قوانين مساحة المثلث

في الهندسة الرياضية، تعطى مساحة المثلث بالقانون:

المساحة = ½×طول القاعدة × الارتفاع

يقصد بالقاعدة أحد أضلاع المثلث و يقصد بالارتفاع العمود النازل من الرأس على القاعدة أو على امتدادها.

لاثبات ما سبق يحول المثلث إلى متوازي أضلاع مساحته ضعف مساحة المثلث،

و بعدها يحول إلى مستطيل طوله قاعدة المثلث و عرضه ارتفاع المثلث.

و من هذا القانون تستنتج قوانين مساحة المثلث الأخرى.

قوانين المساحة للمثلث

القانون الأول

المثلث ABC.

يربط بين مساحة المثلث وبين جيب إحدى زواياه.

${\underline {Area_{ABC}={\frac {1}{2}}ab\sin {C}}}$

البرهان:

في المثلث ABC: القطعة المستقيمة AN ارتفاع و a,b,c أطوال أضلاع المثلث.

المثلث ANC مثلث قائم في N:

$\Rightarrow Sin{C}={\frac {AN}{b}}$

(جيب الزاوية يساوي المقابل على الوتر في المثلث القائم)

$\Rightarrow AN=b\sin {C}$

$Area_{ABC}={\frac {1}{2}}a.AN={\frac {1}{2}}ab\sin {C}$

القانون الثاني

دائرة محيطة بالمثلث

يوضح علاقة مساحة المثلث بنصف قطر الدائرة المحيطة به R.

${\underline {Area_{ABC}={\frac {abc}{4R}}}}$

البرهان:

باستخدام قانون الجيوب:

${\frac {c}{\sin {C}}}=2R$

$\Rightarrow sin{C}={\frac {c}{2R}}$

$Area_{ABC}={\frac {1}{2}}ab\sin {C}={\frac {abc}{4R}}$

القانون الثالث

دائرة داخلية في المثلث ABC

يربط بين مساحة المثلث و نصف قطر الدائرة الداخلية r و نصف المحيط s.

${\underline {Area_{ABC}=rs}}$

البرهان:

P مركز الدائرة الداخلية للمثلث

$Area_{ABC}=Area_{BPC}+Area_{APC}+Area_{APB}$

باستخدام "المساحة = ½ القاعدة × الارتفاع" ثلاث مرات:

$Area_{ABC}={\frac {1}{2}}ar+{\frac {1}{2}}br+{\frac {1}{2}}cr$

$\Rightarrow Area_{ABC}=r{\frac {a+b+c}{2}}=rs$

القانون الرابع

يعرف بصيغة هيرو:

باعتبار أن a,b,c اطوال اضلاع المثلث قيم معلومة، فإن مساحة المثلث هي:

${\underline {Area_{ABC}={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}}}$

حيث أن s نصف محيط المثلث.

القانون الخامس

يعرف بصيغة جيوشاو:

${\underline {Area_{ABC}={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}}}}}$

القانون السادس

مساحة المثلث القائم بدلالة طول الوتر والمحيط تُعطى بالعلاقة : المساحة = ( 1 / 4 ) [ (المحيط)^2 - 2 × المحيط × طول الوتر ]

اقرأ أيضاً

• مثلث
• صيغة هيرو
• ارتفاع المثلث
• قانون الجيب
• دائرة محيطة