفوشين متتالية لوكاس [21]
10 89 562111...618970 27 169216...191561 54 يونيو 1911 رالف إرنست باورز [22]
11 107 288127...162259 33 728128...131640 65 1 يونيو 1914 [23]
12 127 105727...170141 39 152128...144740 77 10 يناير 1876 إدوارد لوكا [24]
13 521 057151...686479 157 646976...235627 314 30 يناير 1952 رافائيل إم. روبنسون اختبار لوكاس ليهمر (LLT) على حاسوب (SWAC) [25]
14 607 728127...531137 183 328128...141053 366 [25]
15 1,279 729087...104079 386 291328...541625 770 25 يونيو 1952 [26]
16 2,203 771007...147597 664 782528...108925 1,327 7 أكتوبر 1952 [27]
17 2,281 836351...446087 687 915776...994970 1,373 9 أكتوبر 1952 [27]
18 3,217 315071...259117 969 525056...335708 1,937 8 سبتمبر 1957 هانز ريزل اختبار (LLT) على حاسوب (BESK) [28]
19 4,253 484991...190797 1,281 377536...182017 2,561 3 نوفمبر 1961 ألكسندر هورويتز اختبار (LLT) على حاسوب (IBM 7090) [29]
20 4,423 580607...285542 1,332 534528...407672 2,663 [29]
21 9,689 754111...478220 2,917 577216...114347 5,834 11 مايو 1963 دونالد بي. غيليز اختبار (LLT) على حاسوب (ILLIAC II) [30]
22 9,941 463551...346088 2,993 496576...598885 5,985 16 مايو 1963 [30]
23 11,213 392191...281411 3,376 086336...395961 6,751 2 يونيو 1963 [30]
24 19,937 041471...431542 6,002 942656...931144 12,003 4 مارس 1971 بريانت توكيرمان اختبار (LLT) على حاسوب (IBM 360/91) [31]
25 21,701 882751...448679 6,533 605376...100656 13,066 30 أكتوبر 1978 لاندون كيرت نول ولورا نيكل اختبار (LLT) على حاسوب (CDC Cyber 174) [32]
26 23,209 264511...402874 6,987 666816...811537 13,973 9 فبراير 1979 لاندون كيرت نول [32]
27 44,497 228671...854509 13,395 827456...365093 26,790 8 أبريل 1979 هاري إل نيلسون وديفيد سلوينسكي اختبار (LLT) على حاسوب (كراي-1) [33][34]
28 86,243 438207...536927 25,962 406528...144145 51,924 25 سبتمبر 1982 ديفيد سلوينسكي [35]
29 110,503 515007...521928 33,265 862528...136204 66,530 29 يناير 1988 والتر كولكيت ولوك ويلش اختبار (LLT) على حاسوب (NEC SX-2) [36][37]
30 132,049 061311...512740 39,751 550016...131451 79,502 19 سبتمبر 1983 ديفيد سلوينسكي وآخرين. باستخدام أجهزة من شركة كراي اختبار (LLT) على حاسوب (Cray X-MP) [38]
31 216,091 528447...746093 65,050 880128...278327 130,100 1 سبتمبر 1985 اختبار (LLT) على حاسوب (Cray X-MP/24) [39][40]
32 756,839 677887...174135 227,832 731328...151616 455,663 17 فبراير 1992 اختبار (LLT) على حاسوب (Cray-2) الخاص بمختبر هارويل [41]
33 859,433 142591...129498 258,716 167936...838488 517,430 4 يناير 1994 اختبار (LLT) على حاسوب (Cray C90) [42]
34 1,257,787 366527...412245 378,632 704128...849732 757,263 3 سبتمبر 1996 اختبار (LLT) على حاسوب (Cray T94) [43][44]
35 1,398,269 315711...814717 420,921 375616...331882 841,842 13 نوفمبر 1996 GIMPS / جويل ارمنغود اختبار (LLT) / برنامج Prime95 على حاسوب بنتيوم 90 MHz [45]
36 2,976,221 201151...623340 895,932 462976...194276 1,791,864 24 أغسطس 1997 GIMPS / جوردون سبنس اختبار (LLT) / برنامج Prime95 على حاسوب بنتيوم 100 MHz [46]
37 3,021,377 694271...127411 909,526 457856...811686 1,819,050 27 يناير 1998 GIMPS / رولاند كلاركسون اختبار (LLT) / برنامج Prime95 على حاسوب بنتيوم 200 MHz [47]
38 6,972,593 193791...437075 2,098,960 572736...955176 4,197,919 1 يونيو 1999 GIMPS / نيان هاجراتوالا اختبار (LLT) / برنامج Prime95 على حاسوب آي بي إم أبتيفيا بمعالج بنتيوم 2 350 MHz [48]
39 13,466,917 259071...924947 4,053,946 021056...427764 8,107,892 14 نوفمبر 2001 GIMPS / مايكل كاميرون اختبار (LLT) / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج Athlon T-Bird 800 MHz [49]
40 20,996,011 682047...125976 6,320,430 896128...793508 12,640,858 17 نوفمبر 2003 GIMPS / مايكل شيفر اختبار (LLT) / برنامج Prime95 على حاسوب Dell Dimension بمعالج بنتيوم 4 2 GHz [50]
41 24,036,583 969407...299410 7,235,733 950528...448233 14,471,465 15 مايو 2004 GIMPS / جوش فيندلي اختبار (LLT) / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج بنتيوم 4 2.4 GHz [51]
42 25,964,951 077247...122164 7,816,230 088128...746209 15,632,458 18 فبراير 2005 GIMPS / مارتن نواك [52]
43 30,402,457 943871...315416 9,152,052 704256...497437 18,304,103 15 ديسمبر 2005 GIMPS / كيرتس كوبر وستيفن بون اختبار (LLT) / برنامج Prime95 على حاسوب في جامعة ميزوري الوسطى [53]
44 32,582,657 967871...124575 9,808,358 120256...775946 19,616,714 4 سبتمبر 2006 [54]
45 37,156,667 220927...202254 11,185,272 480128...204534 22,370,543 6 سبتمبر 2008 GIMPS / هانز مايكل إلفينيتش اختبار (LLT) / برنامج Prime95 على حاسوب [55]
46 42,643,801 314751...169873 12,837,064 253376...144285 25,674,127 4 يونيو 2009[د] GIMPS / أود ماجنار ستريندمو اختبار (LLT) / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج إنتل كور 2 3 GHz [56]
47 43,112,609 152511...316470 12,978,189 378816...500767 25,956,377 23 أغسطس 2008 GIMPS / إدسون سميث اختبار (LLT) / برنامج Prime95 على حاسوب Dell OptiPlex بمعالج إنتل كور 2 ديو E6600 [55][57][58]
48 57,885,161 285951...581887 17,425,170 130176...169296 34,850,340 25 يناير 2013 GIMPS / كورتيس كوبر اختبار (LLT) / برنامج Prime95 على حاسوب في جامعة ميزوري الوسطى [59][60][ع 5]
* 68,928,661 أدنى نقطة لم يتم التحقُّق منها[ه]
49[و] 74,207,281 436351...300376 22,338,618 315776...451129 44,677,235 7 يناير 2016[ز] GIMPS / كورتيس كوبر اختبار (LLT) / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج إنتل كور i7-4790 [61][62][ع 6]
50[و] 77,232,917 179071...467333 23,249,425 301056...109200 46,498,850 26 ديسمبر 2017 GIMPS / جوناثان بيس اختبار (LLT) / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج إنتل كور i5-6600 [63][64][ع 7]
51[و] 82,589,933 902591...148894 24,862,048 207936...110847 49,724,095 7 ديسمبر 2018 GIMPS / باتريك لاروش اختبار (LLT) / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج إنتل كور i5-4590T [65][66][ع 8]
* 118,167,559 أدنى نقطة لم يتم اختبارها[ه]

انظر أيضًا

[عدل]

الملاحظات

[عدل]
  1. ^ تمَّ توثيق أوَّل أربعة أعداد مثالية من قبل «نيقوماخس الجرشي» حوالي عام 100م، وكان المفهوم معروفًا لدى إقليدس في زمن كتابه «الأصول»، بما في ذلك أعداد ميرسين الأولية. ومع ذلك، لا توجد سجلات تشير إلى متى تمَّ اكتشاف هذه الأعداد لأوَّل مرَّة.
  2. ^ ا ب قد يكون علماء الرياضيات في عصر الحضارة الإسلامية، مثل إسماعيل بن فلوس (1194 - 1239م)، قد عرفوا الأعداد المثالية من الخامس إلى السابع قبل أن تُسجَّل في المصادر الأوروبِّية.[16]
  3. ^ تمَّ العثور على معلومات في مخطوطة مجهولة الهوية تحمل الرقم «Clm 14908»، والتي تعود إلى الفترة بين عامي 1456 و1461م، وكذلك في عمل ابن فلوس السابق، الذي لم يتم توزيعه على نطاق واسع.[14][17]
  4. ^ M42,643,801 تمَّ الإبلاغ عنه لأوَّل مرَّة بمشروع GIMPS في 12 أبريل 2009، ولكن لم يلاحظه أحد حتَّى 4 يونيو 2009 بسبب خطأ في الخادم.
  5. ^ ا ب اعتبارًا من 2 أغسطس 2024 (2024-08-02).[11]
  6. ^ ا ب ج لم يتم التحقُّق بعد ممَّا إذا كانت هناك أيّ من أعداد ميرسين الأولية غير مكتشفة تقع بين العدد ال 48 (M57,885,161) والعدد ال 51 (M82,589,933) في هذا الجدول، لذا فإنّ الترتيب الحالي مؤقت.
  7. ^ M74,207,281 تمَّ الإبلاغ عنه لأوَّل مرَّة بمشروع GIMPS في 17 سبتمبر 2015، ولكن لم يلاحظه أحد حتَّى 7 يناير 2016 بسبب خطأ في الخادم.

المراجع

[عدل]

باللغة العربية

[عدل]
  1. ^ بيتر إم هيجنز (26 يناير 2017) [1998]. الرياضيات للفضوليين [Mathematics for the Curious]. ترجمة: انتصارات محمد حسن الشبكي. مؤسسة هنداوي. ص. 93-96. ISBN:978-1-5273-0016-3. مؤرشف من الأصل في 2023-05-13.
  2. ^ ا ب ج بيتر إم هيجنز (26 يناير 2017) [2011]. الأعداد: مقدمة قصيرة جدًّا [Numbers: A Very Short Introduction]. ترجمة: أحمد شكل. مؤسسة هنداوي. ص. 33-35. ISBN:978-15273-1289-0. مؤرشف من الأصل في 2024-05-21.
  3. ^ "البحث عن الأعداد الأولية.. من يبحث؟ ولماذا؟". الباحثون السوريون. مؤرشف من الأصل في 2020-10-20. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-23.
  4. ^ حمزة عبد وناس، حامد (2018-2019). خوارزميات إيجاد الأعداد الأولية (PDF) (Report). مؤرشف من الأصل (PDF) في 2024-08-19. اطلع عليه بتاريخ 23 أغسطوس 2024. {{استشهاد بتقرير}}: تحقق من التاريخ في: |تاريخ الوصول= (مساعدة)
  5. ^ "ما هو أكبر عدد أولي؟". الباحثون المصريون. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-23.
  6. ^ "اكتشاف أكبر عددٍ أوّلي حتى الآن من 22 مليون رقم". ناسا بالعربي. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-23.
  7. ^ "العدد الوحش: أكبر عدد أولي مكتشف حتى الآن!". الباحثون الجزائريون. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-23.
  8. ^ راغب بكريش. "اكتشاف أكبر عدد أوّلي يتكوّن من 25 مليون خانة مع حفنة من الميزات النادرة". المحطة. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-23.

بلغات أجنبية

[عدل]
  1. ^ ا ب John Stillwell (2010). Mathematics and Its History. شبرينغر. ص. 40. ISBN:978-1-4419-6052-8. مؤرشف من الأصل في 2024-08-19.
  2. ^ ا ب ج د ه و ز Chris K. Caldwell. "Mersenne Primes: History, Theorems and Lists". PrimePages. مؤرشف من الأصل في 2023-03-11. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-19.
  3. ^ Chris K. Caldwell. "If 2n-1 is prime, then so is n". PrimePages. مؤرشف من الأصل في 2023-07-30. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-19.
  4. ^ Prielipp، Robert W. (1970). "Perfect Numbers, Abundant Numbers, and Deficient Numbers". The Mathematics Teacher. ج. 63 ع. 8: 692–96. DOI:10.5951/MT.63.8.0692. JSTOR:27958492. مؤرشف من الأصل في 2023-03-01. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-19.
  5. ^ Chris K. Caldwell. "Characterizing all even perfect numbers". PrimePages. مؤرشف من الأصل في 2023-02-18. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-19.
  6. ^ ا ب Tony Crilly (2007). 50 mathematical ideas you really need to know. Quercus Publishing. ISBN:978-1-84724-008-8. مؤرشف من الأصل في 2023-04-10.
  7. ^ Chris K. Caldwell. "Heuristics Model for the Distribution of Mersennes". PrimePages. مؤرشف من الأصل في 2023-08-20. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-19.
  8. ^ Wagstaff، Samuel S. (يناير 1983). "Divisors of Mersenne numbers". Mathematics of Computation. ج. 40 ع. 161: 385–397. DOI:10.1090/S0025-5718-1983-0679454-X. ISSN:0025-5718. مؤرشف من الأصل في 2023-03-01. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-19.
  9. ^ Pomerance، Carl (سبتمبر 1981). "Recent developments in primality testing" (PDF). The Mathematical Intelligencer. ج. 3 ع. 3: 97–105. DOI:10.1007/BF03022861. ISSN:0343-6993. S2CID:121750836. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2024-03-16. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-19.
  10. ^ Ochem، Pascal؛ Rao، Michaël (30 يناير 2012). "Odd perfect numbers are greater than 101500". Mathematics of Computation. ج. 81 ع. 279: 1869–1877. DOI:10.1090/S0025-5718-2012-02563-4. ISSN:0025-5718. مؤرشف من الأصل في 2024-06-21. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-19.
  11. ^ ا ب "GIMPS Milestones Report". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. مؤرشف من الأصل في 2024-03-08. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-19.
  12. ^ مراجع تنطبق على جيمع الأعداد تقريبًا:
  13. ^ ا ب ج د David E. Joyce. "Euclid's Elements, Book IX, Proposition 36". mathcs.clarku.edu. مؤرشف من الأصل في 2023-04-05. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-20.
  14. ^ ا ب ج د ه و Leonard Eugene Dickson (1919). History of the Theory of Numbers, Vol. I. Carnegie Institution of Washington. مؤرشف من الأصل في 2024-08-20.
  15. ^ ا ب ج د ه David Eugene Smith. History of Mathematics: Volume II. Dover. ص. 21. ISBN:978-0-486-20430-7.
  16. ^ John J. O'Connor؛ إدموند روبرتسون. "Perfect numbers". تاريخ ماكتوتور لأرشيف الرياضيات. مؤرشف من الأصل في 2021-11-16. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-20.
  17. ^ "Calendarium ecclesiasticum - BSB Clm 14908". المكتبة البافارية الحكومية. مؤرشف من الأصل في 2023-04-05. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-20.
  18. ^ ا ب بييترو كاتالدي (1603). Trattato de' numeri perfetti di Pietro Antonio Cataldo (بالإيطالية). Presso di Heredi di Giouanni Rossi. Archived from the original on 2024-08-20.
  19. ^ Chris K. Caldwell. "Modular restrictions on Mersenne divisors". PrimePages. مؤرشف من الأصل في 2023-02-18. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-20.
  20. ^ أويلر, ليونهارت (1772). "Extrait d'un lettre de M. Euler le pere à M. Bernoulli concernant le Mémoire imprimé parmi ceux de 1771, p 318" [مقتطف من رسالة من السيد أويلر إلى السيد برنولي، بخصوص المذكرات المنشورة ضمن مذكرات عام 1771]. Nouveaux Mémoires de l'académie royale des sciences de Berlin (بالفرنسية). 1772: 35–36. Archived from the original on 2024-07-26. Retrieved 2024-08-20.
  21. ^ "Sur un nouveau nombre premier, annoncé par le père Pervouchine" [رقم أولي جديد أعلنه بيرفوشين]. Bulletin de l'Académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg (بالفرنسية). 31: 532–533. 27 Jan 1887. Archived from the original on 2023-04-05. Retrieved 2024-08-20.
  22. ^ Powers، R. E. (نوفمبر 1911). "The Tenth Perfect Number". The American Mathematical Monthly. ج. 18 ع. 11: 195–197. DOI:10.2307/2972574. JSTOR:2972574.
  23. ^ "Records of Proceedings at Meetings". Proceedings of the London Mathematical Society. s2-13 ع. 1: iv–xl. 1914. DOI:10.1112/plms/s2-13.1.1-s.
  24. ^ لوكا, إدوارد (1876). "Note sur l'application des séries récurrentes à la recherche de la loi de distribution des nombres premiers" [ملاحظة حول تطبيق المتسلسلات المتكررة في دراسة قانون توزيع الأعداد الأولية]. Comptes rendus de l'Académie des Sciences (بالفرنسية). 82: 165–167. Archived from the original on 2023-04-05. Retrieved 2024-08-20.
  25. ^ ا ب "Notes". Mathematics of Computation. ج. 6 ع. 37: 58–61. يناير 1952. DOI:10.1090/S0025-5718-52-99405-2. ISSN:0025-5718. مؤرشف من الأصل في 2024-06-03. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-21.
  26. ^ "Notes". Mathematics of Computation. ج. 6 ع. 39: 204–205. يوليو 1952. DOI:10.1090/S0025-5718-52-99389-7. ISSN:0025-5718. مؤرشف من الأصل في 2023-04-05. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-21.
  27. ^ ا ب "Notes". Mathematics of Computation. ج. 7 ع. 41: 67–72. يناير 1953. DOI:10.1090/S0025-5718-53-99372-7. ISSN:0025-5718. مؤرشف من الأصل في 2024-06-06. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-21.
  28. ^ Riesel، Hans (January 1958). "A New Mersenne Prime". Mathematics of Computation. ج. 12 ع. 61: 60. DOI:10.1090/S0025-5718-58-99282-2. مؤرشف من الأصل في 2024-06-05. اطلع عليه بتاريخ 2024 أغسطس 21. {{استشهاد بدورية محكمة}}: تحقق من التاريخ في: |تاريخ الوصول= (مساعدة)
  29. ^ ا ب Hurwitz، Alexander (أبريل 1962). "New Mersenne primes". Mathematics of Computation. ج. 16 ع. 78: 249–251. DOI:10.1090/S0025-5718-1962-0146162-X. ISSN:0025-5718. مؤرشف من الأصل في 2023-04-05.
  30. ^ ا ب ج غيليز، دونالد بي. (يناير 1964). "Three new Mersenne primes and a statistical theory". Mathematics of Computation. ج. 18 ع. 85: 93–97. DOI:10.1090/S0025-5718-1964-0159774-6. JSTOR:2003409.
  31. ^ Tuckerman، Bryant (أكتوبر 1971). "The 24th Mersenne Prime". Proceedings of the National Academy of Sciences. ج. 68 ع. 10: 2319–2320. Bibcode:1971PNAS...68.2319T. DOI:10.1073/pnas.68.10.2319. PMC:389411. PMID:16591945.
  32. ^ ا ب Noll، Landon Curt؛ Nickel، Laura (أكتوبر 1980). "The 25th and 26th Mersenne primes". Mathematics of Computation. ج. 35 ع. 152: 1387. DOI:10.1090/S0025-5718-1980-0583517-4. JSTOR:2006405.
  33. ^ Slowinski، David (1978). "Searching for the 27th Mersenne prime". Journal of Recreational Mathematics. ج. 11 ع. 4: 258–261.
  34. ^ "Science Watch: A New Prime Number". نيويورك تايمز. 5 يونيو 1979. مؤرشف من الأصل في 2024-08-22. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-21.
  35. ^ "Announcements". The Mathematical Intelligencer. ج. 5 ع. 1: 60. مارس 1983. DOI:10.1007/BF03023507. ISSN:0343-6993. مؤرشف من الأصل في 2024-06-03.
  36. ^ Peterson، I. (6 فبراير 1988). "Priming for a Lucky Strike". Science News. ج. 133 ع. 6: 85. DOI:10.2307/3972461. JSTOR:3972461.
  37. ^ Colquitt، W. N.؛ Welsh، L. (أبريل 1991). "A new Mersenne prime". Mathematics of Computation. ج. 56 ع. 194: 867. Bibcode:1991MaCom..56..867C. DOI:10.1090/S0025-5718-1991-1068823-9. JSTOR:2008415.
  38. ^ "Number is largest prime found yet". The Globe and Mail. 24 سبتمبر 1983. مؤرشف من الأصل في 2024-08-22. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-21.
  39. ^ Peterson، I. (28 سبتمبر 1985). "Prime Time for Supercomputers". Science News. ج. 128 ع. 13: 199. DOI:10.2307/3970245. JSTOR:3970245.
  40. ^ Dembart، Lee (17 سبتمبر 1985). "Supercomputer Comes Up With Whopping Prime Number". لوس أنجلوس تايمز. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-21.{{استشهاد بخبر}}: صيانة الاستشهاد: url-status (link)
  41. ^ Maddox، John (26 مارس 1992). "The endless search for primality". Nature. ج. 356 ع. 6367: 283. Bibcode:1992Natur.356..283M. DOI:10.1038/356283a0. ISSN:1476-4687. S2CID:4327045.
  42. ^ "Largest Known Prime Number Discovered on Cray Research Supercomputer". PR Newswire. 10 يناير 1994. مؤرشف من الأصل في 2024-08-23. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-21.
  43. ^ Caldwell، Chris K. "A Prime of Record Size! 21257787-1". PrimePages. مؤرشف من الأصل في 2024-08-22. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-21.
  44. ^ Gillmor، Dan (3 سبتمبر 1996). "Crunching numbers: Researchers come up with prime math discovery". Knight Ridder. مؤرشف من الأصل في 2024-08-23.
  45. ^ "GIMPS Discovers 35th Mersenne Prime, 21,398,269-1 is now the Largest Known Prime". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. 12 نوفمبر 1996. مؤرشف من الأصل في 2024-08-25. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.
  46. ^ "GIMPS Discovers 36th Mersenne Prime, 22,976,221-1 is now the Largest Known Prime". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. 1 سبتمبر 1997. مؤرشف من الأصل في 2024-08-23. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.
  47. ^ "GIMPS Discovers 37th Mersenne Prime, 23,021,377-1 is now the Largest Known Prime". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. 2 فبراير 1998. مؤرشف من الأصل في 2024-08-23. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.
  48. ^ "GIMPS Discovers 38th Mersenne Prime 26,972,593-1 is now the Largest Known Prime". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. 30 يونيو 1999. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.{{استشهاد بخبر}}: صيانة الاستشهاد: url-status (link)
  49. ^ "GIMPS Discovers 39th Mersenne Prime, 213,466,917-1 is now the Largest Known Prime". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. 6 ديسمبر 2001. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.{{استشهاد بخبر}}: صيانة الاستشهاد: url-status (link)
  50. ^ "GIMPS Discovers 40th Mersenne Prime, 220,996,011-1 is now the Largest Known Prime". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. 2 فبراير 2003. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.{{استشهاد بخبر}}: صيانة الاستشهاد: url-status (link)
  51. ^ "GIMPS Discovers 41st Mersenne Prime, 224,036,583-1 is now the Largest Known Prime". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. 28 مايو 2004. مؤرشف من الأصل في 2024-08-24. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.
  52. ^ "GIMPS Discovers 42nd Mersenne Prime, 225,964,951-1 is now the Largest Known Prime". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. 27 فبراير 2005. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.{{استشهاد بخبر}}: صيانة الاستشهاد: url-status (link)
  53. ^ "GIMPS Discovers 43rd Mersenne Prime, 230,402,457-1 is now the Largest Known Prime". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. 24 ديسمبر 2005. مؤرشف من الأصل في 2024-08-23. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.
  54. ^ "GIMPS Discovers 44th Mersenne Prime, 232,582,657-1 is now the Largest Known Prime". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. 11 سبتمبر 2006. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.{{استشهاد بخبر}}: صيانة الاستشهاد: url-status (link)
  55. ^ ا ب "GIMPS Discovers 45th and 46th Mersenne Primes, 243,112,609-1 is now the Largest Known Prime". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. 15 سبتمبر 2008. مؤرشف من الأصل في 2024-08-23. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.
  56. ^ "GIMPS Discovers 47th Mersenne Prime". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. 12 أبريل 2009. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.{{استشهاد بخبر}}: صيانة الاستشهاد: url-status (link)
  57. ^ Maugh، Thomas H. (27 سبتمبر 2008). "Rare prime number found". لوس أنجلوس تايمز. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.{{استشهاد بخبر}}: صيانة الاستشهاد: url-status (link)
  58. ^ Smith، Edson. "The UCLA Mersenne Prime". UCLA Mathematics. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: url-status (link)
  59. ^ "GIMPS Discovers 48th Mersenne Prime, 257,885,161-1 is now the Largest Known Prime". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. 5 فبراير 2013. مؤرشف من الأصل في 2024-08-24. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.
  60. ^ Yirka، Bob (6 فبراير 2013). "University professor discovers largest prime number to date". فيز. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: url-status (link)
  61. ^ "GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 274,207,281-1". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. 19 يناير 2016. مؤرشف من الأصل في 2024-08-25. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-23.
  62. ^ "Largest known prime number discovered in Missouri". بي بي سي نيوز. 20 يناير 2016. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-23.{{استشهاد بخبر}}: صيانة الاستشهاد: url-status (link)
  63. ^ "GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 277,232,917-1". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. 3 يناير 2018. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-23.{{استشهاد بخبر}}: صيانة الاستشهاد: url-status (link)
  64. ^ Lamb، Evelyn (4 يناير 2018). "Why You Should Care About a Prime Number That's 23,249,425 Digits Long". سلايت. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-23.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: url-status (link)
  65. ^ "GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 282,589,933-1". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. 21 ديسمبر 2018. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-23.{{استشهاد بخبر}}: صيانة الاستشهاد: url-status (link)
  66. ^ Palca، Joe (21 ديسمبر 2018). "The World Has A New Largest-Known Prime Number". الإذاعة الوطنية العامة. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-23.{{استشهاد بخبر}}: صيانة الاستشهاد: url-status (link)

روابط خارجية

[عدل]
مجلوبة من «https://ar.wikipedia.org/w/index.php?title=قائمة_أعداد_ميرسين_الأولية_والأعداد_المثالية&oldid=67702096»