مستطيل

المستطيل
رسم لمستطيل
النوع	رباعي أضلاع، شبه منحرف، متوازي أضلاع، قائم أكناف
الأضلاع والرؤوس	4
رمز شليفلي	{ } × { }
مخطط كوكستر ودنكين
زمرة التناظر	ثنائية الوجه (D2)، [2]، (*22)، من المرتبة 4
المساحة	الطول × العرض
الخواص	مُحدَّب، متآسي الرؤوس، دوري تتساوى فيه أطوال الأضلاع المتقابلة ومقاسات الزوايا المتقابلة.
الثنوي	مُعيَّن

في الهندسة الإقليدية المستوية، المستطيل متوازي أضلاع رباعي مُحدَّب قائم الزوايا. للمستطيل أربعة أضلاع، تُشكل 4 أزواج متقابلة مثنى مثنى، كل زوجين منها متساويا الطول. إذا كانت رؤوس المستطيل على الترتيب ABCD، أشير إليه:  ABCD.

للمستطيل أشكال عديدة أشهرها قائم الزوايا، و أيضًا منها المربع، وهو حالة خاصة من المستطيل قائم الزاوية تساوت فيها أطوال الأضلاع الأربع، ومنها أيضًا المستطيل التقاطعي، وهو رباعي أضلاع ذاتي التقاطع أضلاع ضلعين متقابلين في مستطيل قائم الزاوية والقطرين. في الهندسات اللاإقليدية، مستطيل كروي وناقصي وزائدي، ودعيت هذه الأشكال مستطيلات لأنه لها 4 أقواسٍ متقابلة مثنى مثنى، يتساوى طول كل زوجين فيها، ولكنها لا تلتقي بزوايا قائمة.

المستطيل حاضرٌ في مسائل التبليط الهندسية، سواء أكانت تبليط مستوٍ بمستطيلات أو تبليط مستطيل بالمضلعات.

التعريف

يُعرِّف معجم مصطلحات الرياضيات الصادر عن مجمع اللغة العربية بدمشق المستطيل بأنه: شكلٌ مستوٍ رباعي الأضلاع، زواياه الداخلية قائمة، وكل ضلعين متقابلين فيه متساويان. أما موسوعة الكويت العلمية فتذكر أن: المستطيل متوازي أضلاع إحدى زواياه قائمة.

يكون أي رباعي أضلاع مُحدَّب مستطيلًا، إذا وفقط إذا، حقق واحدة مما يأتي:

• متوازي أضلاع رباعي فيه زاوية قائمة واحدة على الأقل.
• متوازي أضلاع رباعي أقطاره متساوية الطول.
• متوازي أضلاع رباعي ABCD فيه المثلثان: ABD وDCA متطابقان.
• رباعي أضلاع متساوي الزوايا.
• رباعي أضلاع زواياه الأربعة قائمة.
• رباعي أضلاع قطراه متساويا الطول ومتناصفان: يُنصِّف أحدهما الآخر.
• رباعي أضلاع مُحدَّب أضلاع المتساوية الطول على الترتيب هي: a وb وc وd، ومساحته:${\tfrac {1}{4}}(a+c)(b+d)$
• رباعي أضلاع مُحدَّب أضلاع المتساوية الطول على الترتيب هي: a وb وc وd، ومساحته: ${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}}$.

التصنيف

المستطيل من رباعيات الأضلاع المُحدَّبة متوازية الأضلاع قائمة الزوايا، وهو:

• حالة خاصة من متوازي الأضلاع الرباعي، يختص بأن كل ضلعين متجاورين فيه متعامدين.
• حالة خاصة من شبه المنحرف متساوي الساقين، يختص بأن أزواج أضلاعه المتقابلة متوازية مثنى مثنى.

ينتمي المُربع إلى عائلة رباعيات الأضلاع المُحدَّبة متوازية الأضلاع قائمة الزوايا، ويختص عن المستطيل بأن أضلاع كلها متساوية الطول

محاور التناظر لرباعيات الأضلاع مرسومة بخط أزرق، والعلاقات بين الأشكال مرسومة بخط أخضر: المستطيل حالة خاصة من شبه المنحرف ومتوازي الأضلاع الرباعي، والمربع حالة خاصة من المستطيل.

يُمكن تعريف المستطيل وتصنيفه ضمن رباعيات الأضلاع على أساس محاور التناظر التي تقطع كل زوجين من أضلاعه المتقابلة للمستطيل محورا تناظر كل منهما عمودي على زوجين من الأضلاع المتقابلة ومنصف لها، وموازٍ لزوجي الأضلاع الآخرين.

الخواص

المُستطيل مُضلَّع رباعي الأضلاع أي أن عدد أضلاعه وزواياه أربعة، وهو مُضلَّع مُحدَّب، أي يُمكِن رسم خط من أي نقطة داخله أو على أحد أضلاعه، إلى نقطة أخرى مشابهة من غير أن تقطع هذه النقطة أي ضلعٍ فيه، وهو مضلع قائم الزوايا، أي تتلاقى أضلاعه المتجاورة بزوايا قائمة.

المستطيل مضلع دائري: تقع رؤوسه كلها على دائرة واحدة، وهو مضلع متساوي الزوايا: أي زواياه متساوية المقاس، وقياس كل منها 90 درجة، وهو متآسي الرؤوس أي أن رؤوسه كلها تقع في مدار التناظر نفسه. للمستطيل خطا تناظر انعكاسي وتناظر دوراني (180 درجة) زمرته ثنائية الوجه D² من الرتبة 2 .

المضلع الثنوي للمستطيل هو المُعيَّن، ويبين خواص الاثنين الجدول الاثنين للمقارنة:

ثنوي المستطيل (بالبني) هو المُعيَّن (بالأزرق)،والدائرة المحيطة بالمستطيل (بالأخضر) هي دائرة محاطة بثنويه المُعيَّن.

المستطيل	المُعيَّن
الزوابا كلها متساوية المقاس.	الأضلاع كلها متساوية الطول.
الأضلاع المتقابلة متساوية الطول.	الزوايا المتقابلة متساوية المقاس.
مركزه متساوي البعد عن رؤوسه كلها، أي أنه مركز الدائرة المحيطة المارة برؤسه.	مركزه متساوي البعد عن الأضلاع كلها، أي أنه مركز الدائرة الماسة داخلًا لأضلاعه..
يُنصِّف محور تناظر كل زوجين من الأضلاع المتقابلة.	يُنصِّف محور تناظر كل زوجين من الزوايا المتقابلة.
الأقطار متساوية الطول.	تتقاطع الأقطار بزوايا متساوية.

إذا كان طول المستطيل $\ell$ وعَرضه $w$، يُحسَب عندها:

• مساحته: $A=\ell w\,$
• محيطه: $P=2\ell +2w=2(\ell +w)\,$
• طول قطره: $d={\sqrt {\ell ^{2}+w^{2}}}$
• عندما يتساوى بُعدا المستطيل، أي $\ell =w\,$، مُربَّع، يَؤُول المستطيل إلى مُربَّع.

• 
  محيط المستطيل = مجمع أطوال أضلاعه
• 
  مساحة المستطيل = جُداء طوله في عَرضه

مبرهنات

المبرهنة اليابانية في الرباعي الدائري.

تنصُّ مبرهنة تآسي محيط المستطيلات على أنه: من بين كل المستطيلات متساوية المحيط، مساحة المربع هي الكبرى.

وفقًت لمبرهنة العلم البريطاني، فإن مجموع مساحتي المربعين الأحمرين مساوٍ لمجموع مساحتي المربعين الأزرقين.

النقاط في منتصف أضلاع أي رباعي أضلاع متعامد الأقطار رؤوس لمستطيل.

متوازي الأضلاع الرباعي الذي تتساوى أقطاره مستطيل.

تنص المبرهنة اليابانية في الرباعي الدائري على أن مراكز الدوائر الماسة داخلًا لضلعين متجاورين من أضلاع أي رباعي دائري تشكل رؤوس مستطيل.

تنصُّ مبرهنة العَلَم البريطاني على: إذا كانت $P$ نقطة داخل المستطيل $ABCD$، فإن مجموع مُربَّعَي المسافتين الإقليديتين بين $P$ وأي رأسين متقابلين في هذا المستطيل، تساوي مجموع مُربَّعَي المسافتين بين $P$ والنقطتين الأخريين المتقابلتين، أي:

$\displaystyle (AP)^{2}+(CP)^{2}=(BP)^{2}+(DP)^{2}.$

من أجل كل مضلع مُحدَّب مستوٍ $C$، يُمكن رسم مستطيل $r$ داخله تكون نسخته المحاكية مستطيلًا $R$ محيطًا بالمضلع المحدَّب $C$ وتكون نسبة التحاكي أقل من 2 والمتراجحة التالية صحيحة: $0.5{\text{ × Area}}(R)\leq {\text{Area}}(C)\leq 2{\text{ × Area}}(r)$.

يوجد مستطيل فريد، بُعداه $a$ و$b$، و$a$ أصغر من $b$، يمكن طيه بطريقتين على طول خطٍ يمر بمركزه لتكون مساحة الجزء المتراكب أقل ما يمكن، ولينتج عن عملية الطي شكلان مختلفان: مُثلَّث ومُخمَّس، النسبة بين طولي الضعلين فريدة، وهي:$\displaystyle {\frac {a}{b}}=0.815023701...$

مستطيلات أخرى

مستطيلات تقاطعية مقارنة مع مستطيل قائم الزاوية.

المستطيل التقاطعي رباعي أضلاع تقاطعي يُنشَأ من ضلعين متقابِلين لمستطيل مُحدَّب مع قطريه. يظهر المستطيل التقاطعي وكأنه مثلثان يشتركان برأس واحد، ولكن يلزم الانتباه إلى أن نقطة التقاطع لا تُعد رأسًا.

يتشارك المستطيل والمستطيل التقاطعي الخواص التالية:

• كلاهما رباعي أضلاع.
• الأضلاع المتقابلة متساوية الطول
• الزوايا المتقابلة متساوية المقاس.
• لهما ترتيب الرؤوس نفسه.
• لهما خطا تناظر انعكاسي وتناظر دائري من الرتبة 2 (180 درجة).

في الهندسات اللإقليدية:

• في الكروية، المستطيل الكروي شكلٌ تكوِّن حروفه الأربعة أقواس دائرة عظيمة تتلاقى بعضها مع بعضٍ بزاويا متساوية مقاسها أكبر من 90 درجة.
• في الناقصية، فالمستطيل الناقصي شكلٌ في مستو ناقصي حروفه الأربعة أقواسٌ ناقصية تتلاقى بعضها مع بعضٍ بزاويا متساوية مقاسها أكبر من 90 درجة.
• في الزائدية، فالمستطيل الزائدي شكلٌ في مستو ناقصي حروفه الأربعة أقواسٌ ناقصية تتلاقى بعضها مع بعضٍ بزاويا متساوية مقاسها أـصغر من 90 درجة.

تكون الأقواس المتقابلة متساوية الطول في الحالات الثلاثة السابقة.

التبليط

يُستعمل المستطيل في أنماط تبليط دورية عديدة لها تطبيقات عملية في البناء بالطوب، منها مثلًا:

تبليط متسامت وصلات المداميك

تبليط امتدادي

تبليط سَفِيف ثنائي

تبليط سَفِيف ثلاثي

تبليط بنمط عظام الرنكة

مستطيل تام رتبته 9.

يمكن أيضًا تبليط مستطيل بمربعات أو مستطيلات أو مثلثات، ويُوصف حينها بأنه مستطيل مُبلَّط بالمربعات أو بالمستطيلات أو بالمثلثات، يُشترَط أن تكون قائمة. يكون المستطيل المُبلَّط تامًّا إذا كانت البلاطات متشابهة ومنتهية العدد ولا تتساوى مقاسات أي منها. إذا لبلاطتين أو أكثر المقاس نفسه يُوصل المستطيل بأنه غير تام. يُسمَّى عدد العناصر المستعمل بتبليط المستطيل: الرتبة،، أدنى رتبة لتبليط مستطيل تبليطًا هي 9، وأدنى رتبة لازمة لتبليط مُربَّع تبليطًا تامًا هي 21.

للمستطيل أضلاع متقايسة، إذا وفقط إذا، كان بَلُوطًا (من الممكن تبليطه) بعدد منتهٍ من البلاطات المربعة غير المتشابهة، ويصح ذلك أيضًا لو كانت البلاطات مثلثات قائمة متساوية الساقين غير متشابهة.

الترميز المُوحَّد

تُظهِر رموز الترميز الموحد التالية مستطيلات:

U+25AC ▬ مستطيل أسود

U+25AD ▭ مستطيل أبيض

U+25AE ▮ مستطيل أسود شاقولي

U+25AF ▯ مستطيل أبيض شاقولي

انظر أيضًا

• مكعباني
• مستطيل ذهبي
• بيضاوي فائق: مستطيل زوايه مدوَّرة.
• مستطيل فوقي: تعميم المستطيل على أبعاد عليا.

المراجع

المنشورات

بالعربية

بالإنجليزية

وب

ثبت المراجع

المقالات

• R. Leonard Brooks; Cedric Smith; Arthur Harold Stone; W. T. Tutte (1940). "The dissection of rectangles into squares". Duke Mathematical Journal (بالإنجليزية). 7 (1): 312–340. DOI:10.1215/S0012-7094-40-00718-9. ISSN:0012-7094. OCLC:5721421769. Zbl:66.0181.01. QID:Q55880628. {{استشهاد بدورية محكمة}}: تأكد من صحة قيمة |zbl= (help)
• Marek Lassak (1993). "Approximation of convex bodies by rectangles". Geometriae Dedicata (بالإنجليزية). 47 (1): 111–117. DOI:10.1007/BF01263495. ISSN:0046-5755. OCLC:10955700381. S2CID:119508642. Zbl:0779.52007. QID:Q55878555.
• Leon M. Hall; Robert P. Roe (1998). "An Unexpected Maximum in a Family of Rectangles". Mathematics Magazine (بالإنجليزية). 71 (4): 285–291. DOI:10.1080/0025570X.1998.11996653. ISSN:0025-570X. JSTOR:2690700. OCLC:7789827483. QID:Q129996870.
• J.D. Skinner; C.A.B. Smith; W.T. Tutte (2000). "On the Dissection of Rectangles into Right-Angled Isosceles Triangles". Journal of Combinatorial Theory, Series B (بالإنجليزية). 80 (2): 277–319. DOI:10.1006/JCTB.2000.1987. ISSN:0095-8956. MR:1794696. OCLC:4927781931. Zbl:1030.05028. QID:Q56096193.
• Michael De Villiers (2000). "Generalizing Van Aubel Using Duality". Mathematics Magazine (بالإنجليزية). 73 (4): 303–307. DOI:10.1080/0025570X.2000.11996859. ISSN:0025-570X. JSTOR:2690979. OCLC:5556030539. QID:Q129990399.
• Martin Josefsson (2013). "Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles" (PDF). Forum Geometricorum (بالإنجليزية). 13: 17–21. ISSN:1534-1178. S2CID:123848598. QID:Q136141365.

الكتب

بالعربية

• فوزي دنان؛ سعد طه باقر؛ صابر نصر العايدي؛ هاني رضا فران (1984)، موسوعة الكويت العلمية: الرياضيات، كاتب وكتاب (بالعربية والإنجليزية) (ط. 1)، مدينة الكويت: مؤسسة الكويت للتقدم العلمي، OCLC:1103839071، QID:Q131933449
• حسن سعيد الكرمي (1999)، المغني الأكبر: معجم اللغة الإنكليزية الكلاسيكية والمعاصرة والحديثة إنكليزي عربي موضح بالرسوم واللوحات الملونة (بالعربية والإنجليزية) (ط. 2)، بيروت: مكتبة لبنان ناشرون، OCLC:1039055899، QID:Q117808099
• منير البعلبكي؛ رمزي البعلبكي (2008). المورد الحديث: قاموس إنكليزي عربي (بالعربية والإنجليزية) (ط. 1). بيروت: دار العلم للملايين. ISBN:978-9953-63-541-5. OCLC:405515532. OL:50197876M. QID:Q112315598.
• أحمد شفيق الخطيب (2018). معجم المصطلحات العلمية والفنية والهندسية الجديد: إنجليزي - عربي موضح بالرسوم (بالعربية والإنجليزية) (ط. 1). بيروت: مكتبة لبنان ناشرون. ISBN:978-9953-33-197-3. OCLC:1043304467. OL:19871709M. QID:Q12244028.
• موفق دعبول؛ بشير قابيل؛ مروان البواب؛ خضر الأحمد (2018)، معجم مصطلحات الرياضيات (بالعربية والإنجليزية)، دمشق: مجمع اللغة العربية بدمشق، OCLC:1369254291، QID:Q108593221

بالإنجليزية

• John Simpson; Edmund Weiner, eds. (1989). The Oxford English Dictionary (بالإنجليزية) (2nd ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN:978-0-19-861186-8. OCLC:611410378. OL:18318791M. QID:Q120829013.
• Zalman Usiskin; Jennifer Griffin; David Witonsky; Edwin Willmore (2008). The classification of quadrilaterals: a study of definition. Research in mathematics education series (بالإنجليزية). Charlotte: Information Age Publishing. ISBN:978-1-60752-600-1. OCLC:254166189. QID:Q136140485.
• Owen Byer; Felix Lazebnik; Deirdre L. Smeltzer, (2010). Methods for Euclidean geometry. Classroom resource materials (37) (بالإنجليزية). Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN:978-0-88385-763-2. OCLC:501976971. QID:Q136141143.{{استشهاد بكتاب}}: صيانة الاستشهاد: علامات ترقيم زائدة (link)
• Gerard Venema (2013). Exploring advanced Euclidean geometry with GeoGebra. Classroom resource materials (44) (بالإنجليزية). Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN:978-0-88385-784-7. OCLC:846889721. QID:Q136141289.

وصلات خارجية

• صفحة مستطيل في موسوعة عالم الرياضيات.
• واجهة تفاعلية لإنشاء مستطيل وملاحظة خواصه.
• قاعدة بيانات لأنماط ورتب تبليطات مستطيل ومربع.