مبرهنة متعدد الحدود

في الرياضيات، تصف مبرهنة متعدد الحدود كيفية توسيع قوة لمجموع بدلالة قوى المصطلحات في ذلك المجموع. إنه تعميم مبرهنة ذات الحدين من ذات الحدين إلى متعددات الحدود.

المبرهنة

لأي عدد صحيح موجب $n$ وأي عدد صحيح غير سالب $m$، تصف الصيغة متعددة الحدود كيف يتوسع مجموع بحدود $m$ عند رفعه إلى قوة عشوائية $n$:

$(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n;\ k_{1},k_{2},\cdots ,k_{m}\geq 0}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}\prod _{t=1}^{m}x_{t}^{k_{t}}\,,$

أين

${n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}$

هو معامل متعدد الحدود. يتم أخذ المجموع على جميع مجموعات مؤشرات الأعداد الصحيحة غير السالبة $k_{1}$ إلى $k_{m}$ بحيث يكون مجموع كل $k_{i}$ هو $n$. أي أنه لكل حد في المفكوك ، يجب جمع أس $i$ حتى n. أيضًا ، كما هو الحال مع مبرهنة ذات الحدين، فإن الكميات التي تظهر على شكل $x^{0}$ تؤخذ على أنها تساوي $1$ (حتى عندما تكون x تساوي صفرًا).

في الحالة $m=2$ ، تختصر هذه العبارة إلى تلك الخاصة بمبرهنة ذات الحدين.

مثال

القوة الثالثة من ثلاثي الحدود $a+b+c$ معطاة من قبل $(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3b^{2}a+3b^{2}c+3c^{2}a+3c^{2}b+6abc.$

يمكن حساب ذلك يدويًا باستخدام خاصية التوزيع للضرب على الجمع ، ولكن يمكن أيضًا إجراؤه (ربما بسهولة أكبر) باستخدام مبرهنة متعددة الحدود. من الممكن «قراءة» المعاملات متعددة الحدود من المصطلحات باستخدام صيغة المعامل متعدد الحدود. فمثلا:

$a^{2}b^{0}c^{1}$ المعامل ${3 \choose 2,0,1}={\frac {3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!}}={\frac {6}{2\cdot 1\cdot 1}}=3.$

$a^{1}b^{1}c^{1}$ المعامل ${3 \choose 1,1,1}={\frac {3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}}={\frac {6}{1\cdot 1\cdot 1}}=6.$

تعبير بديل

يمكن كتابة بيان المبرهنة بإيجاز باستخدام مؤشرات متعددة:

$(x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{|\alpha |=n}{n \choose \alpha }x^{\alpha }$

أين

$\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{m})$

و

$x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{m}^{\alpha _{m}}$

دليل - إثبات

يستخدم هذا الدليل على مبرهنة متعددة الحدود مبرهنة ذات الحدين والاستقراء على $m$.

أولاً ، بالنسبة لـ $m=1$، كلا الطرفين يساوي $x_{1}^{n}$ نظرًا لوجود حد واحد فقط $n=k_{1}$ في المجموع. لخطوة الاستقراء ، افترض أن المبرهنة متعددة الحدود تنطبق على $m$ . ثم

${\begin{aligned}&(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m}+x_{m+1})^{n}=(x_{1}+x_{2}+\cdots +(x_{m}+x_{m+1}))^{n}\\[6pt]={}&\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}(x_{m}+x_{m+1})^{K}\end{aligned}}$

من خلال فرضية الاستقراء. تطبيق مبرهنة ذات الحدين على العامل الأخير ،

$=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}\sum _{k_{m}+k_{m+1}=K}{K \choose k_{m},k_{m+1}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}$

$=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+k_{m}+k_{m+1}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}$

الذي يكمل الاستقراء. الخطوة الأخيرة تتبع لأن

${n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}{K \choose k_{m},k_{m+1}}={n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}},$

كما يمكن رؤيته بسهولة عن طريق كتابة المعاملات الثلاثة باستخدام العوامل على النحو التالي:

${\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m-1}!K!}}{\frac {K!}{k_{m}!k_{m+1}!}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m+1}!}}.$

معاملات متعددة الحدود

الارقام

${n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}$

تظهر في المبرهنة المعاملات متعددة الحدود . يمكن التعبير عنها بعدة طرق ، بما في ذلك كنتيجة لمعاملات ذات الحدين أو عاملي :

${n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}={k_{1} \choose k_{1}}{k_{1}+k_{2} \choose k_{2}}\cdots {k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m} \choose k_{m}}$

مجموع كل المعاملات متعددة الحدود

التعويض عن $x_{i}=1$ لجميع $i$ في مبرهنة متعددة الحدود

$\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}=(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}$

يعطي ذلك على الفور

$\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}=m^{n}.$

عدد المعاملات متعددة الحدود

عدد الحدود في مجموع متعدد الحدود ، $\#_{n,m}$ يساوي عدد المونومرات من الدرجة $n$ على المتغيرات $x_{1},\cdots ,x_{m}$:

$\#_{n,m}={n+m-1 \choose m-1}.$

يمكن إجراء العد بسهولة باستخدام طريقة النجوم والأشرطة .

تقييم المعاملات متعددة الحدود

أكبر قوة عدد أولي $p$ يمكن حساب المعامل متعدد الحدود باستخدام تعميم مبرهنة كومر .

التفسيرات

طرق لوضع الأشياء في صناديق

المعاملات متعددة الحدود لها تفسير اندماجي مباشر ، مثل عدد طرق إيداع $n$ كائنات مميزة في $m$ صناديق مميزة ، مع $k_{1}$ كائنات في الحاوية الأولى، و $k_{2}$ كائنات في الحاوية الثانية ، وهكذا.

عدد طرق التحديد وفقًا للتوزيع

في الميكانيكا الإحصائية والتوافقيات ، إذا كان لدى المرء توزيع رقمي للتسميات ، فإن المعاملات متعددة الحدود تنشأ بشكل طبيعي من المعاملات ذات الحدين. بالنظر إلى توزيع الأرقام $n_{i}$ على مجموعة من العناصر الإجمالية $N$ ، يمثل $n_{i}$ عدد العناصر التي سيتم منحها التصنيف $i$ . (في الميكانيكا الإحصائية ، $i$ تسمية حالة الطاقة.)

• اختيار $n_{1}$ من إجمالي $N$ ليتم تسميتها $1$. يمكن القيام بذلك $N \choose n_{1}$ طرق.
• من المتبقي $N-n_{1}$ عنصر اختر $n_{2}$ للتسمية $2$. يمكن القيام بذلك $N-n_{1} \choose n_{2}$ طرق.
• من المتبقي $N-n_{1}-n_{2}$ عناصر اختر $n_{3}$ للتسمية $3$. مرة أخرى ، يمكن القيام بذلك $N-n_{1}-n_{2} \choose n_{3}$ طرق.

يؤدي ضرب عدد الاختيارات في كل خطوة إلى:

${N \choose n_{1}}{N-n_{1} \choose n_{2}}{N-n_{1}-n_{2} \choose n_{3}}\cdots ={\frac {N!}{(N-n_{1})!n_{1}!}}\cdot {\frac {(N-n_{1})!}{(N-n_{1}-n_{2})!n_{2}!}}\cdot {\frac {(N-n_{1}-n_{2})!}{(N-n_{1}-n_{2}-n_{3})!n_{3}!}}\cdots .$

ينتج عن الإلغاء الصيغة المذكورة أعلاه.

عدد التبديلات الفريدة للكلمات

المعامل متعدد الحدود كمنتج للمعاملات ذات الحدين ، مع احتساب التباديل لأحرف ميسيسيبي.

المعامل متعدد الحدود ${\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{m}}}$ هو أيضًا عدد الطرق المميزة لتبديل مجموعة متعددة من العناصر $n$ ، حيث $k_{i}$ هو تعدد كل عنصر من العناصر i. على سبيل المثال ، عدد التباديل المميز لأحرف الكلمة MISSISSIPPI ، التي تحتوي على 1 M و 4 Is و 4 Ss و 2 Ps ، هو

${11 \choose 1,4,4,2}={\frac {11!}{1!\,4!\,4!\,2!}}=34650.$

مثلث باسكال المعمم

يمكن للمرء استخدام نظرية متعددة الحدود لتعميم مثلث باسكال أو هرم باسكال على البسيط لباسكال . يوفر هذا طريقة سريعة لإنشاء جدول بحث للمعاملات متعددة الحدود.