عدد ميرسين الأولي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الرياضيات، عدد ميرسين (بالإنكليزية: Mersenne number) هو عدد صحيح موجب أصغر من قوة العدد اثنين بواحد:

 M_p=2^p-1.\,

سميت هاته الأعداد هكذا نسبة لمارين ميرسين وهو راهب فرنسي بدأ دراستها في بداية القرن السابع عشر.

بعض التعريفات لأعداد ميرسين تشترط في الأس p أن يكون أوليا، بما أنه إذا كان p عددا مؤلفا فإن العدد 2^p-1.\, يكون مؤلفا أيضا.

من المعلوم أنه إذا كان 2^p-1 عددا أوليا فإن p هو عدد أولي أيضا. بحلول فبراير 2013، اكتشف ثمانية وأربعون عددا أوليا لميرسين فقط. أكبر عدد أولي معروف (ويساوي 2^{57,885,161} - 1 ) هو عدد أولي لميرسين. كل أعداد ميرسين الأولية المكتشفة بعد 1997، اكتشفت بفضل مشروع البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت.

حول أعداد ميرسين الأولية[عدل]

البحث عن أعداد ميرسين الأولية[عدل]

مبرهنات حول أعداد ميرسين[عدل]

التاريخ[عدل]

اعتقد عدد من الرياضيين السابقين أن العدد من الصورة 2^n-1 يكون أوليا كلما كان n عددا أوليا، و لكن في 1536 أثبت ريجيوس ( Regius ) أن العدد : 2047 = 23.89 = 1-2^{11} ليس أوليا حيث أنه حاصل ضرب 23 و89، و في عام 1603 تحقق كاتالدي أن العددين 1-2^{17} و 1-2^{19} أوليان ، و استنتج كاتالدي و بشكل خاطئ أن العدد 2^n-1 يكون أوليا لكل : n = 23,29,31,37 ، حيث أثبت فيرما في 1645 أن كاتالدي كان خاطئا بالنسبة للعددين n = 23,37 ، و أثبت أويلر في 1738 أن كاتالدي كان أيضا خاطئا بالنسبة للعدد n = 29 ، و في وقت لاحق أثبت أويلر أن كاتالدي كان مصيبا بالنسبة للعدد n = 31.

بمجيء الفرنسي مارين ميرسين (1588-1648)، حيث وضع في مقدمة أحد كتبه أن العدد 2^n-1 يكون أوليا عندما : n = 2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257 ، و أنه مركب لكل الأعداد n < 257 الصحيحة، و رغم أن هذا التخمين من ميرسين كان خاطئا إلا أن اسمه ظل ملتصقا بهذه الأعداد حيث سميت باسمه.

كان واضحا أنه ليس بإمكان ميرسين التحقق من كل هذه الأعداد (n < 257) لصعوبة ذلك في عصر ميرسين. كذلك لم يكن بمقدور معاصريه التحقق من موضوعته، فبقيت كذلك إلى مائة سنة و ذلك عندما تحقق أويلر في 1750 من أن العدد التالي في قائمة ميرسين هو 2^{31} - 1 ، و بعد قرن آخر و في 1876 بين إدوارد لوكاس أن العدد 2^{127} - 1 أولي، و بعد سبع سنوات أثبت عالم الرياضيات الروسي بيرفوشين أن العدد 2^{61} - 1 أولي و هذا لم يذكره ميرسين ، كذلك أثبت باورس (Powers ) في بداية القرن العشرين أن ميرسين أغفل أيضا العددين الأوليين 2^{89} - 1 و 2^{107} - 1 و بنهاية عام 1947 كانت سلسلة ميرسين للأعداد (n<258 ) قد اكتملت بشكلها الصحيح و هي :

(n = 2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127 ) ، أما بالنسبة لبقية أعداد ميرسين فقد تم اكتشافها مع ظهور الحاسب الحالي.

لائحة أعداد ميرسين الأولية المعروفة[عدل]

تعميل أعداد ميرسين[عدل]

الأعداد المثالية[عدل]

تكمن أهمية أعداد ميرسين الأولية في ارتباطها بالأعداد المثالية. في القرن الرابع قبل الميلاد، برهن اقليدس على أنه إذا كان Mp عددا أوليا لميرسن، فإن

2^{p-1}\cdot(2^p - 1) = M_p(M_p + 1)/2\

هو عدد مثالي زوجي. في القرن العاشر، يبدو أن ابن الهيثم كان أول من حاول تصنيف الأعداد المثالية الزوجية على شكل (2^{k-1}(2^k - 1 حيث (2^k - 1) هو عدد أولي. في القرن الثامن عشر، برهن ليونهارد أويلر على عكس هاته المبرهنة والذي ينص على أن كل عدد مثالي زوجي له هذا الشكل.

تعميم[عدل]

أعداد ميرسين في الطبيعة وغيرها[عدل]

في معضلة برج هانوا الرياضية: حلحلة المعضلة حيث عدد الأقراص هو p تتطلب على الأقل Mp خطوة.

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]

Nuvola apps edu mathematics-ar.svg هذه بذرة مقالة عن الرياضيات تحتاج للنمو والتحسين، فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.