مسألة نهاية سعيدة

مسألة النهاية السعيدة، كل مجموعة من خمس نقاط في موضع عام تضم أربع نقاط تشكل مضلع محدب.

في الرياضيات، مسألة النهاية السعيدة، سميت بهذا الاسم من قبل بول إيردوس لأنها أدت إلى زواج جورج سيكيرس من إيستير كلاين، تنص على ما يلي:

أي مجموعة من خمس نقاط في المستوي في مواضع عامة تحوي على مجموعة جزئية من أربع نقاط تشكل رؤوس مضلع محدب.

كانت هذه واحدة من النتائج الأصلية التي أدت إلى تطوير نظرية رمزي.

بالإمكان إثبات مبرهنة النهاية السعيدة عن طريق تحليل حالة بسيطة: إذا كان أربع نقاط أو أكثر رؤوس لانغلاق محدب، يمكن اختيار أية أربع نقاط منهم. أما من ناحية أخرى لمجموعة النقط شكل مثلث مع نقتطين بداخله، يمكن اختيار النقتطين الداخليتين وواحد من جوانب المثلث. راجع Peterson (2000) للشرح المصور للاثبات، و Morris & Soltan (2000) للمزيد من الدراسة المفصلة للمسألة التي نقدمها هنا.

مضلعات أكبر

مجموعة من ثمانية نقط في مواضع عامة بدون مثمن محدب.

برهن أيردوش & سكريش (1935) التعميم التالي:

لأي عدد صحيح موجب N، أي مجموعة نقاط محدودة كبيرة بما فيه الكفاية في المستوي في مواضع عامة لها مجموعة جزئية من N نقط التي تشكل مضلع محدب.

يظهر البرهان في نفس المقال الذي يبرهن نظرية إيردوس-سيكيرس على مجموعات جزئية رتيبة في تسلسل أعداد.

نرمز بـ (f(N لأدنى قيمة لـ M بحيث لمجموعة من M نقط في مواضع عامة يجب أن تحتوي على محدب بـ N رؤوس، معروف أن:

• f(3) = 3, بديهيا.
• f(4) = 5.
• f(5) = 9.
• f(6) = 17.
• قيمة (f(N غير معروفة لكل N > 6; كنتيجة من أيردوش & سكريش (1935) معروفة أنها محدودة.

على أساس القيم (f(N المعروفة لكل N = 3, 4 و 5، حزر إيدرش وسكريش في مقالهما الأصلي أن

$f(N)=1+2^{N-2}\quad {\mbox{for all }}N\geq 3.$

برهنوا لاحقا، عن طريق بناء أمثلة واضحة، أن:

$f(N)\geq 1+2^{N-2},$

ولكن الحد الأعلى الأفضل المعروف لـ N ≥ 7 هو:

$f(N)\leq {2N-5 \choose N-2}+1=O\left({\frac {4^{N}}{\sqrt {N}}}\right).$

مراجع

• Chung، F.R.K.؛ Graham، R.L. (1998)، "Forced convex n-gons in the plane"، Discrete and Computational Geometry، ج. 19، ص. 367–371، DOI:10.1007/PL00009353.
• Erdős، P.؛ Szekeres، G. (1935)، "A combinatorial problem in geometry"، Compositio Math، ج. 2، ص. 463–470، مؤرشف من الأصل في 2019-02-19.
• Erdős، P.؛ Szekeres، G. (1961)، "On some extremum problems in elementary geometry"، Ann. Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math.، ج. 3–4، ص. 53–62. Reprinted in: Erdős، P. (1973)، Spencer، J. (المحرر)، The Art of Counting: Selected Writings، Cambridge, MA: MIT Press، ص. 680–689.
• Gerken، Tobias (2008)، "Empty convex hexagons in planar point sets"، Discrete and Computational Geometry، ج. 39، ص. 239–272، DOI:10.1007/s00454-007-9018-x.
• Grünbaum، Branko (2003)، Kaibel، Volker؛ Klee، Victor؛ Ziegler، Günter M. (المحررون)، Convex Polytopes، Graduate Texts in Mathematics (ط. 2nd)، سبرنجر، ج. 221، ISBN:0-387-00424-6.
• Harborth، Heiko (1978)، "Konvexe Fünfecke in ebenen Punktmengen"، Elem. Math.، ج. 33، ص. 116–118.
• Horton، J. D. (1983)، "Sets with no empty convex 7-gons"، Canadian Mathematical Bulletin، ج. 26، ص. 482–484، DOI:10.4153/CMB-1983-077-8.
• Kalbfleisch، J.D.؛ Kalbfleisch، J.G.؛ Stanton، R.G. (1970)، "A combinatorial problem on convex regions"، Proc. Louisiana Conf. Combinatorics, Graph Theory and Computing، Congressus Numerantium، Baton Rouge, La.: Louisiana State Univ.، ج. 1، ص. 180–188.
• Kleitman، D.J.؛ Pachter، L. (1998)، "Finding convex sets among points in the plane"، Discrete and Computational Geometry، ج. 19، ص. 405–410، DOI:10.1007/PL00009358.
• Morris، W.؛ Soltan، V. (2000)، "The Erdős-Szekeres problem on points in convex position—A survey"، Bulletin of the American Mathematical Society، ج. 37، ص. 437–458، DOI:10.1090/S0273-0979-00-00877-6، مؤرشف من الأصل في 2008-12-08.
• Nicolás، Carlos M. (2007)، "The empty hexagon theorem"، Discrete and Computational Geometry، ج. 38، ص. 389–397، DOI:10.1007/s00454-007-1343-6.
• Overmars، M. (2003)، "Finding sets of points without empty convex 6-gons"، Discrete and Computational Geometry، ج. 29، ص. 153–158، DOI:10.1007/s00454-002-2829-x.
• Peterson، Ivars (2000)، "Planes of Budapest"، MAA Online، مؤرشف من الأصل في 2001-01-21.
• Scheinerman، Edward R.؛ Wilf، Herbert S. (1994)، "The rectilinear crossing number of a complete graph and Sylvester's "four point problem" of geometric probability"، الرياضيات الأمريكية الشهرية، Mathematical Association of America، ج. 101، ص. 939–943، DOI:10.2307/2975158، JSTOR:2975158.
• Szekeres، G.؛ Peters، L. (2006)، "Computer solution to the 17-point Erdős-Szekeres problem"، ANZIAM Journal، ج. 48، ص. 151–164، DOI:10.1017/S144618110000300X، مؤرشف من الأصل في 2019-12-13.
• Tóth، G.؛ Valtr، P. (1998)، "Note on the Erdős-Szekeres theorem"، Discrete and Computational Geometry، ج. 19، ص. 457–459، DOI:10.1007/PL00009363.
• Tóth، G.؛ Valtr، P. (2005)، "The Erdős-Szekeres theorem: upper bounds and related results"، Combinatorial and computational geometry، Mathematical Sciences Research Institute Publications, no. 52، ص. 557–568.
• Valtr، P. (2006)، On the empty hexagons، مؤرشف من الأصل في 2016-03-03.